黃小林 吳 偉 王 熙

?(桂林電子科技大學(xué)建筑與交通工程學(xué)院，廣西桂林541004)

?(桂林電子科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西桂林541004)

黏彈性地基上功能梯度材料板的振動(dòng)分析1)

黃小林?,2)吳 偉?王 熙?

?(桂林電子科技大學(xué)建筑與交通工程學(xué)院，廣西桂林541004)

?(桂林電子科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西桂林541004)

為研究黏彈性地基上功能梯度材料板的自由和強(qiáng)迫振動(dòng)特性，基于Reddy高階剪切變形理論以及由Shen導(dǎo)得的廣義Karman型方程，用雙重Fourier級(jí)數(shù)法推導(dǎo)了三參數(shù)黏彈性地基上四邊簡(jiǎn)支功能梯度材料板自由振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)的解析解，計(jì)算了各模態(tài)自振頻率和半波沖擊載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng)，討論了材料組分指數(shù)、黏彈性地基參數(shù)、邊厚比等因素對(duì)自由振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)的影響.結(jié)果表明，黏彈性地基的剪切和壓縮剛度顯著提升了功能梯度材料板的振動(dòng)頻率，減小了動(dòng)力響應(yīng);另外，地基的黏性對(duì)振動(dòng)頻率和動(dòng)力響應(yīng)也有一定的影響.

黏彈性地基，功能梯度材料，自由振動(dòng)

彈性地基上板類結(jié)構(gòu)是公路、土木等工程中常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)形式，其動(dòng)力特性一直為研究者們所關(guān)注，迄今為止，已有不少學(xué)者分別基于 Winkler地基模型[12]和雙參數(shù) Pasternak地基模型[34]進(jìn)行過(guò)研究，但由于這些模型忽略了地基黏性和地基與結(jié)構(gòu)之間的時(shí)間作用效應(yīng)，不能反映工程的實(shí)際情況，影響了結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此，有部分學(xué)者基于黏彈性地基模型進(jìn)行了分析.其中，寇磊等[5]計(jì)算了分?jǐn)?shù)階微分雙參數(shù)黏彈性地基板在沖擊載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng)，結(jié)果表明地基粘滯系數(shù)越大，板中心響應(yīng)達(dá)到初始峰值的時(shí)間越短，初始峰值也越小，位移響應(yīng)的振幅衰減越來(lái)越激烈，肖勇剛等[6]通過(guò)分析黏彈性地基上四邊自由矩形中厚板非線性自由振動(dòng)的計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)由于地基黏彈性作用振動(dòng)頻率的衰減速率隨振動(dòng)頻率的減小而減弱.蔣建群等[7]在研究Kelvin黏彈性地基上移動(dòng)載荷作用下無(wú)限大板的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，揭示了板撓度分布受載荷移動(dòng)速度的影響隨著地基阻尼的增大漸趨明顯.盧正等[8]對(duì)黏彈性地基在矩形變速載荷作用下強(qiáng)迫振動(dòng)的分析，表明了相同條件下彈性地基引起的響應(yīng)大于黏彈性地基，且載荷頻率對(duì)位移的影響依賴于地基的阻尼.可見(jiàn)，要更準(zhǔn)確分析實(shí)際地基上板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，地基的黏性是不可忽略的.

關(guān)于功能梯度材料(functional graded materials, FGM)剪切板的振動(dòng)，近幾年，徐坤等[9]、段文峰等[10]、尹碩輝等[11]和李清祿等[12]基于一階剪切變形理論分別用 Navier級(jí)數(shù)法、有限元等方法研究過(guò)此類問(wèn)題.一階剪切變形理論簡(jiǎn)單、高效，但由于需要引進(jìn)剪切系數(shù)來(lái)調(diào)整剪切剛度，有局限性. Reddy[13]的研究表明，一階剪切變形理論計(jì)算低階固有頻率時(shí)比較精確，但計(jì)算高階固有頻率時(shí)誤差會(huì)隨著階數(shù)的增大而增大.Thai等[14]基于高階剪切變形理論研究了Pasternak彈性地基上FGM板自由振動(dòng)的解析解.

為推廣FGM板在實(shí)際工程中的應(yīng)用，一些學(xué)者已開始分析黏彈性地基上FGM板的振動(dòng)特性.其中，Xu等[15]用拉普拉斯變換和微分求積法推導(dǎo)了雙參數(shù)黏彈性地基上FGM圓板瞬態(tài)響應(yīng)的解析解. Hasheminejad等[16]用 Dubin拉普拉斯數(shù)值變換研究了沖擊載荷作用下雙參數(shù)黏彈性地基上 FGM板的動(dòng)力響應(yīng).而對(duì)三參數(shù)黏彈性地基上構(gòu)件的動(dòng)力特性,目前發(fā)表的文獻(xiàn)大都集中于各向同性梁、板的研究，對(duì) FGM板鮮有提及，因此，本文基于Reddy[13]高階剪切變理論以及由 Shen[17]導(dǎo)得的廣義Karman型方程，用雙重Fourier級(jí)數(shù)法研究三參數(shù)黏彈性地基上四邊簡(jiǎn)支FGM剪切板自由振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)的解析解，討論材料成分指數(shù)、黏彈性地基參數(shù)等因素對(duì)自由振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)的影響，對(duì)進(jìn)一步了解FGM板動(dòng)力特性，推廣FGM板在相關(guān)工程的應(yīng)用是十分有益和有必要的.

1 基本方程及求解方法

設(shè)長(zhǎng)a、寬b、厚h的四邊簡(jiǎn)支FGM中厚板位于黏彈性地基上，板的彈性模量E、泊松比ν、密度ρ等物性參數(shù)在厚度位置z處可表示為

下標(biāo)U,L表示板的上、下表面，N為材料組分指數(shù).

設(shè)板的一個(gè)角點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，板所在的平面為xy平面，厚度方向?yàn)閦方向.W 為z方向的位移,Ψx和Ψy分別為中面對(duì)y和x軸的轉(zhuǎn)角，F(xiàn)為應(yīng)力函數(shù)，F(xiàn)與面內(nèi)力的關(guān)系為

假設(shè)板和地基在變形過(guò)程中一直保持接觸，其相互作用力用三參數(shù)形式表示

根據(jù)Reddy[13]高階剪切變形理論和由Shen[15]推導(dǎo)的廣義Karman型方程，三參數(shù)黏彈性地基上FGM板的小撓度運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

式中,變量頂上圓點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)，微分算子Lij(i,j=1,2,3,4)和常量 Ii(i=8,9)的定義見(jiàn)文獻(xiàn)[14-15].

假定邊界為四邊簡(jiǎn)支，邊界條件表示為

在x=0,a處

在y=0,b處

設(shè)方程(4)～(7)的解可展開成雙重Fourier級(jí)數(shù)和的形式

將橫向動(dòng)載荷也展開成如下雙重 Fourier級(jí)數(shù)的形式

式中

將式(9)代入式(5)，由等式兩邊雙重Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)相等可將fmn(t)用wmn(t),ψxmn(t),ψymn(t)表示，再代入式(4)、式(6)和式(7)可整理得

式中，Umn=[wmn(t),ψxmn(t),ψymn(t)]T為位移向量,Bmn=[qmn(t),0,0]T為載荷向量,Kmn=[kij], Mmn=[mij],Cmn=[Cij]分別為剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣.阻尼矩陣中，只有元素C11不為零，其他元素均為零，(i,j=1,2,3).剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣的元素表達(dá)式限于篇幅，不再詳述.

當(dāng)Bmn=0時(shí)，式(12)即為三參數(shù)黏彈性地基上FGM板的自由振動(dòng)方程，用復(fù)模態(tài)理論可以求得各模態(tài)(m,n)的自由振動(dòng)頻率；Bmn/=0時(shí)，用Newmark數(shù)值積分法可求得橫向動(dòng)載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng).一般情況下，板的小撓度運(yùn)動(dòng)方程(4)～方程(7)中轉(zhuǎn)角慣性項(xiàng)的影響較小,即方程中x和項(xiàng)可以忽略，方程組(12)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為Wmn(t)的二階常微分方程.

2 算例比較與參數(shù)分析

以下計(jì)算實(shí)例中，F(xiàn)GM板的無(wú)量綱固有頻率參數(shù)、黏彈性地基參數(shù)定義為

表1 FGM板無(wú)量綱基頻ω的比較

2.1 算例比較

表 1將按本文方法計(jì)算的 FGM板無(wú)量綱基頻與文獻(xiàn)[14]相應(yīng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較,考慮了有Pasternak彈性地基和無(wú)彈性地基兩種情況.FGM板由 Al和 aluminum兩種材料構(gòu)成，Al的彈性模量、密度和泊松比分別為 Em=70GPa，ρm= 2702kg/m3,νm=0.3,aluminum的彈性模量、密度和珀松比分別為Ec=380GPa，ρc=3800kg/m3, νc=0.3，長(zhǎng)寬比a/b=1,邊厚比a/h=10無(wú)量綱基頻參數(shù).從表1可看出，本文結(jié)果與文獻(xiàn)[14]的結(jié)果非常接近.

2.2 參數(shù)分析

假設(shè)FGM板由Ti-6Al-4V和Al2O3兩種材料構(gòu)成，從頂面到底面，材料由 Al2O3到 Ti-6Al-4V逐漸變化,Ti-6Al-4V的彈性模量、密度和泊松比分別為 Em=105.7GPa，ρm=4429kg/m3,νm= 0.2981，Al2O3的彈性模量、密度和泊松比分別為Ec=320.24GPa，ρc=3750kg/m3,νc=0.26.

各種參數(shù)條件下FGM板的自由振動(dòng)頻率結(jié)果列于表2、表3及圖1中.

表2計(jì)算了不同地基參數(shù)、邊厚比、材料組份指數(shù)的FGM方板的無(wú)量綱基頻.從表中可以看出，無(wú)量剛基頻隨著地基壓縮參數(shù)Kw、剪切參數(shù)Ks和邊厚比a/h的增大而提高，隨著材料組份指數(shù)N的增大而降低.可見(jiàn)，黏彈性地基參數(shù)Kw和Ks的增大強(qiáng)化了板的整體剛度，而材料組份指數(shù)的增加意味著FGM中金屬材料的增加，因?yàn)閮煞NFGM材料中金屬材料的強(qiáng)度比金屬材料小，引起板的整體剛度減小而造成其基頻降低.表2還比較了a/h=5時(shí)，(Kw，Ks，Kc)分別為彈性地基(100，100，0)和黏彈性地基(100，100，0.3)兩種情況下的無(wú)量綱基頻，從中可看出，地基黏性降低了自振頻率.

表 3計(jì)算了三參數(shù)黏彈性地基上不同長(zhǎng)寬比的 FGM板各模態(tài)的自由振動(dòng)頻率,材料組分指數(shù)N=2.0.從表中可以看出，隨著長(zhǎng)寬比的增大，板的各模態(tài)自振頻率明顯提高.

表2 黏彈性地基上FGM方板無(wú)量綱基頻

表3 黏彈性地基上FGM板各模態(tài)無(wú)量綱自由振動(dòng)頻率(a/h=10)

圖1比較了(a)雙參數(shù)Pasternak彈性地基和(b)三參數(shù)黏彈性地基Kc=0.3上FGM方板的基頻，地基壓縮和剪切參數(shù)Kw=100，Ks=100，材料組分指數(shù)N=2.0，邊厚比a/h=10.由圖1可以看出，地基剪切參數(shù) Ks對(duì)頻率的影響比地基壓縮參數(shù)Kw的影響明顯，地基阻尼的存在也一定程度上降低了FGM的自振頻率.

圖2～圖4討論了黏彈性地基參數(shù)、材料組分指數(shù)、邊厚比等因素對(duì)FGM動(dòng)力響應(yīng)的影響.橫向動(dòng)載荷為作用于板中心(a/2,b/2)的橫向半波沖擊載荷

圖1 彈性和黏彈性地基上FGM板基頻

由圖2可以看出，不同地基模型對(duì)板的中心動(dòng)撓度影響較大，隨著地基壓縮參數(shù)Kw和地基剪切參數(shù)Ks的增大而明顯減小，而地基黏性參數(shù)Kc對(duì)動(dòng)撓度的影響較小.

由圖3可以看出，板的中心動(dòng)撓度隨著材料組分指數(shù)N的增大而增大，而且這種增加的幅度越來(lái)越小.這是因?yàn)椴牧辖M分指數(shù)的增加意味著材料中非金屬的成分越來(lái)越高，而兩種材料中非金屬的強(qiáng)度比金屬的強(qiáng)度高而造成板的整體剛度增強(qiáng)，當(dāng)材料組分指數(shù)增大到一定程度，整體剛度增加的幅度有限的緣故.

圖4顯示了板的邊厚比對(duì)板的中心動(dòng)撓度的影響.由圖4可以看出，隨著邊厚比的增大，板的動(dòng)撓度越來(lái)越小，這是因?yàn)榘逶奖t整體剛度越小，引起板的動(dòng)撓度越來(lái)越大.

圖2 黏彈性地基參數(shù)對(duì)FGM方板中心動(dòng)撓度的影響(a/h=20)

圖3 材料組分指數(shù)對(duì)黏彈性地基上FGM方板中心動(dòng)撓度的影響

圖4 邊厚比對(duì)黏彈性地基上FGM方板中心動(dòng)撓度的影響

3 結(jié)論

本文基于 Reddy的高階剪切變形理論和 Shen導(dǎo)得的廣義Karman型方程，用雙重Fourier級(jí)數(shù)展開法研究了三參數(shù)黏彈性地基上四邊簡(jiǎn)支FGM剪切板自由振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)的半解析解，計(jì)算結(jié)果表明,地基彈性和黏彈性模型對(duì)FGM板的自由振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)有明顯的影響，板的自振頻率隨著地基壓縮和剪切參數(shù)、邊厚比、長(zhǎng)寬比的增大而提升，隨材料組分指數(shù)、地基粘性參數(shù)的增大而降低，板的動(dòng)力響應(yīng)隨著地基壓縮和剪切參數(shù)、邊厚比的增大而降低，隨材料成分指數(shù)的增大而增大.另外，地基的剪切參數(shù)比壓縮參數(shù)對(duì)自振頻率的影響更加顯著.

1李善傾，袁鴻.Winkler地基上固支薄板自由振動(dòng)問(wèn)題的準(zhǔn)Green函數(shù)方法.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2011，32(3)：253-262

2藤兆春，丁樹聲，鄭鵬君.彈性地基上變厚度矩形板自由振動(dòng)的GDQ法求解.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2014，31(2)：237-240

3刑譽(yù)峰，徐騰飛.雙參數(shù)彈性地基上正交各向異性矩形薄板自由振動(dòng)的精確解.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2014，27(2)：269-274

4劉小云，田潤(rùn)利.移動(dòng)載荷作用下瀝青路面穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與計(jì)算.力學(xué)與實(shí)踐，2009，31(3)：64-68

5寇磊，白云.分?jǐn)?shù)階微分雙參數(shù)黏彈性地基矩形板動(dòng)力響應(yīng).振動(dòng)與沖擊，2014，33(8)：141-147

6肖勇，袁彥磊.黏彈性地基上四邊自由矩形中厚板的非線性自由振動(dòng)分析.長(zhǎng)沙理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，11(3):21-25

7蔣建群，周華飛，張士喬.移動(dòng)載荷作用下Kelvin地基上無(wú)限大板的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)，2005，39(1)：27-36

8盧正，姚海林，吳莎等.黏彈性地基板在矩形變速載荷作用下的振動(dòng)分析.巖土力學(xué)，2010，31(11):3613-3616

9徐坤，陳美霞，謝坤.正交各向異性功能梯度材料板的振動(dòng)分析.噪聲與振動(dòng)控制，2016，36(4)：14-20

10段文峰，周立明，蔡斌等.功能梯度材料板動(dòng)力分析的光滑有限元法研究.力學(xué)季刊，2015，36(4):713-720

11尹碩輝，余天堂，劉鵬.基于等幾何有限元法的功能梯度材料板自由振動(dòng)分析.振動(dòng)與沖擊，2013，32(24):180-186

12李清祿，張靖華，李世榮.FGM中厚圓板軸對(duì)稱自由振動(dòng)的打靶法求解.振動(dòng)與沖擊，2016，35(18):95-100

13 Reddy JN.A ref i ned nonlinear theory of plates with transverse shear deformation.International Journal of Solids and Structures,1984,20:881-896

14 Thai HT,Choi DH.A ref i ned shear deformation theory for free vibration of graded plates on elastic foundations. Composites:Part B,2012,43:2335-2347

15 Xu Liang,Wang ZY,Wang LZ,et al.Semi-analytical solution for three-dimensional transient response of functionally graded plate on a two parameter viscoelastic foundation.Journal of Sound and Vibration,2014,333:2649-2663

16 Hasheminejad SM,Gheshlaghi B.Three-dimensional elastic dynamic solution for an arbitrary rectangular plate resting on a two parameter viscoelastic foundation.Composite Structures,2012,94:2746-2755

17 Shen HS.Karman-type equations for a higher-order shear deformation plate theory and its use in the thermal postbuckling analysis.Applied Mathematics and Mechanics, 1997,18:1137-1152

(責(zé)任編輯:劉希國(guó))

THE VIBRATION OF FUNCTIONALLY GRADED PLATES RESTING ON VISCOELASTIC FOUNDATIONS1)

HUANG Xiao-lin?,2)WU Wei?WANG Xi??(School of Architecture and Transportation Engineering,Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004,Guangxi,China)
?(School of Mechanical Engineering,Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004,Guangxi,China)

The present paper analyzes the vibration of simply supported plates of functionally graded materials resting on viscoelastic foundations.Based on the Reddy’s higher-order shear deformable plate theory and the general Karman-type equations derived by Shen,the analytical solutions for the free vibration and the transient response are obtained by using the double Fourier series.The natural frequencies and the transient response are obtained,and the results are compared with those of other papers.The ef f ects of the volume fraction index,the parameters of the viscoelastic foundations and the ratio of the length to the thickness are analyzed.The results show that the natural frequencies rise,but the transient responses decrease with the increase of the pressed and sheared parameters of the viscoelastic foundations,and the viscous parameter also has an ef f ect on the natural frequencies and the transient response.

viscoelastic foundation,functionally graded materials,vibration

TU311

：Adoi：10.6052/1000-0879-16-403

2016–12–12收到第1稿，2017–01–30收到修改稿.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11362004).

2)黃小林，副教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)合材料板非線性振動(dòng).E-mail:hxl-68@163.com

黃小林，吳偉，王熙.黏彈性地基上功能梯度材料板的振動(dòng)分析.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(4):343-348

Huang Xiao-lin,Wu Wei,Wang Xi.The Vibration of functionally graded plates resting on viscoelastic foundations. Mechanics in Engineering,2017,39(4):343-348