何清平，劉佐濂，楊 汝

廣州大學物理與電子工程學院，廣東廣州 510006

【物理與應(yīng)用物理/PhysicsandAppliedPhysics】

分數(shù)階模擬電容和模擬電感的設(shè)計

何清平，劉佐濂，楊 汝

廣州大學物理與電子工程學院，廣東廣州 510006

基于波特圖頻域近似算法和阻容分抗電路設(shè)計出分數(shù)階模擬電容，利用廣義阻抗變換電路把α(0<α<1)階模擬電容轉(zhuǎn)換為α階模擬電感，把分數(shù)階模擬電容的階次擴展至0～2階．采用Multisim軟件對分數(shù)階模擬電感、分數(shù)階LC串聯(lián)電路仿真，結(jié)果與理論分析基本一致．

電子電路；分數(shù)階電路；LC串聯(lián)電路；模擬電感；模擬電容；阻抗變換

長期以來，電容和電感被公認是基于整數(shù)階微積分建立電路分析的．然而，大量研究表明，電容和電感本質(zhì)上是分數(shù)階的，基于分數(shù)階微積分建立電容和電感的數(shù)學模型更能準確反映實際電容和電感的電學特性[1-4]．Westerlund等[2]通過實驗測定出不同電介質(zhì)下分數(shù)階電容的階數(shù)；Jesus等[3]已制造出具有0.59和0.42階的分數(shù)階電容；Machado等[4]指出基于趨膚效應(yīng)可制造出任意階次的電感元件．王發(fā)強等[5-6]使用阻容分抗電路設(shè)計出分數(shù)階模擬電容，用于分數(shù)階Lorenz、Chen、Liu和多翼等混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)[7-11]，進一步證實電路系統(tǒng)的分數(shù)階特性．分數(shù)階LC串并聯(lián)電路[12-13]、LCL型電路[14]和濾波電路[15-16]均已有系統(tǒng)的理論研究．本研究在缺乏分數(shù)階元件的情況下，基于頻域近似算法和阻容分抗電路，設(shè)計0～2階的分數(shù)階模擬電容和模擬電感，可為研究分數(shù)階電路特性，拓展分數(shù)階電路的工程應(yīng)用提供替代元件．

1 分數(shù)階微積分的基本理論

1.1分數(shù)階微積分的定義

分數(shù)階微積分是研究任意階次微分、積分算子的特性及應(yīng)用的數(shù)學分析方法[17]．其中，Caputo定義的分數(shù)階微積分，其初值條件是整數(shù)階的，具有清晰的物理意義，常用于解決工程應(yīng)用和物理問題．

Caputo積分的定義式[17]為

(1)

Caputo微分的定義式[17]為

(2)

Caputo微積分定義的Laplace變換為[17]

(3)

(4)

其中，L[·]為拉普拉斯變換；s為復(fù)頻率；F[s]是變量為s的函數(shù)；k≥0且為整數(shù)，n=?α」+1．

式(3)和式(4)表明，Caputo定義的微積分的Laplace變換簡單，只需得到函數(shù)f(t)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的初值(f(k)(0),k=0,1, …，n-1)即可，極大地降低了分數(shù)階微積分方程的求解難度，更具工程實用性．

1.2分數(shù)階微積分的頻域近似算法

分數(shù)階微積分運算的求解，工程上常用波特圖頻域近似算法[18-19]，先對分數(shù)階微積分進行時域-頻域轉(zhuǎn)換，再在頻域中應(yīng)用分段線近似法進行計算．由式(3)可知，階次為α(0<α<1)的分數(shù)階積分的傳遞函數(shù)為H(s)=1/sα， 用單極點分數(shù)冪表示為H(s)=1/(1+s/pT)α， 其波特圖為一條斜率為-20αdB/dec的直線．如圖1，在工程計算中，通常用斜率為0和-20dB的線段組成的鋸齒線來近似，把分數(shù)階函數(shù)轉(zhuǎn)化為求解系統(tǒng)的零極點對的問題[18]．

圖1 1/(1+s/pT)α的波特圖及其鋸齒線逼近[18]Fig.1 Bode plot of 1/(1+s/pT)α and its approximation with zigzag straight lines[18]

假設(shè)最大角頻率為ωmax的頻率范圍內(nèi)，工程實際所要求動力學系統(tǒng)變量的計算誤差不超過y(y為正值，單位：dB)，工作頻段限制為N個，取0<α<1， 則1/sα的近似傳遞函數(shù)[19]為

(5)

2 分數(shù)階模擬電容和模擬電感的設(shè)計

2.1α(0<α<1)階模擬電容的設(shè)計

分數(shù)階模擬電容可采用樹型、鏈型和混合型的阻容分抗電路進行模擬[6]．在復(fù)頻域中，電容量為C0、 階次為α的分數(shù)階電容的傳遞函數(shù)為F(s)=1/(C0sα)． 對鏈型阻容分抗電路，其兩端之間的復(fù)頻域表達式為[6]

(6)

根據(jù)工程需求，選定α、ωmax、pT和y的值并代入式(5)計算，得到分數(shù)階傳遞函數(shù)H(s)=1/sα(α=0.1～0.9)的頻域近似表達式．設(shè)分數(shù)階模擬電容的值為C0、 階次為α， 對比式(5)和式(6)的參數(shù)，計算得R1,R2, …,Rn和C1,C2, …,Cn的值．

2.2分數(shù)階模擬電感的設(shè)計及階次擴展

圖2是由運算放大器組成的一種廣義阻抗變換器(generalimpedanceconverter,GIC)電路[20]，它既能模擬電容，也能模擬電感，電路所呈現(xiàn)的阻抗性質(zhì)由Z1～Z4及ZL所選擇的電容或電阻來決定．

圖2 一種GIC電路[20]Fig.2 A general impedance converter circuit[20]

若運算放大器是理想的，則該電路輸入阻抗為

(7)

3 仿真驗證

3.1β(0<β<1)階模擬接地電感的設(shè)計

根據(jù)式(7)和圖2的GIC電路，可把β階的分數(shù)階電容回轉(zhuǎn)為β階的模擬接地電感．圖3是基于運放LF351D設(shè)計的GIC電路，取R1=R2=R3=RL=1kΩ，C4為β階電容量為1μF的分數(shù)階電容，可得到β階電感量為1H的模擬接地電感，取不同的電阻值可得到不同的模擬電感值．分數(shù)階電容C4采用文獻[8]的參數(shù)ωmax=100rad/s、pT=0.01rad/s、y=2dB，由式(5)和式(6)計算出β階次、電容值為1μF時鏈型分抗電路的阻容元件參數(shù)．

圖3 β階電容回轉(zhuǎn)為β階電感的GIC電路Fig.3 A GIC circuit to transform β-order capacitor into β-order inductor

3.2β階模擬接地電感的仿真驗證

用正弦電壓ui=sin(wt)激勵時，流過β階電感的電流相位比電壓超前βπ/2． 用Multisim軟件對圖3的電路進行仿真，得到β階模擬接地電感的正弦電壓激勵的電流波形，在虛擬示波器上顯示的波形如圖4．波形①為電感兩端的電壓波形，波形②、③和④分別對應(yīng)階次β為0.4、0.8和1.0，電感值為1H時的電感電流，電壓和電流的轉(zhuǎn)換關(guān)系為每500mV表示1mA．可見，電感電流與電壓的相位關(guān)系與理論分析基本一致．

圖4 分數(shù)階電感的正弦電壓激勵響應(yīng)①量程為20 mV/Div; ② 量程比①放大250倍；③量程比①放大100倍；④ 量程比①放大50倍Fig.4 The sine wave response of the fractional order inductor

3.3LβCα串聯(lián)電路仿真

為驗證所設(shè)計分數(shù)階模擬電容和模擬電感的正確性，對分數(shù)階LβCα串聯(lián)電路進行仿真．使用Multisim分析自帶的波特儀對串聯(lián)電路的幅頻特性，得到分數(shù)階串聯(lián)電路的諧振頻率，再與理論計算得到的諧振頻率ωres對比．ωres的計算公式為[12]

(8)

選取分數(shù)階模擬電容和模擬電感的諧振參數(shù)時，應(yīng)確保諧振頻率位于其正常工作頻域內(nèi)．由式(8)可得，當α=0.4，β=0.8，Cα=1μF，Lβ=5kH時，fres=ωres/(2π)=10.80Hz，與圖5(a)仿真得到的諧振頻率基本一致；當α=0.8，β=0.4，Cα=1μF，Lβ=6kH時，fres=ωres/(2π)=13.78Hz，與圖5(b)中仿真得到的諧振頻率基本一致．可見，電路仿真得到的諧振頻率與理論計算得到的基本一致，證明所設(shè)計的分數(shù)階模擬電容和模擬電感有效可行．

圖5 分數(shù)階LβCα串聯(lián)電路仿真的波特圖Fig.5 Simulation Bode plot of fractional order LβCα serial circuit

結(jié) 語

基于分數(shù)階微積分的基本概念，總結(jié)了頻域近似算法的基本原理，將其與鏈型阻容分抗電路的傳遞函數(shù)進行對比，得到分數(shù)階模擬電容的等效電路參數(shù)，設(shè)計出α(0<α<1)階的模擬電容；利用GIC電路，把α階的模擬電容轉(zhuǎn)換為α階的模擬電感，把分數(shù)階模擬電容的階次擴展至0～2階．為驗證設(shè)計的正確性，采用Multisim軟件對階次為0～1的分數(shù)階模擬電感進行仿真，通過比較電感電壓和電感電流的相位關(guān)系，驗證了分數(shù)階電感的正確性；同時，對分數(shù)階LC串聯(lián)電路仿真得到的諧振頻率與理論計算結(jié)果基本一致，進一步驗證了分數(shù)階模擬電容和模擬電感設(shè)計的正確性．所設(shè)計的分數(shù)階模擬電容和模擬電感可用于分數(shù)階混沌電路、濾波電路和諧振電路等場合，為研究分數(shù)階電路的工程應(yīng)用提供參考．

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【中文責編：英子；英文責編：子蘭】

Designofsimulatorforfractionalordercapacitorandinductor

HeQingping,LiuZuolian,andYangRu

SchoolofPhysicsandElectronicEngineering,GuangzhouUniversity,Guangzhou510006,GuangdongProvince,P.R.China

A fractional order simulant capacitor is designed based on the Potter frequency domain approximation algorithm and the impedance capacitance division circuit.By using a generalized impedance transformation circuit, theα(0<α<1) order simulant capacitor is converted to anαorder simulant inductor. The order of the fractional order simulant capacitor is extended from zero to second. The fractional order simulant inductance and fractional order LC series circuit are simulated by using Multisim software, and the results are in good agreement with the theoretical analysis ones.

electronic circuit; fractional order circuit; LC serial circuit; inductive simulator; capacitive simulator; impedance conversion

2017-01-06；Accepted：2017-05-21

Professor Yang Ru. E-mail: yangru@gzhu.edu.cn

TN 721.2

：Adoi：10.3724/SP.J.1249.2017.05516

Foundation：National Natural Science Foundation of China (51277035)；Natural Science Foundation of Guangdong Province (2014A030313528)

：He Qingping, Liu Zuolian, Yang Ru. Design of simulator for fractional order capacitor and inductor[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2017, 34(5): 516-520.(in Chinese)

國家自然科學基金資助項目(51277035)；廣東省自然科學基金資助項目(2014A030313528)

何清平(1978—)，男，廣州大學實驗師．研究方向：非線性電路理論及應(yīng)用．E-mail:jerryhqp@126.com

引文：何清平，劉佐濂，楊 汝．分數(shù)階模擬電容和模擬電感的設(shè)計[J]. 深圳大學學報理工版，2017，34(5)：516-520.