四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院(610066) 羅燕 李昌勇

一道2016年初中聯(lián)賽幾何證明題的多種證法
——高三復(fù)習課《三角恒等變換》教學實錄與啟示

四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院(610066) 羅燕 李昌勇

2016年全國初中數(shù)學聯(lián)賽決賽試題第13題是一道平面幾何問題.

原題是：如圖1,已知△ABC中AB=AC,點D是邊AC上一動點,過D作DE//AB交BC于點E,點F為BD的中點.點O1、點O2分別為△CDE、△BDE的外接圓圓心.求證：

圖1

一 參考答案及剖析

證明 (1)如圖2,延長AF至G,使得FG=AF,則四邊形ABGD為平行四邊形;又由DE//AB知D,E,G三點共線,于是 DG=AB=AC;由條件知DE=DC,于是 △DO1E ～= △DO1C;從而∠GDO1= ∠DEO1= ∠ACO1,又DO1=CO1,故 △DO1G ～= △CO1A(SAS);于是O1G=O1A,而 AF=FG,所以O(shè)1F ⊥ AG,即 ∠AFO1=90°.

圖2

評析 本題是將證明∠AFO1=90°轉(zhuǎn)化為證明△AGO1為等腰三角形,從而由“三線合一”知O1F即是△AGO1的中線,也是△AGO1的高.在證明△AGO1為等腰三角形的過程中又將O1G、O1A放在兩個三角形中,通過證明三角形全等得到O1G=O1A,這種思路對于學生而言更加容易想到.

(2)法一 因為⊙O1過D,E,⊙O2過D,E所以DE ⊥ O1O2;又DE//AB,所以AB ⊥ O1O2,注意到AF⊥O1F,FB⊥FO2.即△ABF與△O1O2F的對應(yīng)邊分別垂直,因此△ABF～△O1O2F,所以;又BF=FD,所以

法二 由△DO1G ～=△CO1A知∠DO1G= ∠CO1A;又由∠DO1C= ∠DO1E知∠DO1A= ∠GO1E,注意到∠CDO1= ∠O1DE= ∠DEO1,于是∠DAO1= ∠DGO1,從而A,G,O1,D,四點共圓,于是∠FAO1= ∠GDO1=90°- ∠ACB,從而 ∠AO1F= ∠ACB;又 ∠DO2F=1/2∠DO2B=1/2·2(180°-∠DEB)= ∠DEC= ∠ACB,故 ∠AO1F= ∠DO2F;又 ∠O2FD=90°= ∠O1FA,故△O2FD～△O1FA,于是

評析 證明線段成比例,通常就是將這些線段放入某些三角形中,由三角形相似對應(yīng)邊成比例證得,只是所選的三角形不同,證明相似的難易程度就不同.法一利用問題(1)的結(jié)論,再找到一組垂直關(guān)系,證明相似就更容易,只是思維難度更大.法二這對三角形剛好包含這四條線段且剛好對應(yīng),運用了問題(1)的結(jié)論及過程中所得的全等三角形性質(zhì)證相似,因此證明就顯得更順利成章了.這道題包含的幾何知識非常豐富,因此解決這道題的方法也比較多,接下來介紹另外幾種證法.

二 其他解法及剖析

(一)由三角形全等證垂直

圖3

證明 (1)如圖3,延長AF、DE交于G,顯然四邊形ABGD為平行四邊形;又由DE//AB,F為BD中點,所 以 △ABF ～= △GDF,則BG=AD,∠BGE= ∠BAD=180°-2∠ABC = 180°-2∠DEC = 180°-2∠BEG;所以 ∠GBE= ∠BEG,所以 EG=BG=AD;又DO1=EO1,∠DEO1= ∠EDO1= ∠O1DC,所以∠GEO1=180°-∠DEO1=180°-∠O1DC= ∠ADO1,所以 △ADO1～= △GEO1,則AO1=GO1;又F 為AG中點,所以O(shè)1F ⊥ AF,即 ∠AFO1=90°.

評析 這種證法與參考答案的思路一致,只是所選的證明全等的三角形有所不同.所以將這種方法和參考答案歸為“由三角形全等證垂直”.

(2)又 ∠DO1A= ∠GO1E,則 ∠AO1G= ∠DO1E=2∠C;又 O2為 △BDE 外接圓,則顯然 ∠BED ＞ 90°,則∠BO2D=2∠DEC= ∠AO1G;又 BO2=DO2,AO1=O1G,所以△BO2D～△AO1G,故△O2FD～△O1FA,所以(F為BD,AG中點).

評析 這種證法的思想和參考答案的法二角度一致,只是證明△O2FD～△O1FA的方法不同,這種證法充分利用了問題一中△ADO1～= △GEO1的結(jié)論及“整體”的思想,要比法二的證明更加容易.

(二)由三角形相似證垂直

評析 這種證法是由相似三角形對應(yīng)角相等證得的,直接構(gòu)造一個直角三角形與∠AFO1所在的三角形相似是學生也比較容易想到的.

圖4

評析 這種證法與參考答案的法二角度一樣,但合理利用了題中條件所涉及的角度關(guān)系及問題一中的結(jié)論,使得證明△O2DF～△O1AF的難度降低了.

圖5

(三)利用相似同時證明兩個問

評析 此法通過證明△ABF～△O1O2F,由角的等量關(guān)系得到∠AFO1=90°,同時由這兩個三角形的相似關(guān)系可以直接證得第二問,一舉兩得,只是考慮這組相似三角形的難度較方法(二)會更大一些.

(四)通過四點共圓證垂直

圖6

評析 這種證法思維難度要大一些,需要有較強的幾何觀察力及豐富的幾何知識,證明過程簡單明了,但學生不容易想到這樣的構(gòu)造.

(2)因為

又 ∠O2FD= ∠DHE=90°,所以 △DO2F ～ △DEH;又△AO1F～△DO1M ～△DEH,所以△DO2F～△AO1F,所以

評析 同樣是證明△DO2F～△AO1F,由于問題一的輔助線的添法使得證明△DO1M ～△DEH十分簡單,同時由問題一中△ADO1～ △FMO1很容易證得△AO1F～△DO1M,從而得到△DO2F～△AO1F.

(五)從外心的角度證垂直

圖7

證明 (1)作BK//AC交AF延長線于K,因為DE//AB,等腰△ABC,F為BD中點所以ABKD是平行四邊形,所以BK=EK;作KM//BC交AC于M,CM=EK,AD=BK=CM,所以O(shè)1在AM 的中垂線上;因為O1為△DCE的外心,所以O(shè)1在EC的中垂線上,即在KM 的中垂線上,所以O(shè)1為△AKM外心;因為F為AK 的中點,所以O(shè)1F ⊥AK,即∠AFO1=90°.

評析 這種方法構(gòu)造難度最大,首先想到利用中垂線證垂直是不容易的,其次外心是三角形三條中垂線的交點,那么如何構(gòu)造一個三角形使得O1F是其一邊上的中垂線,O1是它的外心就是最大的難點.同時在證明O1是△AKM的外心時,各種關(guān)系的轉(zhuǎn)化也是較難的.

(2)作O1N ⊥ DE于N,因為∠O1FK= ∠O1NK=90°,所以O(shè)1,K,F,N 四點共圓,則 ∠NO1F= ∠NKF;同理O2,F,N,D四點共圓,則∠FO2N= ∠FDN,所以△O1FO2～△KFD,所以

評析 這種證法與參考答案中的法一思路一致,只是證明△O1FO2～△KFD方法不同,此法合理的利用了問題一的結(jié)論得圖形中的“四點共圓”,思維難度較參考答案的法一要低一些.

競賽中的幾何題難度大,但題中所給的條件還是能夠引發(fā)學生的一些思考,激發(fā)相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).一道幾何題的不同解法所呈現(xiàn)的思維方式不同,教學中應(yīng)從學生的“就近發(fā)展區(qū)”展開對問題的討論,由淺入深提高學生的思維層次.