鞠桂玲， 羅俊芝， 要俊杰， 顧 娟, 劉興華

(1. 裝甲兵工程學院基礎部， 北京 100072； 2. 中部戰(zhàn)區(qū)，北京 100144)

基于反推法的非完整系統(tǒng)反饋控制問題研究

鞠桂玲1， 羅俊芝1， 要俊杰1， 顧 娟1, 劉興華2

(1. 裝甲兵工程學院基礎部， 北京100072；2. 中部戰(zhàn)區(qū)，北京100144)

針對一類具有不確定項非完整系統(tǒng)的反饋控制問題，結合滑模變結構控制和反推法，研究了其反饋控制器的設計問題。首先采用狀態(tài)-狀態(tài)轉換技術對系統(tǒng)進行轉換，使系統(tǒng)滿足三角結構，然后運用反推法設計了系統(tǒng)的反饋控制器，最后通過數值模擬驗證了所設計的反饋控制器的有效性。

狀態(tài)-狀態(tài)轉換； 滑模變結構控制； 反推法； 不確定項

現實中一些力學(機械)系統(tǒng)都可歸結為非完整系統(tǒng)，如機器人、車載倒立擺、水下船舶及飛機起落架等一些帶輪子的力學系統(tǒng)等。近年來，這一系統(tǒng)的研究得到了國內外研究者的廣泛關注[1-9]，如：JIANG等[7]利用滑模變結構控制方法研究了一類非完整系統(tǒng)；王剛等[8]利用反推法研究了一類具有不確定項的非完整系統(tǒng)的指數鎮(zhèn)定問題；MURRAY 等[9]研究了幾類力學系統(tǒng)的反饋控制問題，但研究的系統(tǒng)較為理想化，未考慮實際力學系統(tǒng)中的不確定性因素(如系統(tǒng)中存在的未知結構參數、外界存在的干擾以及系統(tǒng)結構中存在的不確定性等)。因此，筆者以文獻[9]的模型為基礎，綜合考慮系統(tǒng)中存在的不確定性因素，并運用文獻[7-8]中的滑模變結構控制方法與反推法，對一類具有不確定項的非完整系統(tǒng)的反饋控制問題進行研究。

1 問題提出

考慮如下具有不確定項的非完整系統(tǒng)

(1)

假設1：對于任意的1≤i≤n-1，存在已知的非負函數ψi(t,x0,x1,…,xi,u0)，使得

(2)

成立。其中c0為正常數。

假設1表明:原點為系統(tǒng)(1)的平衡點。實際系統(tǒng)中很多的不確定因素滿足該假設[4,7]。

2 反饋控制器設計

控制器設計過程中用到如下2個引理：

引理1[3]: 對于向量a,b，存在常數c，使得不等式

成立。

引理2[2]:對于任意的連續(xù)函數ψ(x1,x2,…,xn)，存在連續(xù)函數ψi(x1,x2,…,xn)(1≤i≤n)，使得等式

ψ(x1,x2,…,xn)=ψ(0,0,…,0)+

成立。

2.1反饋控制器u0的設計

為使系統(tǒng)(1)滿足三角結構，對于(x0,v0)-子系統(tǒng)，采用滑模變結構控制方法。

取滑模面

S=v0+k0x0,k0>0。

(3)

S的導數滿足

選取反饋控制器

(4)

根據式(2)、(4)，可得

(5)

由式(5)可知：在式(4)的反饋控制器作用下，經過有限時間t，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)可到達滑模面S=0，且沿該滑模面到達原點，此時v0=-k0x0，且在該滑模面上有x0(t)≠0。

2.2反饋控制器u的設計

2.2.1 系統(tǒng)坐標轉換

當初值x0(t0)≠0時，引入坐標-坐標轉換

(6)

根據式(5)，式(1)中的x-子系統(tǒng)可轉化為

(7)

(8)

2.2.2 反饋控制器u的設計步驟

采用反推法對控制器u進行設計，其步驟如下：

取虛擬控制函數

(9)

步驟i：假設在步驟i-1中，存在虛擬控制律αi-1和新變量ξi-1，使得

(10)

成立。式中：kj為待定的正常數。

ξi+1=yi+1-αi(x0,y1,…,yi)，

(11)

根據式(8)、(10)，并對Vi求導，可得

k0ξi(ξi+1+αi)+Δi,

(12)

式中：

(13)

根據式(8)、引理1和引理2，存在光滑非負函數ωi(x0,y1,…,yi)，使得不等式

(14)

成立。由式(12)、(14)，可得

k0ξi(ξi+1+αi)+ξi2ωi(·)，

(15)

選取虛擬控制函數

(16)

則有

(17)

式中：ki為待定的正常數。

(18)

式中：

Δn-1=ξn-1[-k0ξn-2+φ1(·)-

(19)

由完全平方公式可知：存在光滑非負函數ωn-1(x0,y1,…,yn-1)，使得

(20)

成立。選取反饋控制器

u=-kn-1ξn-1-ωn-1(·)ξn-1，

(21)

式中：kn-1為待定的正常數。

將式(21)代入式(18)，可得

(22)

2.3穩(wěn)定性定理

通過上述的滑模變結構控制方法和反推法，可以得到如下定理。

定理： 對于假設1，將設計的反饋控制器(4)、(21)應用于系統(tǒng)(1)，并通過選取合適的設計參數，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的。

3 仿真實例

考慮下列非完整系統(tǒng)

(23)

所研究的一般系統(tǒng)中的不確定項依次取下列函數φ0(·)=x0,φ00(·)=x02v0,φ1(·)=x02x1,φ2(·)=x2,并取初值x0(0)=1,x1(0)=0,x2(0)=1。

通過上述的反推法可得

(24)

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)的控制輸入曲線

閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線和控制輸入曲線分別如圖1、2所示。可以看出：閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線和控制輸入曲線均以較快的速度趨向于0。仿真實例驗證了本文結合滑模變結構控制方法與反推法所設計的反饋控制器對這類具有不確定性的非完整系統(tǒng)的有效性。

4 結論

針對一類非完整系統(tǒng)，在考慮系統(tǒng)具有的不確定因素的基礎上，綜合運用滑模變結構控制和反推法，設計了其反饋控制器，該控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的，仿真實例驗證了筆者所提方法的有效性。所建模型能更好地反映系統(tǒng)的真實情況，屬于非完整系統(tǒng)的一個新的研究方向，但僅對系統(tǒng)中存在的不確定性進行了研究，對于系統(tǒng)中存在時滯的情況，還有待于開展進一步研究。

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(責任編輯: 尚菲菲)

ResearchonFeedbackControlforNonholonomicSystemsBasedonBacksteppingTechnique

JU Gui-ling1， LUO Jun-zhi1， YAO Jun-jie1， GU Juan1，LU Xing-hua2

(1. Department of Fundamental Courses, Academy of Armored Force Engineering, Beijing100072, China;2. Central Theater Command of PLA, Beijing100144, China)

This paper deals with the feedback control for the nonholonomic systems with uncertainties. In order to make the systems satisfy a triangularity condition, the state-state scaling is used. The sliding mode variable structure control and backstepping approach are used to design the feedback controller. The simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed controller.

state-state transition; sliding variable structure control; backstepping; uncertainties

1672-1497(2017)04-0121-04

2017-03-13

鞠桂玲(1981-)，女，講師，碩士。

O231.2

：ADOI：10.3969/j.issn.1672-1497.2017.04.023