王仁明 劉 豪 趙長風(fēng) 王凌云，2

(1. 三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2. 三峽大學(xué) 新能源微電網(wǎng)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心， 湖北 宜昌 443002)

非線性連續(xù)混沌系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)控制

王仁明1劉 豪1趙長風(fēng)1王凌云1，2

(1. 三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2. 三峽大學(xué) 新能源微電網(wǎng)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心， 湖北 宜昌 443002)

本文針對一類非線性連續(xù)混沌系統(tǒng)，提出了一種直接的模糊自適應(yīng)控制方法．該方法通過利用模糊系統(tǒng)逼近某個理想控制器來實(shí)現(xiàn)，而模糊控制器中參數(shù)的調(diào)整是使用梯度下降法設(shè)計的，即通過最小化理想控制器與模糊控制器之間誤差的二次成本函數(shù)來實(shí)現(xiàn)．根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及跟蹤誤差的收斂性．最后，通過對Arneodo混沌系統(tǒng)Duffing混沌系統(tǒng)的數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性．

混沌系統(tǒng)； 模糊控制； 自適應(yīng)控制； 梯度下降法

現(xiàn)代非線性控制理論的發(fā)展出現(xiàn)了許多控制和分析混沌系統(tǒng)的方法[1-2]．總的來說，控制混沌的方法有兩類：反饋控制方法和非反饋控制方法．反饋控制方法包括OGY方法[1]，線性反饋控制法[3-4]，自適應(yīng)控制方法[5-10]，模糊控制方法[7-9，11-15]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法[8-9，12，16]等．非反饋控制方法包括參數(shù)擾動法和外部周期性驅(qū)動方法等[17-18]．這些方法并不是對所有的混沌系統(tǒng)都能有效地控制，因?yàn)椴煌目刂品椒ǜ饔衅鋬?yōu)缺點(diǎn)，因此許多控制方法使用幾種方法的結(jié)合．

模糊控制和自適應(yīng)控制是兩種被廣泛使用于控制系統(tǒng)混沌行為的方法[6-7，11，19-20]．其優(yōu)點(diǎn)在于模糊邏輯本身提供了由專家構(gòu)造語言信息并將其轉(zhuǎn)化為控制策略的一種系統(tǒng)推理方法，尤其是在處理推理系統(tǒng)和控制系統(tǒng)中不確定性和不精確性方面效果良好．T-S模糊模型就能夠精確地表示一類高度非線性系統(tǒng)，這種模糊模型在不同的狀態(tài)空間區(qū)域的局部動態(tài)能夠被表示為線性模型，然后通過這些線性模型的模糊綜合得到整個非線性系統(tǒng)模型，從而可以利用線性系統(tǒng)的分析方法研究混沌現(xiàn)象．在文獻(xiàn)[7，21]中，研究者設(shè)計了SISO不確定仿射和非仿射非線性系統(tǒng)模糊自適應(yīng)控制器，MIMO不確定仿射非線性系統(tǒng)的研究也可見文獻(xiàn)[9，15，16]．此外，基于模糊系統(tǒng)的其它設(shè)計方法可見文獻(xiàn)[11，20，22]．其中，文獻(xiàn)[11]給出了一種自適應(yīng)模糊控制的方法來控制兩個分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步．文獻(xiàn)[20]建立了不確定混沌系統(tǒng)的動態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型并設(shè)計了神經(jīng)自適應(yīng)反演控制器．文獻(xiàn)[22]則使用了基于模糊模型的參數(shù)自適應(yīng)PID控制和滑膜控制來解決不確定混沌系統(tǒng)的控制問題．

在大多數(shù)應(yīng)用中，模糊控制器的規(guī)則庫是由專家知識來構(gòu)造的，然而對于某些時變的，非線性不確定的復(fù)雜系統(tǒng)，建立完善的規(guī)則庫比較困難．為了克服這一問題，一種基于通用逼近定理[21]和模糊系統(tǒng)的在線學(xué)習(xí)能力的模糊控制方案被提出．其中，模糊系統(tǒng)用于逼近一個未知的理想控制器，而模糊系統(tǒng)的可調(diào)參數(shù)則由自適應(yīng)律更新[14，16，23]，這是一種非直接的自適應(yīng)方法，這種方法存在控制器奇異問題的缺陷．因此，非仿射非線性系統(tǒng)的直接自適應(yīng)模糊控制方法被提出[13]，文獻(xiàn)[13]采用這種直接自適應(yīng)控制方法來設(shè)計模糊控制器，其中，參數(shù)自適應(yīng)律是基于Lyapunov方法設(shè)計的，而期望輸出與實(shí)際輸出之間的誤差被用來更新可調(diào)參數(shù)．由于控制目標(biāo)是用模糊控制器逼近未知的理想控制器，因此，直接使用理想控制器與模糊控制器之間的誤差來調(diào)整模糊控制器的自由參數(shù)更為方便．

本文表達(dá)了一種非線性連續(xù)混沌系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)控制策略．模糊系統(tǒng)被用來自適應(yīng)地構(gòu)造一個未知的理想控制器，由于這種未知控制器的存在性可由隱函數(shù)存在定理保證，但它的構(gòu)造方式卻未知，于是，基于梯度下降法設(shè)計了模糊參數(shù)自適應(yīng)律，以使得未知理想控制器與模糊控制器之間的誤差達(dá)到最?。鶕?jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性．最后，通過兩個混沌系統(tǒng)實(shí)例的數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性．

1 問題描述

考慮如下非線性單輸入單輸出(SISO)混沌系統(tǒng)：

其中，x=[x1，…，xn]T∈Rn是狀態(tài)空間向量，u是控制輸入，y是系統(tǒng)的輸出，f(x，u)是未知的連續(xù)非線性函數(shù)．

本文的目標(biāo)是設(shè)計模糊自適應(yīng)控制器使得系統(tǒng)(1)的輸出y(t)跟蹤某個給定信號yd(t)，這里，yd(t)有界并有直到n階導(dǎo)數(shù)．設(shè)跟蹤誤差e=yd-y，定義跟蹤誤差向量如下：

則由(1)，可以得到：

或者表示成如下矩陣形式

假設(shè)正常數(shù)向量k=[k0，k1，…，kn-1]T的選取使得矩陣Ac=A0-bkT是穩(wěn)定的，因而，對于任意給定的正定矩陣Q，下面的方程存在唯一的正定對稱解P．

定義信號v如下：

其中tanh是雙曲正切函數(shù)，β是一個足夠大的正常數(shù)，ε是一個足夠小的正常數(shù)．

注：選取函數(shù)βtanh(bTPe/ε)是為了保證針對后面設(shè)計的模糊自適應(yīng)控制器的模型誤差具有一定的魯棒性．此外，為了避免設(shè)計中可能出現(xiàn)的抖顫現(xiàn)象而選擇使用tanh代替sign．

由式(4)得到：

(7)

由文獻(xiàn)[19]可知，對于每對(x，v)，方程f(x，u)-v=0是可解的．因而存在一個理想的控制器u*(x，v)滿足：

如果實(shí)際控制器u被選作理想控制器，即u=u*，那么式(7)就可以寫成：

若選擇Lyapunov函數(shù)為V=eTPe，則該函數(shù)沿(9)和(5)的微分

因此，跟蹤誤差e(t)和它的各階導(dǎo)數(shù)e(i)(t)，(i=1，…，n-1)都隨時間趨于零．

2 糊控制器設(shè)計

前面已經(jīng)知道u*(x，v)是存在的，但其結(jié)構(gòu)卻是未知的．現(xiàn)在，用模糊自適應(yīng)方法來構(gòu)造該控制器．這里的模糊系統(tǒng)使用T-S模糊模型，輸入為z，輸出為y，如果為每個輸入zi定義Mi個模糊規(guī)則Fij(j=1，…，Mi)，則模糊系統(tǒng)可由一組if-then規(guī)則描述[15]：

Thenyisykk=1，…，N，

引進(jìn)文獻(xiàn)[21]中的關(guān)于模糊基函數(shù)的概念，輸出可以表示為如下形式：

其中θ=[y1，…，yN]T是一個參數(shù)向量，w(z)=[w1(z)，…，wn(z)]T是模糊基函數(shù)，定義為

式(10)是一個通用的逼近式，當(dāng)參數(shù)選擇合適時，可以很好地逼近一個連續(xù)函數(shù)[7]．

由此可知，理想控制器u*(x，v)可由式(10)逼近，因此，可將其表示為

其中z=[xTv]T，δ(z)是模糊逼近的誤差，θ*是一個使得|δ(z)|的值最小化的參數(shù)向量，w(z)是一個合理選擇的模糊基函數(shù)向量．

由于理想?yún)?shù)量θ*是未知的，因此，需要選擇一個合適的自適應(yīng)律來估計它．假設(shè)用θ作為θ*的估計值，那么系統(tǒng)(1)的控制律可選為：

3 自適應(yīng)算法設(shè)計

本節(jié)為參數(shù)向量θ設(shè)計一個自適應(yīng)算法使得模糊控制器(12)逼近未知控制器(11)，即所設(shè)計的自適應(yīng)算法應(yīng)使得誤差量eu=u*-u盡可能?。墒?11)和(12)，eu可寫為

(13)

利用中值定理可知存在一個λ∈(0，1)，使得f(x，u)在u*點(diǎn)可表示為

(14)

將(14)代入等式(7)并利用式(8)可得：

(15)

即

(16)

定義如下二次性能函數(shù)：

利用文獻(xiàn)[24]中的梯度下降法來最小化性能函數(shù)(17)，則可得參數(shù)θ的自適應(yīng)律由如下的一階微分方程描述：

選擇η(t)=η0fuλ，其中η0是一個正的常數(shù)，由式(16)，式(19)可寫為

(20)

(21)

4 穩(wěn)定性分析

定義如下函數(shù)：

由式(13)，(16)和(21)，(22)的導(dǎo)數(shù)可以表示為

利用如下不等式

式(23)的范圍可表示為

由于θ*為常數(shù)，δ(z)和fuλ被假定有界，因此存在一個正的常數(shù)ψ，使得

‖

由此，式(26)能進(jìn)一步簡化為

式(28)兩邊積分可得

下面分析跟蹤誤差的收斂性，選擇如下Lyapunov函數(shù)

對(30)微分，并利用式(5)，(13)，(15)可得

由(29)可知

由于w(z)，δ(z)，fuλ有界，由(32)可得

其中ψ1和ψ0是正常數(shù)．將式(33)代入(31)得到如下不等式

選擇β≥ψ1，并利用不等式-xtanh(x/ε)+|x|≤κε，其中κ=0.278 5，式(34)可縮減為

‖e‖2+

2‖

其中λmin(Q)是矩陣Q的最小特征值．假定λmin(Q)>0.5，將式(36)重寫為

‖bTP‖

其中αe=(λmin(Q)-0.5)/λmax(P)且λmax(P)是矩陣(P)的最大特征值．

5 數(shù)值仿真

例1：考慮Arneodo混沌系統(tǒng)，動態(tài)的方程如下

這是一個單輸入單輸出系統(tǒng)，若取參數(shù)b1=-5.5，b2=3.5，b3=1，b4=-1，此時系統(tǒng)的混沌吸引子和Lyapunov指數(shù)譜分別如圖1～2所示．

圖1 Arneodo系統(tǒng)的混沌吸引子

圖2 Arneodo系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)b4的變化

跟蹤信號取為yd=sin(t)+cos(0.5t)．模糊系統(tǒng)的輸入變量選為z=[x1，x2，x3]T，其中z1=x1，z2=x2，z3=x3，模糊系統(tǒng)的輸出即理想控制器選為式(12)所示的形式，對于每個變量zi其隸屬度函數(shù)定義為如下

其中圖3為Arneodo系統(tǒng)的狀態(tài)和指定的跟蹤信號，圖4為狀態(tài)與跟蹤信號的誤差，圖5為控制輸出信號u．

圖3 Arneodo系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡跟蹤

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)與跟蹤信號的誤差

圖5 控制輸出信號u

例2：考慮Duffing混沌系統(tǒng)，動態(tài)方程如下：

若取c1=-1.1，c2=1，c3=1，c4=ω=1.8，Duffing系統(tǒng)的混沌吸引子和狀態(tài)分岔圖分別如圖6～7所示，系統(tǒng)的初始值取為x0=[0.5 0.5]T，隸屬度函數(shù)依照例1建立，取參數(shù)η0=5，β=20，ε=0.01，σ=0.02，其余參數(shù)選取同例1，仿真結(jié)果如圖8～10所示．

圖6 Duffing系統(tǒng)的混沌吸引子

圖7 Duffing系統(tǒng)的狀態(tài)分岔圖

圖8 系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡跟蹤

圖9 系統(tǒng)狀態(tài)和跟蹤信號誤差

圖8為Duffing系統(tǒng)的狀態(tài)與跟蹤信號，圖9為狀態(tài)與跟蹤信號的誤差，圖10為控制輸出信號u．從上述兩個例子，可以看到，混沌系統(tǒng)的狀態(tài)能很好地跟蹤給定信號，闡明了本文的方法對混沌系統(tǒng)的控制作用是非常有效的．

6 結(jié) 論

本文給出了一種非線性連續(xù)混沌系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)控制策略．采用模糊系統(tǒng)構(gòu)造一個理想控制器，然后基于梯度下降法設(shè)計了模糊參數(shù)自適應(yīng)律來不斷逼近理想的控制器，以使得理想控制器與模糊控制器之間的誤差達(dá)到最小，并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性．由于設(shè)計的控制器并沒有涉及到詳細(xì)的系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此該方法適應(yīng)于非線性程度較高的，常規(guī)控制方法難以奏效的系統(tǒng)的鎮(zhèn)定．最后，通過Arneodo系統(tǒng)和Duffing系統(tǒng)的數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性．

[1] Ott E, Grebogi C, Yorke J A. Controlling Chaos[J]． Physical Review Letters, 1990, 64(11)：1196-1199．

[2] Yu J P, Chen B, Yu H S. Adaptive Fuzzy Tracking Control for the Chaotic Permanent Magnet Synchronous Motor Drive System Via Backstepping[J]． Nonlinear Analysis：Real World Application, 2010, 1(12)：671-681．

[3] 王興元.復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌[M]．北京：電子工業(yè)出版社, 2003．

[4] Shen Z, Li J. Chaos Control for a Unified Chaotic System Using Output Feedback Controllers[J]． Mathematics & Computers in Simulation, 2016．

[5] Liu Y J, Zheng Y Q. Adaptive Robust Fuzzy Control for a Class of Uncertain Chaotic Systems[J]． Nonlinear Dynamics, 2009, 57, 431-439．

[6] Zhang R, Yang S. Adaptive Synchronization of Fractional-order Chaotic Systems Via a Single Driving Variable[J]． Nonlinear Dynamics, 2011, 66, 831-837．

[7] Salim Labiod, Thierry Marie Guerra. Adaptive Fuzzy Control of a Class of SISO Nonaffine Nonlinear Systems[J]． Fuzzy Sets and Systems, 2007, 158：1126-1137．

[8] Lin D, Wang X Y. Self-organizing Adaptive Fuzzy Neural Control for the Synchronization of Uncertain Chaotic Systems with Random Varying Parameters[J]． Neurocomputing, 2011, 74 (12-13)：2241-2249．

[9] Lin D, Wang X Y, Nian F H. Dynamic Fuzzy Neural Networks Modeling and Adaptive Backstepping Tracking Control of Uncertain Chaotic Systems[J]． Neurocomputing, 2010, 73 (16-18)：2873-2881．

[10] Zhang R, Yang S. Adaptive Synchronization of Fractional-order Chaotic Systems Via a Single Driving Variable[J]． Nonlinear Dynamics, 2011, 66, 831-837．

[11] Bouzeriba A, Boulkroune A, Bouden T. Projective Synchronization of Two Different Fractional-order Chaotic Systems Via Adaptive Fuzzy Control[J]． Neural Computing & Applications, 2015, 5(3)：1-12．

[12] Lin D, Wang X Y, Yao Y. Fuzzy Neural Adaptive Tracking Control of Unknown Chaotic Systems with Input Saturation[J]． Nonlinear Dynamics, 2012, 67(4)：2889-2897．

[13] Park J H, Park G T, Kim S H, et al. Direct Adaptive Self-structuring Fuzzy Controller for Nonaffine Nonlinear System[J]． Fuzzy Sets and Systems,2005, 153 (3)：429-445．

[14] Sofianos N A, Boutalis Y S. Robust Adaptive Multiple Models Based Fuzzy Control of Nonlinear Systems[J]． Neurocomputing, 2015, 173：1733-1742．

[15] Labiod S, Boucherit M S, Guerra T M. Adaptive Fuzzy Control of a Class of MIMO Nonlinear Systems[J]． Fuzzy Sets and Systems, 2005, 151 (1)：59-77．

[16] Liu Y J, Wen G X, Tong S C. Adaptive Neural Output Feedback Tracking Control for a Class of Uncertain Discrete-time Nonlinear Systems[J]． IEEE Transaction on Neural Networks, 2011, 7(22)：1162-1167．

[17] Yang W, Lin W, Wang X, et al. Synchronization of Networked Chaotic Oscillators under External Periodic Driving[J]． Physical Review E, 2015, 91(3-1)．

[18] Jimenez-Triana A, Chen G, Gauthier A. A Parameter-Perturbation Method for Chaos Control to Stabilizing UPOs[J]． Circuits & Systems II Express Briefs IEEE Transactions on, 2015, 62(4)：407-411．

[19] Niu Y J, Wang X Y. A Novel Adaptive Fuzzy Sliding-mode Controller for Uncertain Chaotic Systems[J]． Nonlinear Dynamics, 2013, 73(3)：1201-1209．

[20] Chen D, Liu Y, Zhang R. Control of a Class of Fractional-order Chaotic Systems Via Sliding Mode[J]． Nonlinear Dynamics, 2012, 67：893-901．

[21] Chang Y C. Adaptive Fuzzy-based Tracking Control for Nonlinear SISO Systems via VSS and H∞ Approaches[J]． IEEE Trans. On Fuzzy Systems, 2001, 9：278-292．

[22] Mahmoodabadi M J, Maafi R A, Taherkhorsandi M. An Optimal Adaptive Robust PID Controller Subject to Fuzzy Rules and Sliding Modes for MIMO Uncertain Chaotic Systems[J]． Applied Soft Computing, 2016．

[23] Golea N, Golea A, Benmahammed K. Stable Indirect Fuzzy Adaptive Control[J]． Fuzzy sets and Systems, 2003, 137：353-366．

[24] Loannou P, Sun J. Robust Adaptive Control[M]． Englewood Cliffs：Prentice Hall inc，1996．

[責(zé)任編輯 張 莉]

Adaptive Fuzzy Control of Nonlinear Continuous-Time Chaotic System

Wang Renming Liu Hao1Zhao Changfeng1Wang Lingyun1，2

(1. College of Electrical Engineering & Renewable Energy, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China； 2. Hubei Provincial Collaborative Innovation Center for New Energy Microgrid, China Three Gorges Univ.，Yichang 443002, China)

This paper presents a direct method of fuzzy adaptive control for a class of nonlinear continuous chaotic systems. The method is established by using a fuzzy system in which parameters are adjusted by gradient descent to approximate an ideal controller, i.e.by minimizing the quadratic cost function of the deviation between the fuzzy controller and the ideal controller. The stability of closed-loop system and the convergence of tracking errors are analyzed by using Lyapunov stability theory. Numerical examples, including Arneodo system and Duffing oscillator, are given to illustrate the validity of the proposed adaptive fuzzy approach.

chaotic system; fuzzy control; adaptive control; gradient descent method

2016-09-14

國家自然科學(xué)基金(51407104)

王仁明(1964-)，男，教授，博士，主要研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程．E-mail：eermwang@ctgu.edu.cn

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.04.018

TP273

A

1672-948X(2017)04-0084-06