錢耀泉

摘 要：概念教學是數(shù)學教學工作中極其重要的組成部分，是奠定數(shù)學知識與技能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是構(gòu)建數(shù)學知識體系的核心。然而，該部分的教與學并未得到充分的重視，筆者基于APOS理論，以教學改革為導向，結(jié)合認知心理學及形成性評價機制等，得到了概念教學策略的啟示，并進行了教學的實證研究，嘗試運用本文的教學策略組織概念課的有效教學。

關(guān)鍵詞：數(shù)學教學 數(shù)學概念 APOS 有效教學 教學策略

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）07（a）-0216-04

1 研究背景

概念教學是數(shù)學教學工作中極其重要的組成部分，是奠定數(shù)學知識與技能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是構(gòu)建數(shù)學知識體系的核心。

然而，在實際教學中因?qū)ζ渲匾暢潭炔粔?，容易出現(xiàn)相應(yīng)的問題。對中職學生而言，他們常常會忽略掉學習數(shù)學概念中思維與理解的過程，只機械地記憶概念的“文字定義”；或者對概念的理解僅停留于文字表面，難將其與相關(guān)知識點建立有機聯(lián)系；又或者對概念的理解過于簡單、片面、主觀，而沒形成正確的概念，這就直接影響到日后相關(guān)知識的構(gòu)建與運用。對部分教師而言，則過度傾向于解題教學，而對概念教學未予以足夠的重視，對于概念的部分往往簡單引入，生硬地一帶而過，又或者為了節(jié)省時間來講題，直接把概念枯燥地灌輸給學生，試問這些是我們提倡的“有效教學”嗎？恰恰相反，若不讓學生經(jīng)歷、體驗數(shù)學概念的“猜想、發(fā)現(xiàn)、探究”過程，學生就如同“硬盤”一樣被動地儲存知識，未能有效地激發(fā)他們的學習興趣，未能有效地引導學生“吃透”概念，真正掌握概念的內(nèi)涵與外延，這樣就直接剝奪了他們的思考空間，同時也遏制了學生思維的健康發(fā)展、創(chuàng)造性的發(fā)揮；這些都將直接影響到我們后續(xù)教學的實施與拓展。

2 數(shù)學概念課的教學有效性分析

2.1 數(shù)學概念有效性教學的內(nèi)涵

數(shù)學作為反映現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學，是由概念與命題組成的邏輯體系。其中，數(shù)學概念是反映現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學是思維的科學，數(shù)學概念則是思維的細胞。概念乃思維的基本形式[1]，是對一切事物進行判斷和推理的基礎(chǔ)；是構(gòu)成所有數(shù)學知識及技能的基礎(chǔ)與核心，所以正確理解概念是掌握數(shù)學知識和技能的前提；數(shù)學概念是數(shù)學教學的載體，是構(gòu)成數(shù)學學科的基礎(chǔ)成分。教師只有讓學生充分探索與理解，并靈活運用數(shù)學概念，才能使學生明確其內(nèi)涵與外延。而學生也只有親身經(jīng)歷過數(shù)學概念的探索過程，才能把概念真正學懂，理解并掌握概念的來龍去脈，才能在獲得概念的同時，鍛煉他們的探究、觀察、分析、比較、歸納等能力。

2.2 數(shù)學課程標準及學業(yè)質(zhì)量評價標準

《廣東省中等職業(yè)學校數(shù)學課程標準》中指出：數(shù)學課程要提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，倡導學生自主學習、探究學習、合作學習的學習方式，發(fā)揮學生在學習上的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，鼓勵學生在學習過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣[2]。

《廣州市中等職業(yè)學校數(shù)學課程學生學業(yè)質(zhì)量評價標準》及《廣州市中職學校公共基礎(chǔ)課程學業(yè)質(zhì)量評價標準的研究與實踐》中均有提到：依據(jù)學業(yè)質(zhì)量評價標準開展的學業(yè)質(zhì)量評價則是指“學生在學校課程上所取得的成就（包括知識與技能、過程與方法和情感態(tài)度價值觀）的測量和評價”。依據(jù)學業(yè)質(zhì)量評價標準所開展的評價，既有學前診斷性評價，也有學習過程中的“形成性評價”，還有學后的終結(jié)性評價。在“數(shù)學”課中，學習經(jīng)歷是學生學習的核心[3][4]。

因此，筆者認為我們的數(shù)學概念教學應(yīng)鼓勵學生積極參與課堂活動，主動探究學習，讓學生成為課堂真正的主人，并積極采用形成性評價機制，對學生學習過程的各方面作充分而周全的評價?？傮w而言，二者不但沒有矛盾，而且相得益彰，更有利于充分調(diào)動學生學習的積極主動性，有利于課堂教學效率的提高，有利于課堂活動的順利開展，會使我們教學如虎添翼！

2.3 理論依據(jù)——APOS層次學習理論

APOS理論是美國數(shù)學教育家杜賓斯基（Ed Dubinsky）專門為研究“數(shù)學概念的學習”而提出的理論。他在APOS：A Construction Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research中提出學生學習數(shù)學概念是需要心理建構(gòu)的，其建構(gòu)過程需經(jīng)歷四個階段。

第一階段——活動（Action）階段：概念的引入階段，是以學生已有的認知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，綜合考慮學生的學情與認識規(guī)律，在認真分析所授概念的具體內(nèi)容與其在概念體系中位置的前提下設(shè)置活動，讓學生親身經(jīng)歷，主動建構(gòu)，從而對所授概念形成較直觀的理解。

第二階段——過程（Process）階段：概念的定義階段，是對“活動”進行思考一定的抽象得出概念的特有性質(zhì)，從而初步形成概念的一般定義的“過程”。

第三階段——對象（Object）階段：概念的分析階段，是對“活動”與“過程”的升華，將抽象出的概念賦予其形式化的定義及符號，成為一個具體的“對象”，并由學生主動將其納入已有概念體系的階段，在以后的學習中以此為對象去進行新的活動。

第四階段——概型（Scheme）階段：概念的運用階段，是“對象”階段中概念本質(zhì)和概念體系進一步的理解、揭示和實例化，最終要形成綜合的心理圖式。

APOS理論是對皮亞杰（J.Piaget）的“自反抽象”（Refle ctive Abstraction）理論的拓展，它對數(shù)學學習過程中學生的思維活動做出深入的研究，揭示了數(shù)學概念學習的本質(zhì)。其建構(gòu)的四個階段應(yīng)當循序漸進，這樣建立起來的概念具有豐富的內(nèi)涵，其中包含著概念的現(xiàn)實原型、概念的抽象過程、數(shù)學思想方法和概念的形式化對象等[5]。

3 概念有效性教學的策略探究endprint

筆者基于杜賓斯基的APOS層次學習理論，按照數(shù)學課程改革及學業(yè)質(zhì)量評價標準的要求，以應(yīng)用價值取向為導向，結(jié)合認知心理學與形成性評價機制，進行教學策略探究，得出概念教學策略的啟示。

3.1 “直觀感知概念”策略

心理學指出人類認識新事物是從感覺和知覺開始的，我們可從學生的專業(yè)實際出發(fā)，引入與概念最相符合的實例或?qū)嵨?，設(shè)計恰當?shù)幕顒迎h(huán)節(jié)，讓學生經(jīng)歷概念的探索過程，以最直觀的方式建立并感受概念和體驗數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系，這樣一來也有助于學生對概念的理解與運用。

3.2 “學生抽象出概念本質(zhì)”策略

在直觀感知的基礎(chǔ)上，教師引導學生經(jīng)歷探索、分析、內(nèi)化、歸納等系列思維過程，再由學生用“自己的語言”抽象出概念的本質(zhì)，當學生遇到疑惑并不解時，教師再提出進一步進行指導。筆者多年來的做法是用“學生語言”來對概念進行定義、板書。其好處有其一，以學生為主體，讓學生經(jīng)歷探索，激發(fā)他們思考，并得出概念的過程，印象尤為深刻；其二，鍛煉他們的思維與表達能力；其三，作為同齡人表達的語言更容易被其他學生領(lǐng)會與理解。

3.3 “以錯糾錯”策略

在學生形成概念后，教師可通過運用“正例為主，反例為輔”的方式，在幫助學生鞏固新概念的同時，通過適量的變式訓練發(fā)現(xiàn)錯題，及時糾正學生認知上的偏差，完善他們的知識體系，提升學生對概念掌握的準確性。

3.4 “多維度應(yīng)用”策略

數(shù)學源于生活，因而按照應(yīng)用價值取向為導向，我們不但要引導學生在后續(xù)的相關(guān)學習中靈活運用數(shù)學概念，反復(fù)構(gòu)筑完整的知識體系，更要讓數(shù)學知識回歸到學生的生活或?qū)I(yè)中，找到現(xiàn)實對應(yīng)的原型，逐漸形成綜合的心理圖式。因此鼓勵學生從多個思維角度運用數(shù)學解決生活或?qū)I(yè)上的問題，進一步幫助學生更全面、更清晰地認識概念，并感受數(shù)學的應(yīng)用價值，是個十分重要的策略。

3.5 “提升參與度”策略

在課堂上學生是學習的主體，他們的參與度直接影響到教學的達成度。因此，教師應(yīng)當憑借形成性評價機制，鼓勵學生或?qū)W習小組積極參與學習的全過程，適當增強學習的趣味性或競爭性，對在學習過程中表現(xiàn)積極的學生或小組給予及時的肯定、表揚或加分等，并對其進行記錄，以提高學生的學習興趣，促進教學各環(huán)節(jié)的順利開展。

上述的策略1～4之間為環(huán)環(huán)相扣、循序漸進的關(guān)系，共同構(gòu)成螺旋式上升的教學過程。而策略5則應(yīng)貫穿于學習的全過程，是開展各環(huán)節(jié)良好的催化劑。

4 概念有效性教學策略的實證研究

近年來，該校借著市精品課程建設(shè)為契機，以人才培養(yǎng)目標為導向，并根據(jù)《中職數(shù)學教學大綱》和《廣州市中職學生學業(yè)質(zhì)量評價標準匯編》擬定課程教學目標，結(jié)合我校專業(yè)課程的設(shè)置，對數(shù)學課進行整合與開發(fā)，形成具有我校特色的數(shù)學教學內(nèi)容。譬如：在“空間幾何體”內(nèi)容中，我們將柱、錐、臺及球作了整合，并進行合理的開發(fā)，使之更符合學生實際的學習需要，更有效地促進學生學好專業(yè)課，使數(shù)學課更好地服務(wù)于專業(yè)學習。

下面筆者以《認識幾何體》概念課為例，進行教學的實證研究，嘗試運用該文的教學策略組織概念課的有效教學，以拋磚引玉。

4.1 《認識幾何體》的課程地位簡析

該課位于北師大版的《數(shù)學（基礎(chǔ)模塊）》（下冊）第九章的第9.5節(jié)中，它的學習要求是要讓學生經(jīng)歷認識各類幾何體的學習過程，能準確判斷簡單幾何體的類型，為后繼學習空間幾何體的側(cè)面積、表面積及體積等起著非常重要的作用。學生只有準確辨認出幾何體類型、充分理解幾何體構(gòu)造，才能正確進行而后的計算，才能正確解決相應(yīng)工程量及預(yù)算分析等專業(yè)應(yīng)用問題。因此本節(jié)內(nèi)容是學生后續(xù)學習非常重要的奠基。

4.2 《認識幾何體》教學實踐案例

4.2.1 “直觀感知概念”策略

上課開始前，筆者準備了許多帶編號的幾何體手工模型，包括柱、錐、臺及組合體等，而且每一類的幾何體又包含各自的小類別，譬如柱體模型中有大小不一的圓柱、直三棱柱、正四棱柱、斜棱柱、五棱柱及正六棱柱等模型，并對學生以同構(gòu)異質(zhì)的方式編排分組，讓學生經(jīng)歷觀察、探索“幾何體的分類”。

環(huán)節(jié)1活動：一上課，筆者就將幾何體的手工模型全部散亂地放在講臺上，學生見狀都非常好奇，竊竊私語。

老師：同學們，這里有很多的幾何體手工模型，猶如剛從市場買回來的一堆食材一樣，有蘿卜、青菜、魚、牛肉等，雜亂無章地擺放著，現(xiàn)請各學習小組討論一下，能不能將它們分門別類擺放好呢？

學生聽到后，熱情瞬間被點燃，紛紛展開激烈的討論。不一會兒，各小組輪流展示分類的結(jié)果。在學生得出了幾何體模型的正確分類后，教師板書幾何體的分類柱體、錐體、臺體、球體，并對分對的小組給予加分，最快分對的小組再加2分。

點評：在本環(huán)節(jié)中，學生經(jīng)歷了對各種幾何體進行最直觀的分類過程，學生用自己的眼睛和感覺去感知、探索、認識幾何體，通過觀察與比較，對各類幾何體有一個大致的印象，有了初步的認識。但這對準確辨別幾何體是不夠的，還需要進行環(huán)節(jié)2的探索過程，深入探討幾何體的結(jié)構(gòu)特征，完善幾何體的概念。

4.2.2 “學生抽象出概念的本質(zhì)”策略

在學生初步感知的基礎(chǔ)上，筆者引導學生繼續(xù)深入探討，抽象出幾何體的結(jié)構(gòu)特征。

環(huán)節(jié)2活動：雖然在環(huán)節(jié)1已提出各類幾何體的概念，但筆者并不急于解釋這些概念，先賣個關(guān)子，反問學生請各小組再仔細觀察、討論，為什么它們能夠放在一起呢？各類幾何體分別具有怎樣的結(jié)構(gòu)特征？表達越準確，得分越高。

學生繼續(xù)展開討論，積極思考問題，然后小組輪流發(fā)言。雖然在一開始的回答比較稀奇古怪，譬如有學生說“都有相同的顏色、都比較小”等，但這些答案立刻遭來其他學生的反駁，隨后學生的回答，其思維點變得越來越精準。

有學生說：“柱體都有兩個平行的底面”。endprint

接著有學生補充：“它不但有兩個平行的底面，而且是兩個一樣的底面”。

后來有學生給出更準確的表達：“柱體有兩個平行且全等的底面”。

在學生精彩地探討回答中，我們漸漸得到了較清晰的結(jié)構(gòu)特征。筆者盡量用學生的原話板書各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并按答案的精準度對他們的回答給予加分。

點評：學生在該環(huán)節(jié)中經(jīng)歷了小組思考、比較、歸納的過程，這是學生由感性認識上升到理性認識的過程，學生用自己的語言抽象出各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征，鍛煉了他們的能力，進一步提升學生對幾何體概念的認知水平，同時讓學生體會“由具體到抽象”的數(shù)學思想在清晰地認識幾何體之后，仍需要通過適量的練習進行鞏固，即環(huán)節(jié)3。

4.2.3 “以錯糾錯”策略

教師通過變式訓練，審視學生對各類幾何體概念的理解程度，發(fā)現(xiàn)錯題，適時引導，及時糾正學生認識上的偏差，提升學生對概念掌握的準確性。

環(huán)節(jié)3活動：

老師：認識了我們的新朋友之后，請各小組看看學案，是否能準確辨認我們“生活中的幾何體”？看哪個小組完成得又對又快！

各個小組在展開討論后，爭先恐后地搶答。答對的學生加分。大部分學生的回答都是正確的，唯獨對某工地溝渠的判斷上有較大的分歧——本課的一個難點。

老師：我們仔細觀察一下，該幾何體的結(jié)構(gòu)特征是什么？

有學生說：它有兩個上下平行且相似的底面，它是臺體。

也有學生回答：不對！它有兩個平行且全等的梯形底面，所有它是四棱柱。

有學生反應(yīng)過來，接著說：這是個放倒著的四棱柱。

老師：恭喜你！回答正確！它其實是水平放置的直四棱柱。為什么它不是臺體呢？

片刻，有學生說：真正臺體的側(cè)棱延伸能交于一點。

其余學生馬上恍然大悟。通過教師的引導，學生學會抓住“結(jié)構(gòu)特征”，準確地辨識了該幾何體。

筆者趁熱打鐵，提醒學生注意“結(jié)構(gòu)特征”的重要性。

老師：看來我們幾何體的結(jié)構(gòu)特征非常重要，下面來鞏固該知識點。請各小組完成學案的第三部分的連線題和填空題（做對的學生可以加分）。

點評：在該環(huán)節(jié)中，筆者先讓學生辨認“生活中的幾何體”，它們或橫著、或豎著擺放，這其實是種變式訓練。同時穿插了一個難點“水平放置的四棱柱”，多數(shù)學生的第一反應(yīng)是“四棱臺”，在經(jīng)過教師的引導后，學生就較快地能通過“結(jié)構(gòu)特征”進行正確的判斷，從而突破該難點。緊接著，教師再次引發(fā)學生思考它不是臺體的原因，加深對“臺體”的認識。通過該題也讓學生重視對“結(jié)構(gòu)特征”的學習，教師因勢利導，讓學生完成“結(jié)構(gòu)特征”的鞏固練習，完善學生的認知。

4.2.4 “多維度應(yīng)用”策略

（1）學生結(jié)合本課的知識，發(fā)揮自己的空間想象能力，在學案上畫出柱、錐、臺等幾何體的正視圖、側(cè)面展開圖，進一步加深學生對各類幾何體構(gòu)造的認識。

（2）鼓勵學生自由組合制作小組，在課后制作幾何體手工模型，再次加深學生對幾何體構(gòu)造的認識。要求：學生3～5人為一組，選出組長，使用卡紙按要求制作幾何體手工模型，根據(jù)團隊合作精神及制作水平對組長及組員進行評分。

（3）鼓勵學生在后續(xù)幾何體表面積、體積以及專業(yè)課等相關(guān)學習中靈活運用本課知識，繼續(xù)構(gòu)筑完整的知識體系，逐步形成綜合的心理圖式。

點評：該環(huán)節(jié)是學生的課后作業(yè)，讓學生結(jié)合本課知識，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，動手畫出各類幾何體的正視圖、側(cè)面展開圖，動手制作幾何體模型，使學生從多個思維角度感受幾何體的構(gòu)造，不僅可鞏固本課概念知識，還鍛煉了學生的空間想象能力，而且為學生在后續(xù)學習表面積、體積，以及專業(yè)課中土方量、預(yù)結(jié)算等知識奠定基礎(chǔ)，同時這些也是形成綜合心理圖式的過程，從而增強了概念教學的有效性。

綜上，筆者依據(jù)數(shù)學概念課的教學目標，采用形成性評價為主要的評價機制，通過設(shè)計了“幾何體模型分類、歸納幾何體的結(jié)構(gòu)特征、變式訓練、動手畫畫圖”及“制作模型”等系列環(huán)節(jié)，從而激發(fā)了學生學習幾何體的興趣，引導學生經(jīng)歷了猜想、觀察、分析、類比、歸納等探究過程，對其滲透從具體到抽象，從特殊到一般的思想方法，從而構(gòu)建了各類幾何體的概念，培養(yǎng)了學生空間想象、歸納總結(jié)及邏輯思維等能力，提升了他們的數(shù)學素養(yǎng)水平，初步達成本課的教學目標。筆者在后續(xù)的授課中得到良好的教學反饋。

5 總結(jié)與展望

誠然，數(shù)學是一門環(huán)環(huán)相扣、邏輯極強的學科。正如華羅庚先生所言：“數(shù)學的學習過程，就是不斷地建立各種數(shù)學概念的過程”。唯有透徹、有效的概念教學，給學生預(yù)留足夠的思考時間與空間，才能有效構(gòu)建完整的數(shù)學知識體系，才能有效增強學生的變通力與創(chuàng)造力，才能有效地提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。讓我們拆卸掉學生“硬盤”的負累，讓他們自由地走進美麗的數(shù)學花園，充分地吸收養(yǎng)分，探索神秘的數(shù)學世界，綻放出絢麗的思維之花，結(jié)出智慧之果！

參考文獻

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