趙德敏　劉建林　陳穎

【摘 要】分析了質(zhì)點(diǎn)沿著定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的直桿和直角桿作相對直線運(yùn)動(dòng)，比較了點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)法和全程分析法。結(jié)果表明：全程分析法能夠得到每一時(shí)刻點(diǎn)的軌跡方程、速度和加速度，從全局角度把握點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，比應(yīng)用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)分析更簡便。由全程分析法分析了的該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得到了其運(yùn)動(dòng)的軌跡、弧長，速度和加速度等的規(guī)律。

【關(guān)鍵詞】質(zhì)點(diǎn)沿轉(zhuǎn)動(dòng)桿運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)；全程分析法；理論力學(xué)

Motion Study of a Particle on a Rotation Bar Using Full-process Analysis Method

ZHAO De-min LIU Jian-lin CHEN Ying

（Department of Engineering Mechanics，College of Pipeline and Civil Engineering，China University of Petroleum〈East China〉，Qingdao Shandong 266580，China）

【Abstract】The quantities of motion including the displacement equation，velocity and acceleration of a point at any time can be analyzed by using the full-process analysis method which is easier than the composition motion sometimes.The motion of a particle relative moves linearly on the straight bar and rectangular bar，which are rotation about an axis.The path of motion，length of arc，velocity and acceleration are all obtained.

【Key words】Motion of a particle on a rotation bar；Composition motion；Method for full- process analysis；Theoretical mechanics

0 引言

理論力學(xué)中研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有兩種方法：第一種，建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，并對時(shí)間取一階和二階導(dǎo)數(shù)，求得點(diǎn)的速度和加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。第二種方法根據(jù)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)定理求得點(diǎn)在某瞬時(shí)的速度和加速度。近年來有人把這兩種分析方法分別稱為“全程分析法”和“瞬時(shí)分析法”[1]。目前的理論力學(xué)教材也重點(diǎn)在第二種方法。但是隨著計(jì)算軟件的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)計(jì)算的困難已經(jīng)不再成為問題，全程分析法結(jié)合計(jì)算軟件的數(shù)值仿真，能夠得到軌跡方程，能夠推演出每一時(shí)刻的速度和加速度大小，從全局的角度精確地把握運(yùn)動(dòng)規(guī)律，能處理更加復(fù)雜的力學(xué)問題。全程分析方法應(yīng)該在教學(xué)中予以重要的認(rèn)識，使之成為解決點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重要工具。

1 兩種方法比較

點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)一章中一個(gè)典型的例子為：如在一個(gè)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的直桿上有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)M，沿著桿的方向做直線運(yùn)動(dòng)，分析質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度。目前的做法是采用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)定理，進(jìn)行速度分析和加速度分析[2]。但是有些工程問題的模型卻來源于非直桿，例如漸開線齒輪，偏置凸輪和傳統(tǒng)的糧食加工器具石磨等[3]，此幾何模型卻和勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的直角桿相關(guān)。在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的直角桿上一質(zhì)點(diǎn)沿著不通過原點(diǎn)的直角邊運(yùn)動(dòng)，其速度、加速度以及弧長如何呢？為使問題更為清晰透徹，我們對下面三個(gè)例子用瞬時(shí)分析法和全程分析法進(jìn)行分析。

如圖1-3所示，質(zhì)點(diǎn)M沿直桿由O1 點(diǎn)開始，沿著O1A桿做相對于桿O1A的勻速直線運(yùn)動(dòng)，相對速度為u，OO1的長度為r0，桿OO1A逆時(shí)針以勻角速度？棕逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)桿的長度足夠長，且t=0時(shí)OO1沿x軸水平放置。其它條件如下：

例1、如圖1所示，OO1A 桿為直桿。

1.1 瞬時(shí)分析法

目前例1中質(zhì)點(diǎn)M的速度和加速度分析研究，大多數(shù)教材采用瞬時(shí)分析法求解。鑒于有些教材已經(jīng)給了詳細(xì)求解過程[2]，此處不在贅述。本文只針對例2給出簡要的分析過程。例2的其速度矢量圖如圖4所示，其中牽連速度大小為v=？棕，方向垂直于OM線，相對速度r的大小vr=ut，方向沿著O1A。由余弦定理，可以得到絕對速度的大小va，v，再由幾何關(guān)系？茲=∠OOM=arctan，可得絕對速度a的大小。

例2的加速度矢量圖如圖5所示。由于桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)M相對于桿勻速運(yùn)動(dòng)，可得a=a=0。牽連加速度的法向矢量沿著MO方向，且其大小為，a，科氏加速度方向垂直于O1A其大小為a=2？棕u，應(yīng)用余弦定理求出其絕對加速度大小，a=，并且由幾何關(guān)系？準(zhǔn)=∠OOM=arctan。才能絕對加速度的大小。

從例2的速度和加速度分析可以看出，應(yīng)用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法，需要處理復(fù)雜的幾何關(guān)系，得到某個(gè)瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。雖然瞬時(shí)分析法每個(gè)瞬時(shí)的速度和加速度方向能夠直觀的呈現(xiàn)出來。但是速度和加速度的全程的定量結(jié)果不能直觀呈現(xiàn)，更不方便求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧長。

1.2 全程分析方法

應(yīng)用全程分析法對于例2的求解過程如下：在如圖2所示的直角坐標(biāo)系oxy中，其直角坐標(biāo)形式的參數(shù)運(yùn)動(dòng)方程為：

利用對時(shí)間求導(dǎo)的方法可得其速度v2和加速度a2的大小的表達(dá)式分別為：

質(zhì)點(diǎn)M在[0，t1]的時(shí)間間隔內(nèi)運(yùn)動(dòng)的弧長s2為

同理可求得例1和例3的參數(shù)方程，速度v1和v3、加速度a1和a3以及運(yùn)動(dòng)的弧長s1和s3。從以上的全程分析法的求解過程可以看出，此類問題質(zhì)點(diǎn)每一個(gè)時(shí)刻的速度，加速度和弧長的大小都直觀的呈現(xiàn)出來。endprint

2 數(shù)值仿真及討論

（a）例1軌跡 （b）例2軌跡 （c）例3軌跡

在全程分析法的基礎(chǔ)上，為深入了解這三種情況下的質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，其速度，加速度和弧長的定量規(guī)律。本文進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真參數(shù)如下：r0=0.05，u=0.03，？棕=60轉(zhuǎn)/分，t=4秒。得到了三種情況下的軌跡、速度、加速度和弧長。

圖6（a，b，c）分別為例1、2和3的運(yùn)動(dòng)軌跡。從圖中可以看出，例2中質(zhì)點(diǎn)走過的象限慢于例1，而例3中質(zhì)點(diǎn)走過的象限快于例1。再有例1為等速螺線，其軌跡之間的間距相等，而例2和3 開始時(shí)螺距不等，但隨著時(shí)間的增大，螺距將趨于定值。

圖7-9 分別為三種情況下的速度、加速度和走過的弧長，從圖7-8可以看出，時(shí)間t 從0開始，在微小的時(shí)間段內(nèi)，例3 的速度和加速度都明顯大于例1 和例 2。但是隨著時(shí)間的繼續(xù)增大，經(jīng)過一個(gè)微小的時(shí)間段后，例1的速度、加速度都達(dá)到最大。其次是例 3，例2的速度和加速度始終最小。從圖98可以看出，例1 的弧長在三者之中最大，其次分別是例3和例2。圖7-9還可以看出當(dāng)時(shí)間t足夠大時(shí)，例2 和例3 的速度和加速度和弧長趨向于同一值的趨勢。

3 工程應(yīng)用

例1中當(dāng)r0=0，質(zhì)點(diǎn)M的軌跡螺線是阿基米德螺線，阿基米德螺線在生活中的例子很多，如蚊香、CD光盤的槽道、衛(wèi)生紙、鐘表發(fā)條等。從圖7-9可知，在相同的時(shí)間間隔內(nèi)，例1的速度，加速度和弧長最大。因此采用例1形成的阿基米德螺線效率更高。例如在蚊香生產(chǎn)中，阿基米德螺線蚊香視覺上更美觀，而且在同等的時(shí)間內(nèi)，可以制成更多的蚊香等。

凸輪機(jī)構(gòu)廣泛的應(yīng)用于多種自動(dòng)機(jī)械和自動(dòng)控制裝置中[4]，例如數(shù)字航拍攝像機(jī)等[5]。凸輪機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)。正因?yàn)槿鐖D6（a）所示的例1形成的螺線可以設(shè)計(jì)成阿基米德凸輪，基于例2和例3生成的螺線軌跡可以設(shè)計(jì)成偏置凸輪，凸輪示意（下轉(zhuǎn)第12頁）（上接第5頁）圖如圖10所示。

傳統(tǒng)糧食加工工具石磨，在《天工開物》中已有記載。我國石磨通常下盤靜止，上盤逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)[3]，網(wǎng)絡(luò)圖片如圖11所示?？砂阎苯菞U看成刻在旋轉(zhuǎn)定盤上的溝槽，質(zhì)點(diǎn)M看成物料。從圖6軌跡圖可以看出，三種情況的物料的絕對軌跡都是逆時(shí)針的，所以石磨下盤的物料槽都是逆時(shí)針旋向。從速度和加速度圖7-8可以看出，例2 的速度和加速度是最低的。這可以解釋為什么“大多數(shù)石磨上盤進(jìn)料槽的開口方向和上盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反”，如逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的石磨的進(jìn)料槽的開口方向卻是順時(shí)針，這樣可以使物料獲得最小的速度和加速度，這樣能夠使物料有足夠的時(shí)間在磨盤上充分研磨，不至于很快的流出磨盤。

4 結(jié)論

本文質(zhì)點(diǎn)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的直桿和直角桿上的運(yùn)動(dòng)的速度和加速度分析，比較了瞬時(shí)分析法和全程分析法。瞬時(shí)分析法盡管在得到某瞬時(shí)點(diǎn)的速度和加速度以及它們的方向方面較為方便。但全程分析法得到全程的速度、加速度和弧長的大小變化規(guī)律更直觀、簡便。全程分析法分析更為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)學(xué)問題中的優(yōu)勢作用應(yīng)予以足夠的重視，使之在教學(xué)中的比重有所增強(qiáng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]馮立富，郭書祥，李穎.點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)與“全程分析法”[J].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，3（5）：86-87.

[2]候密山，胡玉林.工程力學(xué)（Ⅲ）[M].東營：中國石油大學(xué)出版社，2007：31-41.

[3]尤明慶，蘇承東.關(guān)于石磨力學(xué)原理的注記[J].力學(xué)與實(shí)踐，2014，36（4）：520-523.

[4]王東.基于Pro＼E關(guān)系式凸輪輪廓曲線精確設(shè)計(jì)[J].機(jī)械設(shè)計(jì)，2010，27（8）：31-34.

[5]黃靜，王岱，高曉東，楊世洪.大面陣數(shù)字航測相機(jī)像移補(bǔ)償?shù)膶?shí)現(xiàn)[J].光電工程，2006，33（5）：27-30.

[責(zé)任編輯：田吉捷]endprint