劉曉丹

【摘 要】2011年版標(biāo)準(zhǔn)明確初中統(tǒng)計(jì)的教學(xué)包括：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計(jì)圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等；從數(shù)據(jù)中提取信息并進(jìn)行簡單的推斷。其中，數(shù)據(jù)的收集與描述在小學(xué)已有所涉及，而數(shù)據(jù)處理中多數(shù)統(tǒng)計(jì)量在初中是第一次認(rèn)識，如何在這部分教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念這一核心素養(yǎng)呢，下面我結(jié)合自己的教學(xué)談?wù)剮c(diǎn)做法。

【關(guān)鍵詞】統(tǒng)計(jì)概念；數(shù)據(jù)分析；統(tǒng)計(jì)量

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，辨析統(tǒng)計(jì)概念

反映一組數(shù)據(jù)特征的一般指標(biāo)是平均水平和波動情況。初中階段主要用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來表現(xiàn)平均水平，用方差來反映數(shù)據(jù)的波動情況。教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)量的意義，而不是單純地識記名詞，掌握計(jì)算方法。對于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這三個刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量，在教學(xué)中，我們可以呈現(xiàn)有爭議的問題情境，讓學(xué)生在“公說公有理，婆說婆有理”的討論中加深對概念的辨析與理解，并學(xué)會根據(jù)問題的背景選擇合適的方法進(jìn)行處理。

教學(xué)完數(shù)據(jù)的集中趨勢三個統(tǒng)計(jì)量后，我提供了以下具體情境，并逐一呈現(xiàn)問題讓學(xué)生進(jìn)行討論：

例1：星期天上午，科技館來了甲、乙兩隊(duì)游客，兩隊(duì)游客的年齡如下所示：

問題1：請根據(jù)上述數(shù)據(jù)求出兩隊(duì)游客年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；

問題2：哪個統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲隊(duì)游客一般年齡，你選擇的理由是什么？

問題3：平均數(shù)能較好地反映乙隊(duì)游客的年齡特征嗎？為什么？

問題4：比較兩隊(duì)的數(shù)據(jù)特征，你認(rèn)為在反映具體問題中數(shù)據(jù)的集中趨勢時，應(yīng)如何選擇統(tǒng)計(jì)量？

通過問題討論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)，由于求平均數(shù)時用到了每一個數(shù)據(jù)，所以它對數(shù)據(jù)的變化比較敏感，也容易受到極端數(shù)據(jù)的影響；中位數(shù)與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，反映的是數(shù)據(jù)的中等水平；而眾數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的多數(shù)水平，大小只與數(shù)據(jù)中部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)。在選擇統(tǒng)計(jì)量反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢時，要考慮這組數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)。對于對稱或近似對稱分布（正態(tài)分布）的數(shù)據(jù)，用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢是一樣的。為了體現(xiàn)每個數(shù)據(jù)的作用，一般情況下，我們用平均數(shù)作為數(shù)據(jù)的代表。而對于不對稱（偏態(tài)分布）的數(shù)據(jù)，由于平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)的影響，這時可以用中位數(shù)反映具體問題中數(shù)據(jù)的集中趨勢。

二、掌握統(tǒng)計(jì)算理，解決具體問題

數(shù)據(jù)處理中的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量，學(xué)會計(jì)算固然重要，但并不能成為最核心的目標(biāo)，因?yàn)閷τ诂F(xiàn)實(shí)問題，數(shù)據(jù)往往十分繁雜，學(xué)生筆算是十分困難的，面對具體問題，將來也多是借助計(jì)算器或者計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算。因此，筆算不應(yīng)成為統(tǒng)計(jì)教學(xué)的核心，只要學(xué)生了解各個統(tǒng)計(jì)量的算理，做到會計(jì)算即可。教學(xué)的重心應(yīng)轉(zhuǎn)變到對于統(tǒng)計(jì)量意義的理解，并利用算理選擇統(tǒng)計(jì)量，以解決具體問題。

例如我們可以呈現(xiàn)以下這些問題讓學(xué)生加深對統(tǒng)計(jì)算理與規(guī)則的理解與掌握：

例2：李華根據(jù)演講比賽中九位評委所給的分?jǐn)?shù)制作了如下表格：

如果要去掉一個最高分和一個最低分，則表中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是（ ）

A.平均數(shù) B.眾數(shù) C.方差 D.中位數(shù)

在例2中，由于平均數(shù)能體現(xiàn)每一個數(shù)據(jù)對總體的影響，方差是個體數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)，去掉最高分與最低分，平均數(shù)與方差自然也有所變化。由于中位數(shù)是8.3，平均數(shù)是8.5，并不能確定最低分是原來的眾數(shù)8.1，故一定不會發(fā)生變化的只能是中位數(shù)。從本例中我們發(fā)現(xiàn)，解決一些具體問題，不一定要求出各個統(tǒng)計(jì)量，只要利用算理進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐袛嗉纯?。因此，教學(xué)中不僅要讓學(xué)生掌握必要的求解統(tǒng)計(jì)量的方法，還要讓學(xué)生明白算理，靈活運(yùn)用運(yùn)算規(guī)則解決問題。

在初中所學(xué)相關(guān)數(shù)據(jù)處理的四個統(tǒng)計(jì)量中，學(xué)生最難理解的是加權(quán)平均數(shù)與方差。加權(quán)平均數(shù)主要表現(xiàn)為對“權(quán)”的理解不清；而方差則是對“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的計(jì)算流程沒有很好掌握。教學(xué)中教師應(yīng)注重情景教學(xué)，多舉和生活實(shí)際相聯(lián)系的例子，讓學(xué)生在解決具體問題中加深對這兩個概念與算理的理解與掌握。

三、借助圖形直觀，判斷統(tǒng)計(jì)特征

現(xiàn)實(shí)生活中，為了直觀地展現(xiàn)數(shù)據(jù)，我們看到的常常是直觀的統(tǒng)計(jì)圖表，因此能從直觀的圖表中快速獲取信息成為一個十分重要的技能。這里的信息，不僅指圖表本身所蘊(yùn)含的一些顯性信息，如條形統(tǒng)計(jì)圖中各部分的數(shù)據(jù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中的各部分的百分比等，還包括蘊(yùn)含的隱形信息，如這些數(shù)據(jù)的平均水平和波動水平等。這些信息，圖表本身并沒有明確寫出，但可以借助圖表獲得一個大致的估計(jì)。這里的估計(jì)，又可以分為兩種，一是直接借助圖形的直覺整體感知，二是借助圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓浪恪?/p>

例如，我們可以借助扇形統(tǒng)計(jì)圖，快速地求出一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

例3.某電腦公司銷售部為了定制下個月的銷售計(jì)劃，對20位銷售員本月的銷售量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，求這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。

在本例中，求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，學(xué)生可以通過計(jì)算數(shù)據(jù)的個數(shù)與排列順序求得，但如果理解了中位數(shù)的概念，并能正確獲取圖象中的信息，也可以作出如圖所示的輔助線進(jìn)行直觀判斷。

為了加強(qiáng)學(xué)生利用圖形直觀估測數(shù)據(jù)特征的能力，教學(xué)

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中我還安排了以下教學(xué)內(nèi)容：

例4：甲、乙、丙三支青年排球隊(duì)各有12名隊(duì)員，三隊(duì)隊(duì)員的年齡情況如下圖：

（1）觀察三幅圖，你能從圖中分別看出三支球隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù)嗎？中位數(shù)呢？

（2）根據(jù)圖表，你能大致估計(jì)出三支球隊(duì)隊(duì)員的平均年齡哪個大、哪個小嗎？你是怎么估計(jì)的？與同伴交流。

（3）計(jì)算出三支球隊(duì)隊(duì)員的平均年齡，看看你上面的估計(jì)是否準(zhǔn)確？

對于例4，教學(xué)活動要讓學(xué)生利用圖形反映出的直觀特征先進(jìn)行預(yù)估，并讓學(xué)生結(jié)合統(tǒng)計(jì)量的意義充分交流估算的根據(jù)，最后再利用公式計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。通過思考與交流，讓學(xué)生積累統(tǒng)計(jì)活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展初步的統(tǒng)計(jì)意識和數(shù)據(jù)處理能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識。

同樣的，在單元復(fù)習(xí)中，教師還可以提供一些用幾何直觀方式更容易求解的統(tǒng)計(jì)圖表，讓學(xué)生從中感受圖形直觀在解決問題中的魅力。

例5：甲、乙倆射擊運(yùn)動員進(jìn)行10次射擊，甲的成績是7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成績?nèi)鐖D所示。比較甲、乙射擊成績的方差的大小，你是如何判斷的。

這是一道求方差的問題，學(xué)生當(dāng)然可以利用公式對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行估算后再加以判斷，但如果將甲運(yùn)動員的成績描在圖中，通過幾何直觀比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況，從而判斷兩者方差的大小，則能迅速便捷地將問題解決。這樣的教學(xué)活動，不僅對學(xué)生鞏固統(tǒng)計(jì)量的意義有利，同時也能促進(jìn)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念、幾何直觀、合情推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成。

四、結(jié)語

在數(shù)據(jù)的分析教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生認(rèn)識統(tǒng)計(jì)量的定義，學(xué)會求解相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，更重要是要通過對統(tǒng)計(jì)量概念的理解，明晰統(tǒng)計(jì)量的算理，并根據(jù)具體問題情境合理選擇統(tǒng)計(jì)量來反映數(shù)據(jù)的特征，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力。endprint