李 明 鐘 豪

(湖南理工學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，湖南岳陽414006)

半結(jié)構(gòu)法在中心對稱結(jié)構(gòu)計算中的應(yīng)用1)

李 明2)鐘 豪

(湖南理工學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，湖南岳陽414006)

半結(jié)構(gòu)法是計算對稱結(jié)構(gòu)的一種簡化分析方法，通常應(yīng)用于軸對稱結(jié)構(gòu).本文將探討半結(jié)構(gòu)法在中心對稱結(jié)構(gòu)計算中的應(yīng)用問題，包括中心對稱、反對稱載荷作用下結(jié)構(gòu)的對稱性及其證明、等代結(jié)構(gòu)形式及其應(yīng)用等.算例表明，中心對稱結(jié)構(gòu)半結(jié)構(gòu)法能夠最大程度簡化結(jié)構(gòu)、提高結(jié)構(gòu)計算效率，與其他方法聯(lián)合應(yīng)用的一題多解方法可豐富結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)內(nèi)容，有利于學(xué)生拓展其創(chuàng)新思維及分析解決復(fù)雜力學(xué)問題的能力.

中心對稱結(jié)構(gòu)，半結(jié)構(gòu)法，對稱性，等代結(jié)構(gòu)

半結(jié)構(gòu)法是計算對稱結(jié)構(gòu)常采用的一種簡化分析方法. 結(jié)構(gòu)力學(xué)教材[1]通常如下定義對稱結(jié)構(gòu)：①結(jié)構(gòu)的幾何形式和支承情況對某軸對稱；②桿件截面和材料性質(zhì)也對此軸對稱，該軸線稱為對稱軸，上述結(jié)構(gòu)亦稱為軸對稱結(jié)構(gòu).實際工程中除軸對稱結(jié)構(gòu)外，還有一類常見幾何對稱結(jié)構(gòu)——中心對稱結(jié)構(gòu).中心對稱結(jié)構(gòu)有一中心對稱點(對稱中心).中心對稱結(jié)構(gòu)的一半繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°，將與結(jié)構(gòu)的另一半完全重合.本文將探討半結(jié)構(gòu)法在中心對稱結(jié)構(gòu)計算中的應(yīng)用問題，包括中心對稱、反對稱載荷作用下結(jié)構(gòu)的對稱性及其證明以及等代結(jié)構(gòu)形式及其應(yīng)用等.

1 中心對稱結(jié)構(gòu)半結(jié)構(gòu)法

1.1 結(jié)構(gòu)的對稱性

作用在中心對稱結(jié)構(gòu)上的對稱載荷有中心對稱載荷與反對稱載荷兩種,將中心對稱結(jié)構(gòu)分成中心對稱的兩部分,繞對稱中心旋轉(zhuǎn) 180°后,如果兩部分的載荷彼此重合，則該載荷稱為中心對稱載荷(下稱對稱載荷)；如果兩部分的載荷方向相反，則該載荷為中心反對稱載荷(下稱反對稱載荷)，見圖1.中心對稱結(jié)構(gòu)對稱中心截面上的內(nèi)力可分為中心對稱內(nèi)力與反對稱內(nèi)力兩類,其中軸力、剪力為中心對稱內(nèi)力，彎矩為反對稱內(nèi)力[2].

圖1 中心對稱結(jié)構(gòu)與對稱載荷

性質(zhì)：在對稱載荷作用下，中心對稱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形是中心對稱的；在反對稱載荷作用下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形是反對稱的.

圖2 對稱性的證明

證明[3]：在對稱載荷作用下，設(shè)結(jié)構(gòu)兩對稱截面上的彎矩分別為M1,M2，如圖2(a)所示.將結(jié)構(gòu)繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°后得圖2(b).對于中心對稱結(jié)構(gòu)，顯然這兩個結(jié)構(gòu)計算簡圖是完全相同的.按疊加原理，將受力狀態(tài)(a)減掉受力狀態(tài)(b)，則結(jié)構(gòu)上沒有載荷作用，因此結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移應(yīng)等于零，結(jié)構(gòu)兩對稱截面上M1-M2=0,得M1=M2.這表明：在對稱載荷作用下，中心對稱結(jié)構(gòu)的彎矩是中心對稱的.將上述證明中的彎矩?fù)Q成軸力、剪力或位移，證明顯然同樣成立.按相同原理可證明，在反對稱載荷作用下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形是反對稱的.

推論：在對稱載荷作用下，中心對稱結(jié)構(gòu)對稱中心截面上的反對稱內(nèi)力(彎矩)等于零；在反對稱載荷作用下，結(jié)構(gòu)對稱中心截面上的對稱內(nèi)力(軸力、剪力)等于零.

1.2 半結(jié)構(gòu)法

1.2.1 中心對稱剛架

根據(jù)中心對稱結(jié)構(gòu)的對稱性，在對稱載荷作用下中心對稱剛架的變形是中心對稱的，即剛架對稱中心只有轉(zhuǎn)角而無線位移；在反對稱載荷作用下剛架的變形是反對稱的，即剛架對稱中心只有線位移而無轉(zhuǎn)角.在對稱載荷作用下，剛架對稱中心截面上的反對稱內(nèi)力(彎矩)等于零，只需要計算對稱內(nèi)力(軸力、剪力)，如圖3(a)；在反對稱載荷作用下，中心對稱剛架對稱中心截面上的對稱內(nèi)力(軸力、剪力)等于零，只需要計算反對稱內(nèi)力(彎矩)，如圖3(c).因此中心對稱剛架在對稱、反對稱載荷作用下，可以分別取半邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算,等代結(jié)構(gòu)如圖3(b)和圖3(d).

圖3 中心對稱剛架與等代結(jié)構(gòu)

1.2.2 中心對稱桁架

在對稱、反對稱載荷作用下，中心對稱桁架的內(nèi)力和變形分別是中心對稱和反對稱的，故中心對稱桁架在對稱、反對稱載荷作用下，也可以分別取半邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算.但與剛架不同的是，桁架截開結(jié)點處只有約束力而沒有約束力矩，且結(jié)點一般均有線位移(對稱載荷作用下對稱中心處結(jié)點除外)，故取半邊結(jié)構(gòu)時應(yīng)在桁架截開結(jié)點處設(shè)彈性支座 (對稱載荷作用下對稱中心結(jié)點處設(shè)剛性鏈桿)，且支座處約束力的方向、大小關(guān)系應(yīng)依據(jù)對稱性確定，如圖4(b)和圖4(d)所示.

圖4 中心對稱桁架與等代結(jié)構(gòu)

2 應(yīng)用

例 1：作圖5(a)所示剛架的彎矩圖，水平桿抗彎剛度為2EI，垂直桿抗彎剛度為EI.

將剛架上的載荷分解為中心對稱與反對稱兩組載荷,如圖6(a)和圖6(d)所示.對稱載荷作用下取等代結(jié)構(gòu)如圖 6(b),用力矩分配法計算得其彎矩圖(圖 6(c))；反對稱載荷作用下的等代結(jié)構(gòu)如圖 6(e)所示，利用位移法載常數(shù)繪其彎矩圖(圖6(f)).利用對稱性并用疊加方法繪出剛架最后彎矩圖(圖5(b)).

圖5 算例1

圖6 中心對稱剛架計算

例 2：試求圖7(a)所示桁架的各桿軸力[1].本算例為文獻(xiàn)1中代替桿法計算復(fù)雜桁架例題，由于原結(jié)構(gòu)與圖7(b)所示中心對稱桁架的受力和變形完全一致，故用該桁架代替原結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算.

圖7 算例2

將桁架上的載荷分解為對稱載荷與反對稱載荷兩組,如圖 8(a)和圖8(c)所示,對稱、反對稱載荷作用下分別取等代結(jié)構(gòu)(圖8(b)和圖8(d)).根據(jù)結(jié)構(gòu)的整體及局部平衡條件可快速求出支座反力，不難求出桁架全部桿件軸力，此處從略.

圖8 中心對稱桁架計算

3 結(jié)語

在分析中心對稱、反對稱載荷作用下中心對稱結(jié)構(gòu)的對稱性基礎(chǔ)上，提出了中心對稱結(jié)構(gòu)的半結(jié)構(gòu)法，該方法不僅適用于中心對剛架，也適用于中心對稱桁架.通過結(jié)構(gòu)簡化及與其他計算方法的有機結(jié)合，中心對稱結(jié)構(gòu)半結(jié)構(gòu)法可以顯著降低復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析問題的難度，并大幅減少結(jié)構(gòu)計算工作量、提高結(jié)構(gòu)計算效率.該方法與其他方法聯(lián)合應(yīng)用的一題多解方法，體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)力學(xué)的思維性和趣味性特征，有利于學(xué)生拓展其創(chuàng)新思維及分析解決復(fù)雜力學(xué)問題的能力[4].

1龍馭球,包世華．結(jié)構(gòu)力學(xué)．北京：高等教育出版社，1980

2于玲玲，楊正光,汪海峰等．結(jié)構(gòu)力學(xué)．北京：中國電力出版社，2014

3蔣中祥．載荷作用下對稱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移．力學(xué)與實踐，2014，36(5)：633-635

4周臻,尹凌峰,繆志偉．靜定剛架彎矩圖的疊加法活用與對稱性利用．力學(xué)與實踐，2012，34(4)：73-75

(責(zé)任編輯:胡 漫)

O342

：A

10.6052/1000-0879-17-039

2017–02–10收到第1稿，2017–04–10收到修改稿.

1)湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究資助項目(湘教通[2016]400號).

2)李明，講師，主要從事結(jié)構(gòu)抗震研究及結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)工作.E-mail:hnistli@163.com

李明,鐘豪.半結(jié)構(gòu)法在中心對稱結(jié)構(gòu)計算中的應(yīng)用.力學(xué)與實踐,2017,39(4):400-403

Li Ming,Zhong Hao.Application of half-structure method in centrosymmetric structural calculation.Mechanics in Engineering,2017,39(4):400-403