范小丹, 劉曉勇

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經(jīng)管類(lèi)高等數(shù)學(xué)課堂中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的探討

范小丹1, 劉曉勇2

(1. 遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，遼寧錦州 121001；2.. 遼寧工業(yè)大學(xué)教學(xué)評(píng)估中心，遼寧錦州 121001)

根據(jù)遼寧工業(yè)大學(xué)向應(yīng)用型轉(zhuǎn)型的要求，從培養(yǎng)能力型人才的角度出發(fā)，在分析了經(jīng)管類(lèi)高等數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，對(duì)將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入課堂進(jìn)行了初步的探討。文章給出了將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入高等數(shù)學(xué)課堂的三種實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，并通過(guò)數(shù)據(jù)分析了引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)而總結(jié)了對(duì)實(shí)施過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題的原因和解決方法。研究結(jié)果表明：在高等數(shù)學(xué)課堂中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)提高經(jīng)管類(lèi)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提高有顯著的促進(jìn)作用。

高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；教學(xué)改革

在高等學(xué)校中，“高等數(shù)學(xué)”不僅僅是經(jīng)管類(lèi)學(xué)生需要學(xué)習(xí)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課，而且其中大量的數(shù)學(xué)思想及內(nèi)容已經(jīng)融入到現(xiàn)今流行的一些經(jīng)濟(jì)管理方法之中，經(jīng)管類(lèi)的學(xué)生迫切需要學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)。

現(xiàn)階段的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)普遍具有“模式化”，枯燥的粉筆黑板式的教學(xué)方法泯滅了學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性；加之學(xué)習(xí)經(jīng)管類(lèi)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生大多數(shù)是文科生，本身對(duì)數(shù)學(xué)的興趣不高，學(xué)生明顯對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)感覺(jué)枯燥、提不起興趣，多種原因?qū)е铝藢W(xué)生高等數(shù)學(xué)課程考試成績(jī)不高，及格率偏低。

為了改變這一現(xiàn)狀，教師只能適當(dāng)刪減教學(xué)內(nèi)容并簡(jiǎn)化考試題目，真正的數(shù)學(xué)思想已經(jīng)逐步淡出了高等數(shù)學(xué)的課堂。

學(xué)生中普遍流行高等數(shù)學(xué)無(wú)用論，認(rèn)為高等數(shù)學(xué)根本沒(méi)有什么用，將來(lái)也不會(huì)有什么地方能用得上。盡管近些年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽在國(guó)內(nèi)高校中漸行漸熱，但經(jīng)管類(lèi)的學(xué)生對(duì)此的積極性卻不高，大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為那是一個(gè)遙不可及的賽事，自己根本不能夠完成，更不要提獲獎(jiǎng)了。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)軟件的幫助下解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。其最大的特點(diǎn)是把大量繁重、枯燥的計(jì)算過(guò)程通過(guò)數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)，得出比較直觀(guān)的結(jié)果[1]。

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，在高等數(shù)學(xué)理論課程的基礎(chǔ)上引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)勢(shì)在必行。

一、經(jīng)管類(lèi)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)特點(diǎn)

（一）學(xué)生數(shù)學(xué)水平參差不齊

在大多數(shù)普通本科高校的經(jīng)管類(lèi)院系中，大多數(shù)的學(xué)生是文科生。學(xué)生在高中對(duì)理科不感興趣甚至討厭，但因?yàn)榭紤]就業(yè)等問(wèn)題才選擇了高校中的經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)，這就導(dǎo)致了學(xué)習(xí)經(jīng)管類(lèi)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生中有很大一部分人對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)有興趣或數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差。怎樣讓這部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，進(jìn)而能夠很好地學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，教師需要因材施教，在課堂中運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法吸引各類(lèi)學(xué)生的目光。

（二）課程內(nèi)容多但課時(shí)少

經(jīng)管類(lèi)的高等數(shù)學(xué)課時(shí)一般會(huì)比工科類(lèi)的數(shù)學(xué)課時(shí)少很多，但內(nèi)容并不比工科類(lèi)的少太多。因此為了完成工作量，教師只能在理論介紹之后進(jìn)行有限的計(jì)算練習(xí)，疲于應(yīng)對(duì)最終的期末考試，基本上不會(huì)涉及有關(guān)內(nèi)容的應(yīng)用[2]。這就導(dǎo)致了學(xué)生覺(jué)得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)除了能應(yīng)付考試就沒(méi)有其他的用處了，也就是“數(shù)學(xué)無(wú)用論”。這需要教師在上課過(guò)程中有意識(shí)地融入有關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用內(nèi)容，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)并非無(wú)用。

（三）教學(xué)內(nèi)容抽象且邏輯性強(qiáng)

高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校所設(shè)立的各種學(xué)科中最經(jīng)典的一門(mén)，已經(jīng)具有較完善的體系，具有很強(qiáng)的抽象性和邏輯性[3]，但這種能力恰恰是經(jīng)管類(lèi)學(xué)生所欠缺的。如果不能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生厭學(xué)情緒。教師在授課過(guò)程中應(yīng)該“輕理論，重應(yīng)用”，但應(yīng)該注意千萬(wàn)不能喧賓奪主，在保持高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)的完整性的基礎(chǔ)上根據(jù)所講內(nèi)容增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，增加高等數(shù)學(xué)的趣味性。

二、高等數(shù)學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方案

（一）介紹相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)軟件有MATLAB、Mathematica等。在講授到適合進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容時(shí)，可以考慮在課堂上介紹軟件相應(yīng)的函數(shù)、語(yǔ)句等。相對(duì)于強(qiáng)大的Matlab來(lái)說(shuō)，Mathematica的操作更加直觀(guān)，快捷，適合初學(xué)者。

例如在講解第二類(lèi)重要極限時(shí)，學(xué)生非常不理解冪指函數(shù)的意義，想象不出極限limx→∞(1+1/x)x的結(jié)果是什么，在教師用一行命令

Plot[(1+1/t)^t, {t, 0,20}, Background -> RGBColor[0, 1, 0]]

就能畫(huà)出函數(shù)y=(1+1/x)x的圖形，如圖1，很容易看出此極限大概是3。學(xué)生會(huì)感覺(jué)很神奇，在推導(dǎo)的過(guò)程中就不會(huì)感覺(jué)枯燥。

圖1 函數(shù)圖形

（二）從驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)入手，提高學(xué)生的自信心和積極性

驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)的目的是對(duì)自己手動(dòng)計(jì)算的結(jié)果通過(guò)軟件運(yùn)行來(lái)驗(yàn)證的過(guò)程。例如，計(jì)算不定積分∫1/(x2+1)3/2dx，經(jīng)過(guò)第二類(lèi)換元法的計(jì)算，得到結(jié)果x/(1+x2)1/2。

這個(gè)過(guò)程手動(dòng)來(lái)計(jì)算是比較復(fù)雜的。在Mathematica排版界面中直接輸入這個(gè)不定積分然后運(yùn)行就可以得出結(jié)果，如圖2，非常方便快捷。

如果通過(guò)這個(gè)過(guò)程，軟件運(yùn)行結(jié)果與自己計(jì)算結(jié)果一致，學(xué)生在手動(dòng)計(jì)算能力方面和運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件能力方面的成就感都會(huì)大大提升。學(xué)生會(huì)感覺(jué)數(shù)學(xué)并不是高深的不可接觸的學(xué)科，自己也可以把數(shù)學(xué)學(xué)得很好。

通過(guò)驗(yàn)證性的實(shí)驗(yàn)可以極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和積極性。

圖2 計(jì)算不定積分

（三）主攻設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力

在掌握了大部分?jǐn)?shù)學(xué)理論內(nèi)容所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用之后，教師可以選擇一些適當(dāng)?shù)?、與經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)相關(guān)的生活實(shí)際案例，作為作業(yè)讓學(xué)生解決，最終以報(bào)告的形式上交。解決的過(guò)程包括：對(duì)所給問(wèn)題的準(zhǔn)確分析、建立合理的數(shù)學(xué)模型、適當(dāng)?shù)能浖蠼?、?duì)結(jié)果的總結(jié)與分析。在這個(gè)過(guò)程中，提高了學(xué)生對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的敏感度，高等數(shù)學(xué)中相應(yīng)的內(nèi)容也得到了重視。最重要的是學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力得到了提高。

例如在學(xué)習(xí)完微分方程一章以后給出如下案例：一個(gè)魚(yú)塘最多只能養(yǎng)1000 條魚(yú)，已知魚(yú)的數(shù)量y (單位：尾)隨時(shí)間t單位：月) 的變化率與魚(yú)數(shù)y和1000?y的乘積成正比。年初放養(yǎng)魚(yú)苗100尾，三個(gè)月后有250 尾魚(yú)。

試求：六個(gè)月后魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量，多長(zhǎng)時(shí)間后魚(yú)的數(shù)量達(dá)到最多。

分析：事實(shí)上，魚(yú)的數(shù)量y隨時(shí)間t的變化率即魚(yú)的數(shù)量y的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dy/dt，由題目給出的條件知dy/dx=ky(1000-y)(k為比例系數(shù))，且有初始條件y(0)=100,y(3)=250。

通過(guò)Mathematica，編寫(xiě)程序：

Jie=DSolve[{y'[t]=k *y[t]*(1000-y[t]),y[0]=100,

y[3]=250},y[t],t]

得出結(jié)果

y[t]=1000/(1+9e-0.3662t)，

并用Plot命令畫(huà)出圖形，如圖3。

計(jì)算出y[6]=499.994。

即六個(gè)月后魚(yú)塘中有魚(yú)500尾。

從圖3中可以看出，大約在20個(gè)月以后，魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量就會(huì)接近飽和，并持續(xù)下去。

圖3 魚(yú)的數(shù)量變化圖

三、在高等數(shù)學(xué)課程中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的優(yōu)勢(shì)

在引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)前和引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后對(duì)試點(diǎn)班級(jí)和非試點(diǎn)班級(jí)（均30人）都進(jìn)行了調(diào)查，如表1。

從期末考試成績(jī)上看，試點(diǎn)班級(jí)在引入實(shí)驗(yàn)后的平均成績(jī)、及格率和優(yōu)秀率都有所上升，與非試點(diǎn)班級(jí)比較，試點(diǎn)班級(jí)的各項(xiàng)數(shù)據(jù)在引入實(shí)驗(yàn)后比非試點(diǎn)班級(jí)的也高出很多，特別是優(yōu)秀率，說(shuō)明學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣大大提升，因此成績(jī)有很大提高。

在參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的積極性上，上一年經(jīng)管類(lèi)的學(xué)生只有5人參加了數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，而今年不僅試點(diǎn)班級(jí)同學(xué)參加了10組共30人，同班上課的其他非試點(diǎn)班級(jí)學(xué)生也積極地報(bào)名。

表1 試點(diǎn)班級(jí)和非試點(diǎn)班級(jí)對(duì)比

同時(shí)制定了調(diào)查問(wèn)卷，對(duì)試點(diǎn)班級(jí)和非試點(diǎn)班級(jí)從喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的程度、對(duì)自己能否學(xué)好數(shù)學(xué)的估計(jì)、對(duì)自己是否能解決生活實(shí)際問(wèn)題、是否希望參加競(jìng)賽等方面進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)試點(diǎn)班級(jí)的分?jǐn)?shù)大大高于非試點(diǎn)班級(jí)。試點(diǎn)班級(jí)的學(xué)生對(duì)自己充滿(mǎn)信心，基本上都認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)并不是什么難事，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活實(shí)際問(wèn)題是很有趣的事情，都希望能夠在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽上獲獎(jiǎng)。

從此可以看出，在高等數(shù)學(xué)課程中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，在教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下，可以大大提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信，同時(shí)也提高了學(xué)生的計(jì)算機(jī)水平，擁有了應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

四、在課程中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)遇到的問(wèn)題和解決方法

在高等數(shù)學(xué)課程中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中也發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題，并采取了相應(yīng)的措施，總結(jié)如下:

（1）學(xué)生在中學(xué)大多沒(méi)有進(jìn)行過(guò)數(shù)學(xué)公式的輸入和軟件編程，所以數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用過(guò)程中困難比較大。并且因?yàn)橛⒄Z(yǔ)水平不高，程序運(yùn)行過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)就有讀不懂的現(xiàn)象，從而不知道如何調(diào)試程序，得不出結(jié)果，或者讀不懂得出的結(jié)果的意思，造成誤差。因此，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中重視培養(yǎng)學(xué)生對(duì)軟件中出現(xiàn)的英文翻譯的能力。

（2）當(dāng)學(xué)生能夠自主地運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件后，有的學(xué)生會(huì)非常依賴(lài)軟件的計(jì)算能力，因此不重視數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)，這樣就不能很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、邏輯推理能力，最終數(shù)學(xué)能力并未得到提高。為了避免這種情況，教師在授課時(shí)要強(qiáng)調(diào)理論的重要性。在學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)軟件得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果后，教師要適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用理論驗(yàn)證結(jié)果的合理性，更好地將理論應(yīng)用于實(shí)踐，將理論與實(shí)踐有機(jī)地結(jié)合在一起。

（3）在增加了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)后，在原有課時(shí)不變的情況下，學(xué)生的負(fù)擔(dān)明顯增加。這就要求教師在授課時(shí)減少理論太強(qiáng)的證明與推導(dǎo)、繁瑣的計(jì)算，多滲透數(shù)學(xué)的思想和方法。在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)可以以小組的形式進(jìn)行，節(jié)約時(shí)間、提高效率。

五、結(jié)束語(yǔ)

綜上，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入到高等數(shù)學(xué)的課堂中，使得學(xué)生從枯燥的證明與繁瑣的計(jì)算中解脫了出來(lái)，方便學(xué)生掌握更多的數(shù)學(xué)思想與方法，并提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，但仍有不足之處。如何引領(lǐng)學(xué)生將理論學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)踐有效結(jié)合，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率將是下一步研究的目標(biāo)。

[1] 高潔，周瑋. 在高等數(shù)學(xué)課程中開(kāi)展教學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的探索與研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào), 2015, 24(3): 86-90.

[2] 郭迎春. 實(shí)驗(yàn)與教學(xué)相結(jié)合改革高等數(shù)學(xué)教育模式[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào), 2008,17(3): 76-77.

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(責(zé)任編校：付春玲)

10.15916/j.issn1674-327x.2017.04.041

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1674-327X (2017)04-0133-03

2017-03-24

遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院教改項(xiàng)目（201709211）

范小丹(1979-)，女(滿(mǎn)族)，河北唐山人，講師。