小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)

推理作為理解抽象概念的工具，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將推理能力作為十大核心概念之一，進(jìn)一步確立了推理能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位，同時(shí)指出：“推理能力一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題過程中，兩種推理的功能不同，相輔相成。”[1]然而，過去的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱片面關(guān)注數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，過于重視學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，從而忽略了合情推理能力的培養(yǎng)。雖然2001年的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》已經(jīng)開始認(rèn)識(shí)到合情推理的重要作用，但由于過度矯正又導(dǎo)致演繹推理能力有所淡化。由于演繹推理與合情推理的方式大相徑庭，因此一線教師需要深刻理解它們的內(nèi)涵與差別，以及如何在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行有效培養(yǎng)。

一、如何理解小學(xué)階段的數(shù)學(xué)推理

由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷推出一個(gè)新的判斷的思維形式叫做推理。推理的種類有很多，在數(shù)學(xué)中主要有演繹（由一般到個(gè)別的推理）、歸納（由個(gè)別到一般的推理）、類比（由個(gè)別到個(gè)別的推理）三種。[2]其中，歸納和類比統(tǒng)稱為合情推理，主要是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。而演繹推理則是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的過程。研讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》可知，小學(xué)階段數(shù)學(xué)推理主要包括歸納、類比等以經(jīng)驗(yàn)和直覺為依據(jù)的合情推理，以及以確定法則為依據(jù)的演繹推理。[3]

（一）演繹推理

三段論作為演繹推理的一般模式，其一般的推理形式為：所有的M都是N；P是M；所以，P是N。在小學(xué)階段，演繹推理一般都是基于已學(xué)習(xí)的既定法則進(jìn)行簡單的推理。例如，2的倍數(shù)都是偶數(shù)，4的倍數(shù)都是2的倍數(shù)，所以4的倍數(shù)都是偶數(shù)。

演繹推理作為數(shù)學(xué)論證的有力工具，其能力主要通過演繹推理活動(dòng)得以展現(xiàn)并獲得相應(yīng)的發(fā)展。由于小學(xué)生年齡小、認(rèn)知能力有限，因此對演繹推理能力的要求相應(yīng)降低。從《課程標(biāo)準(zhǔn)》可以看出，第一學(xué)段要求學(xué)生能夠運(yùn)用簡單概念對直接感知的事實(shí)進(jìn)行簡單推理，第二學(xué)段要求學(xué)生能夠用言語表述事實(shí)進(jìn)行演繹推理。其實(shí)，在很多結(jié)論的推導(dǎo)中也會(huì)用到省略形式的演繹推理，如平行四邊形面積的推導(dǎo)過程，就是將平行四邊進(jìn)行剪切和平移得出一個(gè)長方形，再根據(jù)已經(jīng)推導(dǎo)出的長方形面積公式而推導(dǎo)出來的。

（二）歸納推理

歸納推理作為合情推理的一種形式，是從特殊到一般的推理。歸納法作為此種推理形式的主要方法，包括了實(shí)質(zhì)為演繹推理的完全歸納法以及帶有或然性的不完全歸納法。盡管不完全歸納法的結(jié)論并不具有必然性，但卻在科學(xué)活動(dòng)中有著極其重要的作用。通過觀察、實(shí)踐和推廣，猜測出一般性結(jié)論，可以幫助人們不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，豐富和拓展研究內(nèi)容。[4]因此，歸納推理可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并進(jìn)行大膽地猜想，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法，對于學(xué)生的創(chuàng)造力和想象力的發(fā)展有著積極的促進(jìn)作用。

在小學(xué)階段，由于學(xué)生的形式邏輯思維發(fā)展尚不成熟，因此僅是對不完全歸納法提出了要求。雖然《課程標(biāo)準(zhǔn)》并未明確提出，但一些具體學(xué)習(xí)內(nèi)容卻蘊(yùn)含了培養(yǎng)學(xué)生不完全歸納推理的教學(xué)目標(biāo)。例如，第二學(xué)段出現(xiàn)的對加法交換律（[a+b=b+a]）等運(yùn)算律的探索與了解，若要嚴(yán)格證明該性質(zhì)，則需要利用皮亞諾公理進(jìn)行證明。小學(xué)四年級(jí)學(xué)生不可能理解這一高度形式化的公理，因而教師往往需要通過一些具體的運(yùn)算幫助學(xué)生理解，如2+3=3+2，3+5=5+3，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察幾個(gè)特殊的例子，逐步歸納得出“兩個(gè)加數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”這一規(guī)律，而這正是不完全歸納的過程。

（三）類比推理

類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類不同的對象，在某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）的類同之處，猜測這兩個(gè)對象在其他方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方法。[5]與歸納法相同，利用類比法得到的結(jié)論可能為真，也可能為假，需要進(jìn)一步證明。

類比推理在小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用比較廣泛。例如：在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，有整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的類比；將整數(shù)的運(yùn)算法則、順序和定律類比應(yīng)用到小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中；在圖形與幾何領(lǐng)域，有長方形和正方形的周長類比應(yīng)用到平行四邊形的周長。

二、小學(xué)階段數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)

推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方式，沒有推理，數(shù)學(xué)只是靜態(tài)的知識(shí)，不可能得到發(fā)展。如何培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，教師需要把握推理的內(nèi)涵，利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域這一培養(yǎng)的載體，在厘清目標(biāo)間的聯(lián)系以及學(xué)生間的差異后，將其滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。

（一）數(shù)學(xué)推理的培養(yǎng)要基于具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容

“無內(nèi)容的推理只是空洞的推理、也是沒有任何意義的?！盵6]因而，在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力時(shí)，教師需要依托數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域這一載體，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容來進(jìn)行。

1.歸納推理能力的培養(yǎng)

歸納法在小學(xué)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中應(yīng)用較為廣泛，特別是或然性的不完全歸納，一些法則、規(guī)律、性質(zhì)的學(xué)習(xí)往往都是通過基于幾個(gè)特殊的例子對其進(jìn)行觀察、歸納并總結(jié)。梳理小學(xué)數(shù)學(xué)教材可以發(fā)現(xiàn)，歸納推理主要包括以下3種形式。

（1）公式的歸納

數(shù)學(xué)公式作為數(shù)學(xué)知識(shí)的重要表現(xiàn)載體，從生成過程來看，與數(shù)學(xué)知識(shí)是一致的，并且對其推導(dǎo)過程的理解影響著學(xué)生對知識(shí)的理解。在小學(xué)階段，對于圖形的周長公式、面積公式、體積公式，以及正比例、反比例和百分?jǐn)?shù)等內(nèi)容，在教材中均通過探索交流歸納得出。

例如，探索長方形的面積公式，教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察長方形中密鋪著的小正方形，初步形成猜想：長方形的面積為長乘以寬，進(jìn)一步選取幾個(gè)長方形進(jìn)行密鋪驗(yàn)證，從而得到長方形的面積公式?？梢?，這一系列探索過程均是訓(xùn)練學(xué)生歸納推理的有效資源。因而，在教學(xué)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師需要在研讀教材的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)相關(guān)的探索活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)分析和比較，有條理地進(jìn)行思考。這不僅有助于學(xué)生歸納推理能力的形成，還有助于學(xué)生在歸納思考過程中獲得對數(shù)學(xué)對象屬性間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。endprint

（2）法則的歸納

由于數(shù)學(xué)法則常常反映出數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的聯(lián)系與趨勢，在內(nèi)容上包括具體的程序操作，因此是問題解決過程中需要頻繁使用的重要工具，也是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。教材中的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)以及百分?jǐn)?shù)的加減乘除筆算法則，都是教師通過引導(dǎo)學(xué)生對幾個(gè)例子的觀察，在理解算理的基礎(chǔ)上組織學(xué)生在探索、交流中獲得。例如，學(xué)習(xí)“三位數(shù)除以一位數(shù)的法則”，教師可以讓學(xué)生在掌握除法口訣、口算乘法、筆算減法的基礎(chǔ)上，通過列豎式對其進(jìn)行探索和歸納。

法則作為一種程序性知識(shí)，需要學(xué)生在問題得到解決后熟練掌握，但由于數(shù)學(xué)中的法則比較多，只靠死記硬背肯定不行，因而在教學(xué)中教師需要注重法則的探尋教學(xué)，通過提供具體的問題讓學(xué)生進(jìn)行分析與比較，在實(shí)際操作中歸納概括出具有規(guī)律性的結(jié)論。這一過程不僅能夠訓(xùn)練學(xué)生的歸納推理能力，而且通過由具體到一般的推理過程，也有助于學(xué)生理解和記憶數(shù)學(xué)概念。

（3）規(guī)律的歸納

探索規(guī)律是小學(xué)數(shù)學(xué)中的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所給的示例可以看出，這是一個(gè)“通過對個(gè)別、具體對象及其關(guān)系的觀察和比較，找到能夠制約這些對象及其關(guān)系的確定性因素，進(jìn)而通過歸納和解釋確定具有普遍性的規(guī)律”[7]的過程。可見，對于規(guī)律的探尋活動(dòng)也是歸納推理的重要途徑。在小學(xué)數(shù)學(xué)中主要有對算式、數(shù)列、圖形規(guī)律的探尋。因此，在教學(xué)時(shí)，教師需要基于此平臺(tái)，“引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜想某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力?！盵8]小學(xué)生的知識(shí)和能力有限，對規(guī)律進(jìn)行嚴(yán)格的證明相對困難，因此，一般通過具體的例子進(jìn)行驗(yàn)證。例如，在學(xué)習(xí)“2，3，5整除特征”時(shí)，教師可以利用學(xué)生對2，3，5倍數(shù)認(rèn)識(shí)的已有經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生先對100以內(nèi)的數(shù)進(jìn)行探索，再分別歸納得出2，3，5倍數(shù)的特征，再進(jìn)一步用100以外的數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。

2.類比推理能力的培養(yǎng)

與歸納推理類似，小學(xué)階段的一些數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則等，都可以通過類比得出。

（1）概念、性質(zhì)、法則的類比

小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念比較抽象，如果嚴(yán)格定義，學(xué)生理解起來較為困難，甚至無法理解，再加上一些概念在其內(nèi)涵上具有一定的類似性或同一性，因此，很多數(shù)學(xué)概念都可以利用類比法進(jìn)行描述和定義。比如，圓的周長與面積可以通過與長方形的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行類比。再如，商不變性質(zhì)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、比的性質(zhì)均存在密切的關(guān)系，學(xué)生也可以通過類比的方法來理解和掌握。

（2）立體與平面的類比

體會(huì)立體圖形與平面圖形二者的聯(lián)系是小學(xué)階段空間與圖形領(lǐng)域的教學(xué)目標(biāo)之一。學(xué)生通過認(rèn)識(shí)平面圖形與立體圖形，體會(huì)二維空間與三維空間的轉(zhuǎn)化。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面圖形后，教師可以將一些概念和性質(zhì)類比到認(rèn)識(shí)立體圖形中去。

例如，面積是求一個(gè)平面圖形所占的平面大小，相類似的，體積則可以理解為一個(gè)立體圖形所占的空間大小。從這個(gè)角度來看，面積公式和體積公式的推導(dǎo)過程和推導(dǎo)方法也具有相類似的地方。

基于上述分析可知，部分?jǐn)?shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則等內(nèi)容的學(xué)習(xí)能夠?yàn)榕囵B(yǎng)學(xué)生的類比推理能力提供契機(jī)。為了更好地在教學(xué)中利用這一契機(jī)發(fā)展學(xué)生的類比推理能力，教師對數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則等內(nèi)容要有深入的理解，在梳理相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，利用類比的正向遷移特性，在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)以相似部分作為基點(diǎn)，通過復(fù)習(xí)回顧、設(shè)計(jì)“隱藏”聯(lián)系的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生在理解已有內(nèi)容的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷觀察比較—尋找相似點(diǎn)—建立聯(lián)系—形成猜想—進(jìn)行驗(yàn)證的過程，基于所找到的兩個(gè)對象之間所存在的相似的或相同的形式或性質(zhì)作出類比。這一過程不僅有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中掌握類比推理的一般方法與經(jīng)驗(yàn)，還可以幫助他們對已有知識(shí)進(jìn)行拓展，形成系統(tǒng)的知識(shí)體系。由于類比方法是一種非邏輯思維方法，因此推理所得到的結(jié)論具有一定的或然性。在教學(xué)過程中，教師還要培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證或說理的意識(shí)，簡單解釋類比的過程和依據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生明確類比得出的結(jié)論并不一定正確。

3.演繹推理能力的培養(yǎng)

雖然演繹推理是解決數(shù)學(xué)問題的主要方法，但是考慮到小學(xué)生的年齡與認(rèn)知特點(diǎn)，在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，更多的還是要將其融入合情推理以及日常數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在對演繹推理進(jìn)行論述時(shí)指出：“通過實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)?！盵9]可見，小學(xué)階段對于演繹推理的學(xué)習(xí)更多是希望學(xué)生在發(fā)展合情推理的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)并感受到演繹推理的存在和必要性，通過解決具體的數(shù)學(xué)問題體會(huì)兩種推理各自的優(yōu)點(diǎn)與不足，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到兩種推理相互依存的關(guān)系。

例如，比較[25]與[2+25+2]，[38]與[3+48+4]，[710]與[7+710+7]這3組分?jǐn)?shù)的大小會(huì)發(fā)現(xiàn)，在每一組分?jǐn)?shù)中，把分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上一個(gè)大于0的數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就會(huì)變大，由此歸納得出：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上一個(gè)大于0的數(shù)，分?jǐn)?shù)值一定變大。你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？

學(xué)生通過對3組分?jǐn)?shù)進(jìn)行驗(yàn)算會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)結(jié)論是適用的，但僅通過3個(gè)例子就得出這個(gè)結(jié)論，缺乏一定的合理性。這也是歸納法與合情推理的弊端。因而，在進(jìn)行歸納推理的教學(xué)中，教師還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到其不足之處。因此，當(dāng)學(xué)生有了猜想后，教師不妨繼續(xù)提出問題：“這個(gè)結(jié)論是否存在問題，如果有，你能說說理由嗎？”同時(shí)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考并跳出已有的實(shí)例，尋找一個(gè)反例進(jìn)行驗(yàn)證。比如，分?jǐn)?shù)[32]，當(dāng)其分子和分母分別加上1后，其結(jié)果為[3+12+1]=[43=86<96=32]，這說明原結(jié)論存在一定的問題。通過這個(gè)案例，學(xué)生不僅能夠在驗(yàn)算、觀察等活動(dòng)中發(fā)展歸納推理能力，還可以在思考結(jié)論是否合理的過程中明確所歸納的結(jié)論并不一定正確。當(dāng)然，在這個(gè)過程中，教師需要及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥，讓學(xué)生明確要獲知猜想或結(jié)論是否正確僅靠歸納、類比是不夠的，還要對其進(jìn)行證明，從而意識(shí)到演繹推理的必要性。endprint

（二）推理能力的培養(yǎng)應(yīng)融入日常教學(xué)過程

培養(yǎng)學(xué)生的推理能力并非一日之功，需要長期的積累。正如《課程標(biāo)準(zhǔn)》所指出的：“推理能力的發(fā)展應(yīng)當(dāng)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中?！盵10]因而，教師應(yīng)將推理能力的培養(yǎng)作為重要的教學(xué)目標(biāo)，并將其滲透到日常的課堂教學(xué)之中。

知識(shí)與能力相互促進(jìn)。學(xué)生具有豐富的知識(shí)可以提升能力，反過來，能力的提高也能夠幫助學(xué)生更好更快地學(xué)習(xí)新知識(shí)。因此，教師可以將學(xué)生能力的培養(yǎng)融入日常教學(xué)中，并巧妙地利用學(xué)習(xí)新知識(shí)的契機(jī)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

例如，在教學(xué)“三角形和梯形面積公式”時(shí)，教師可以啟發(fā)學(xué)生將其與平行四邊形面積公式的推導(dǎo)進(jìn)行類比。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅學(xué)到了新知，而且也提高了類比推理的能力。又如，線、面、體的類比：線段有長短，用長度單位來計(jì)量；平面圖形有大小，用面積單位來計(jì)量；立體圖形占的空間有大有小，用體積單位來計(jì)量。點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。通過類比，學(xué)生不僅能夠掌握線、面、體的知識(shí)，而且在進(jìn)行類比的過程中可以更好地把握三者之間的內(nèi)在聯(lián)系。

為了更好地將推理能力的培養(yǎng)融入教學(xué)中，教師需要深入挖掘教材內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)更多的培養(yǎng)學(xué)生推理能力的素材與載體。

以“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”為例，教材先是通過把一個(gè)物體（如月餅）、一個(gè)圖形平均分成幾份表示其中的一份，引導(dǎo)學(xué)生初步歸納得出分子為1的分?jǐn)?shù)；接著根據(jù)表示其中的幾份進(jìn)一步歸納得出分子是幾的分?jǐn)?shù)；最后根據(jù)把多個(gè)物體平均分成幾份，表示其中的一份或兩份即為分?jǐn)?shù)。通過三個(gè)層次的學(xué)習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生逐步歸納總結(jié)，讓學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。當(dāng)然，這樣的素材也存在于習(xí)題中。

四年級(jí)上冊“平行線”這一內(nèi)容就有這樣的練習(xí)題：在下圖中，[a]//[b]，量一量∠1和∠2的度數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

雖然小學(xué)階段沒有學(xué)習(xí)平行線同位角性質(zhì)的知識(shí)，但是教師可以在教學(xué)時(shí)組織學(xué)生對這兩個(gè)角進(jìn)行測量，通過觀察測量結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。在這個(gè)過程中，教師不能局限于問題本身，而是要鼓勵(lì)學(xué)生對測量結(jié)果和觀察結(jié)果進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其位置關(guān)系并進(jìn)一步歸納得出數(shù)量關(guān)系，在交流中學(xué)會(huì)表達(dá)自己的猜想。同時(shí)，為了更全面地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，教師還要在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出問題“你的猜想是否合理”，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，促使學(xué)生結(jié)合觀察位置的關(guān)系對其余對應(yīng)的幾組角進(jìn)行測量，在驗(yàn)證其正確性的同時(shí)認(rèn)識(shí)到演繹推理的作用。

（三）推理能力的培養(yǎng)需注意層次性和差異性

通過梳理《課程標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“數(shù)學(xué)推理”的教學(xué)目標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，其對不同學(xué)段學(xué)生推理能力的教學(xué)目標(biāo)要求是不同的，具有一定的層次性。

第一學(xué)段主要涉及以下3點(diǎn)：探索簡單情境下的變化規(guī)律；能對事物進(jìn)行簡單的分類；逐步學(xué)會(huì)有根據(jù)有條理地思考問題。第二學(xué)段則囊括了下面3條：探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢；能夠進(jìn)行有條理有根據(jù)的思考，能比較清楚地表達(dá)自己思考的問題及結(jié)果；知道通過歸納推理得出的結(jié)論存在或然性，培養(yǎng)驗(yàn)證或說理的意識(shí)，簡單解釋歸納推理的過程和依據(jù)。因此，在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力時(shí)，教師需要注意教學(xué)目標(biāo)的層次性，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容循序漸進(jìn)地開展教學(xué)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對第一學(xué)段所提供的“教學(xué)實(shí)例10”進(jìn)行說明時(shí)明確指出：“如果學(xué)生在觀察上圖或者發(fā)現(xiàn)規(guī)律存有困難，教師可以引導(dǎo)從簡單的情形入手，比如，兩個(gè)加數(shù)先限制在5以內(nèi)?！盵11]

教師在進(jìn)行推理教學(xué)時(shí)，需要考慮學(xué)生已有的認(rèn)知水平，在了解學(xué)生已有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)有層次性的開放性問題，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，在思考問題與解決問題的過程中培養(yǎng)推理能力，讓學(xué)生在能力范圍內(nèi)獲得解決問題的成就感。

例如，教學(xué)了“圓柱體積計(jì)算公式”后，教師可以設(shè)計(jì)如下問題：下面4個(gè)圖形的面積都是36m2。將這些圖形分別卷成圓柱，哪個(gè)圓柱的體積最?。磕膫€(gè)圓柱的體積最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？

對于大多數(shù)學(xué)生而言，若熟練掌握圓柱體的體積公式，則可以基于此公式以及題目所給出的條件，通過計(jì)算解決題目中的前面兩個(gè)問題。由于第三個(gè)問題是開放性問題，學(xué)生需要結(jié)合前面兩個(gè)問題所隱含的規(guī)律進(jìn)行歸納與概括，因而難度較大。因此，這一問題對學(xué)生的演繹推理能力要求相對較高，教師不必要求所有的學(xué)生都給出完美的答案。對于能力較強(qiáng)的學(xué)生，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生從一般公式入手，嘗試轉(zhuǎn)化公式：[V=πr2h=12r×2πrh=12r×Ch]（其中[C]是長方形的一條邊長，[h]是另一條邊長），認(rèn)識(shí)到[Ch]實(shí)際上就是長方形的面積；同時(shí)基于此引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、動(dòng)手操作，進(jìn)一步歸納并發(fā)現(xiàn)問題解決的關(guān)鍵，即考查一個(gè)長方形卷成圓柱后的體積大小，在長方形面積不變的情況下，取決于底面積半徑大小這一規(guī)律。

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（責(zé)編 歐孔群）endprint