龔賽軍(嵊州市高級(jí)中學(xué) 浙江 紹興 312400)

也談科學(xué)合理構(gòu)建模型
——對(duì)2013年高考浙江理綜卷25題第(3)問(wèn)爭(zhēng)議的再分析

龔賽軍
(嵊州市高級(jí)中學(xué) 浙江 紹興 312400)

高考 物理模型 流體力學(xué) 參考系變換

1 題目

為了降低潛艇噪音，提高其前進(jìn)速度，可用電磁推進(jìn)器替代螺旋槳．潛艇下方有左、右兩組推進(jìn)器，每組由6個(gè)相同的、用絕緣材料制成的直線通道推進(jìn)器構(gòu)成，其原理示意圖如圖1所示．在直線通道內(nèi)充滿電阻率ρ=0.2 Ω·m的海水，通道中a×b×c=0.3 m×0.4 m×0.3 m的空間內(nèi)，存在著由超導(dǎo)線圈產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B=6.4 T,方向垂直通道側(cè)面向外．磁場(chǎng)區(qū)域上、下方各有a×b=0.3 m×0.4 m的金屬板M和N，當(dāng)其與推進(jìn)器專(zhuān)用直流電源相連后，在兩板之間的海水中產(chǎn)生了從N到M，大小恒為I=1.0×103A的電流，設(shè)該電流只存在于磁場(chǎng)區(qū)域．不計(jì)電源內(nèi)阻及導(dǎo)線電阻，海水密度ρm≈1.0×103kg/m3.

圖1 題圖

(1)略.

(2)略.

(3)當(dāng)潛艇以恒定速度v0=30 m/s前進(jìn)時(shí)，海水在出口處相對(duì)于推進(jìn)器的速度v=34 m/s，思考專(zhuān)用直流電源所提供的電功率如何分配，求出相應(yīng)功率的大?。?/p>

由于物理模型至關(guān)重要，所以有必要通過(guò)分析疑問(wèn)來(lái)得出較科學(xué)的物理模型.下面首先澄清幾個(gè)相關(guān)問(wèn)題.

(1)管內(nèi)液體流動(dòng)是加速嗎？如果不是，是一種什么運(yùn)動(dòng)？

答：不是.若管內(nèi)液體流動(dòng)是加速，那么管內(nèi)各處流量將不同，從而導(dǎo)致出現(xiàn)真空，但因大氣壓的作用下不可能真空，特別是長(zhǎng)時(shí)間下保持真空.

滿足液體充滿空間、管內(nèi)任一截面處流量相等條件下管內(nèi)液體必定是勻速運(yùn)動(dòng)，原因是質(zhì)量守恒要求相等時(shí)間內(nèi)管道進(jìn)口進(jìn)入的質(zhì)量必須等于出口離開(kāi)的質(zhì)量，即磁流體推進(jìn)器管道截面積相同，那么進(jìn)入速度是等于離開(kāi)速度的！

(2)管內(nèi)液體為什么在安培力作用下仍然做勻速運(yùn)動(dòng)？管內(nèi)液滴微元受力情況是怎樣的？

因?yàn)樗械囊旱伪患s束在管內(nèi)，除了受到安培力以外還受到了管內(nèi)前后截面壓力的作用，當(dāng)這個(gè)安培力與壓力差平衡的時(shí)候管內(nèi)液體就能夠勻速運(yùn)動(dòng).

管內(nèi)液滴微元受力情況如圖2所示.

圖2 液滴受力示意圖

這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)一個(gè)理想模型來(lái)理解.有一根很長(zhǎng)的自來(lái)水管豎直放置，上端連有一個(gè)水池，下端水龍頭打開(kāi)后，我們會(huì)認(rèn)為豎直管內(nèi)的水速度是一樣的，就算受到重力作用.

(3)那么液滴在何處加速？為什么能加速？管道內(nèi)勻速的速度大小大概與哪些因素有關(guān)？

液滴在管道進(jìn)口前端(截面積變小)加速，如圖3所示.

易分析出此處截面積變小，流量相同下流速在增大！

圖3 截面積變化示意圖

加速度大小與管口收縮梯度(坡度)有關(guān)，更與入口前端左右側(cè)壓強(qiáng)差有一定的關(guān)系.

因?yàn)橐旱挝⒃诔隹谔帀簭?qiáng)與環(huán)境壓強(qiáng)一致，而從液滴微元受力分析圖可以看出(存在安培力區(qū)域)越靠近左端壓強(qiáng)越小，而管道入口前端左側(cè)與環(huán)境壓強(qiáng)一致.這樣由于管道入口前端左側(cè)壓強(qiáng)大，入口右側(cè)壓強(qiáng)小，在壓力差下海水在此加速.

管道內(nèi)的速度大小與管道前端兩側(cè)壓強(qiáng)差有關(guān)，而這個(gè)壓強(qiáng)差與安培力大小以及管道的長(zhǎng)度存在一定的關(guān)系.

(4)那么這個(gè)問(wèn)題的真相是什么？解決的理論是什么？合理的結(jié)論是什么？

由上述可見(jiàn)，此類(lèi)問(wèn)題其實(shí)與中學(xué)物理所遇到的對(duì)象有很大不同，是一個(gè)連續(xù)流體問(wèn)題，也就是流體力學(xué)問(wèn)題.費(fèi)因曼把忽略黏性的理想水的流動(dòng)稱(chēng)為干(不考慮粘滯)水的流動(dòng).在有關(guān)流體的普遍理論中，人們必須從聯(lián)系壓強(qiáng)和密度的物態(tài)方程出發(fā)，即流體質(zhì)量守恒(連續(xù)性方程[1])得出：在不可壓縮下ρ是恒量.此類(lèi)問(wèn)題為定常流，由伯努利定理來(lái)解決，方程為

(1)

式中p為該處壓強(qiáng)，ρ為流體密度，v為該處速度大小，若僅考慮重力作用φ=gz，g為重力加速度，z為相對(duì)參考平面的高度，如圖4所示.

根據(jù)式(1)可以看出，在得出p，ρ，φ的基礎(chǔ)上任何一處的v均可以求得.如果將安培力等效為重力，則可以將式(1)變換成

(2)

因?yàn)槿肟谂c出口均在大海(默認(rèn)同一深度)，所以

p′=p

(3)

因等效重力僅在灰色區(qū)域，其高度差為a，所以

z-z′=a

(4)

因?yàn)榘才嗔Φ扔诘刃е亓?，所?/p>

BIc=ρa(bǔ)bcg′

(5)

由式(2)～(5)聯(lián)立，可得

(6)

圖4 等效重力示意圖

這個(gè)才是真正的海水在出口處相對(duì)于推進(jìn)器的速度！也就是原題干中v=34 m/s是多余且錯(cuò)誤的，并且就是造成各種問(wèn)題的源頭.

2 常規(guī)解法驗(yàn)證

理論上利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理或者動(dòng)量定理均可解答，并且在不同參考系下答案均自洽.動(dòng)能定理可以規(guī)避很多繁瑣細(xì)節(jié)，以艇為參考系物理模型理解相對(duì)簡(jiǎn)單.若將艇看作一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)消耗電能，一方面產(chǎn)生焦耳熱，另一方面使一部分水動(dòng)能增大，即可以將系統(tǒng)看作一個(gè)水泵.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，可等效為艇前方質(zhì)量為ρbcv′Δt的水直接到了出口處，管內(nèi)水沒(méi)有變化.電源輸出電壓等于海水電阻壓降(IR)和反電動(dòng)勢(shì)(Bav′)之和.由消耗電能等于增加焦耳熱與水動(dòng)能增加量，有

(7)

2.1以艇為參考系用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析及求解

為分析方便選取截面積為S0沿運(yùn)動(dòng)方向長(zhǎng)度為d0的微元為研究對(duì)象，分為前端入口的加速運(yùn)動(dòng)和管內(nèi)勻速運(yùn)動(dòng).

對(duì)于管內(nèi)的勻速運(yùn)動(dòng)，微元受到對(duì)應(yīng)安培力等于兩個(gè)側(cè)面之間壓強(qiáng)差(Δp0)乘截面積S0.那么有

(8)

那么整段壓強(qiáng)差

(9)

為了問(wèn)題簡(jiǎn)單，在前端特殊造型使得微元做勻加速運(yùn)動(dòng)，由于前端在大海連接，所以前端壓強(qiáng)差也為Δp.在加速過(guò)程中必定會(huì)使微元面積和長(zhǎng)度發(fā)生變化，但因?yàn)閯蚣铀僬f(shuō)明壓差梯度為恒定值.若加速端長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則微元加速度大小為

(10)

若截面積變化則長(zhǎng)度隨之變化，但乘積不變即加速度不變.由勻變速運(yùn)動(dòng)可得

(11)

由式(10)、(11)可以得出

2.2以岸為參考系用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析及求解

根據(jù)上面2的分析，同樣因?yàn)橛邪才嗔ψ饔脜^(qū)域內(nèi)做勻速運(yùn)動(dòng)計(jì)算得出壓差與式(9)完全一致.假設(shè)前端長(zhǎng)度也為L(zhǎng)，則微元加速度大小也為式(10).微元前端入口速度變?yōu)榱?設(shè)微元前端出口(進(jìn)入方形管道)速度為v″,艇做速度為v0的勻速直線運(yùn)動(dòng),水微元做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)微元到達(dá)前端后壁(開(kāi)始勻速)時(shí)艇位移為x艇，水微元位移為x水.由圖5可知

L=x艇+x水

(12)

x艇=v0t

(13)

(14)

v″=at

(15)

由式(9)、(10)、(12)、(13)、(14)、(15)聯(lián)立可得

圖5 以岸為參考系運(yùn)動(dòng)分析

2.3幾點(diǎn)說(shuō)明

以一個(gè)大整體水為研究對(duì)象應(yīng)用動(dòng)能定理，相當(dāng)于應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理，忽略保守內(nèi)力(水壓力)做功是可以的.以微元為研究對(duì)象無(wú)論是動(dòng)能定理還是牛頓運(yùn)動(dòng)定律均需考慮內(nèi)部壓力問(wèn)題.動(dòng)能定理、牛頓運(yùn)動(dòng)定律，包括動(dòng)量定理在此題中本質(zhì)其實(shí)是一樣的.參考系的變化得出的結(jié)果是自洽的，甚至在非慣性參考系中(考慮慣性力做功).

2.3.1 文獻(xiàn)[3]中的問(wèn)題

(1)作用質(zhì)量的表達(dá)式存在問(wèn)題

m=ρmbcv水對(duì)地Δt

由極限法若v水對(duì)地非常小則Δt為一個(gè)不大的數(shù)，按照表達(dá)式,m接近零，顯然是荒謬的.以潛艇為參考系，水出潛艇后假設(shè)速度不變且不分開(kāi)，則經(jīng)過(guò)潛艇的水(灰色)如圖6所示.

圖6 潛艇參考系出水示意圖

若以地面為參考系，則如圖7所示.

圖7 潛艇參考系出水示意圖

可以看出官方解答與此文都僅僅考慮了地面參考系參考界面后方的水.

(2)電路模型存在問(wèn)題，如圖8所示.

圖8 錯(cuò)誤的電流方向

顯然推進(jìn)系統(tǒng)是電動(dòng)機(jī)模型，即電流方向同向.

2.3.2 文獻(xiàn)[4]中的問(wèn)題

(1)文獻(xiàn)[4]中槳作用的水的質(zhì)量表達(dá)式與文獻(xiàn)[3]存在同樣問(wèn)題.特別由于采用v=34 m/s，那么會(huì)有

這樣導(dǎo)致各種解答看上去完全自洽.

(2)文獻(xiàn)[4]中的討論3，研究對(duì)象存在問(wèn)題.假定潛艇不動(dòng)，在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的海水移動(dòng)，對(duì)此部分海水應(yīng)用動(dòng)能定理,如圖9所示.

圖9 框內(nèi)海水在這部分海水整體未全部進(jìn)入已經(jīng)受安培力

因?yàn)橐瞥鰸撏Р糠值乃?黑框內(nèi)部分)與最左側(cè)的海水在通過(guò)潛艇過(guò)程中受力完全一樣的.這部分海水此時(shí)的安培力確實(shí)不等于BIc,但也需考慮框中水進(jìn)入潛艇過(guò)程受力.可以等效為整體持續(xù)存在安培力BIc.因此本文在研究時(shí)采用整體(一段時(shí)間通過(guò)管道內(nèi)所有水)和微元液滴兩個(gè)模型分別研究.

2.3.3 文獻(xiàn)[5]中的問(wèn)題

(1)文中提出噴出海水質(zhì)量為

m=ρmbcv0Δt

存在問(wèn)題.

解法1：P1+P2+P3=(6.9×105+6×106+6.144×103)W=6.696 144×106W

解法2：P1+P2+P3=(6.9×105+6×106+6.144×103)W=6.696 14×106W

解法3：P2+P3=(6×106+6.97344×105)W=6.697 344×106W

解法4：P2+P3=(6×106+6.97344×105)W=6.697 344×106W

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，模型建立確實(shí)需要全面考慮，特別需要科學(xué)合理.由于流體力學(xué)有別于質(zhì)點(diǎn)力學(xué)，因此在大學(xué)物理中專(zhuān)門(mén)列出一個(gè)章節(jié)或者一門(mén)課程來(lái)展開(kāi)教學(xué),故在高考題中出現(xiàn)這樣的命題是不合適的.另外由于中學(xué)物理默認(rèn)地面為做功、動(dòng)能等參考系，非地面參考系的動(dòng)能定理應(yīng)用就算是有經(jīng)驗(yàn)的教師也難免出錯(cuò)，希望高考命題盡量避開(kāi).

1 費(fèi)恩曼.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(新千年版).上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2013.554～559

2 漆安慎，杜蟬英.力學(xué) .北京：高等教育出版社,1997.352～357

3 袁張瑾.潛艇動(dòng)力系統(tǒng)總功率的另兩種計(jì)算方法.物理教學(xué),2013(07):65～67

4 鄭維鵬.模型建立要科學(xué)合理問(wèn)題分析要多角度.物理通報(bào)，2016(03)：105～107

5 歐劍雄.高考物理試題效度證據(jù)的研究. 物理通報(bào)，2015(07)：89～90

TalkingaboutConstructingModelScientificallyandReasonably——ReanalysisonthePart3ofQuestion25ofZhejiangScienceandComprehensivePaperin2013CollegeEntranceExamination

Gong Saijun
(Shengzhou Senior Middle School, Shaoxing, Zhejiang 312400)

college entrance examination; physical model; hydromechanics; transformation of reference system

2017-02-24)