尺度效應(yīng)
——大小各有優(yōu)勢

涂 泓(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院物理系 上海 200234)

尺度效應(yīng)
——大小各有優(yōu)勢

涂 泓
(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院物理系 上海 200234)

尺度表征物體的大小，尺度效應(yīng)則反映出一個物體的大小決定了它的許多物理特性.用量綱分析的方法，加上一些簡單的計算，解釋了各種物理量對尺度的依賴關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上介紹生活中各種各樣的尺度效應(yīng).

尺度 特征長度 能量 比例

物體最明顯的特征就是它們的大小，而不同大小的物體也有著其明顯不同的物理特征.事實上，這種聯(lián)系并不像我們想象的那么簡單，而是有著深層原因的.物體的許多物理性質(zhì)、表觀現(xiàn)象，都是因其大小而產(chǎn)生的效應(yīng).

1 尺度及其表示

“尺度”通常指物體的大小，而且是用來區(qū)分大小不同而形狀卻一樣的物體的.以長方體為例，一個長方體的大小與其長、寬、高3個參數(shù)都有關(guān)，其體積等于三者的乘積.但對于形狀一樣的物體而言，長、寬、高之間的比例必須保持不變，這時候，只需要一個參數(shù)就完全決定了長方體的大小.比如，某個形狀一定的長方體，它的長度a，寬度b和高度c之間滿足確定的比例關(guān)系，可以寫成b=k1a，c=k2a，其中k1和k2為確定該長方體特定形狀的兩個常數(shù)，則體積V=abc=k1k2a3，可見，僅一個長度參數(shù)a就決定了該長方體的大小.通常把這個決定物體大小的唯一參數(shù)稱作“特征長度”，或者說，一個物體的尺度可以用它的“特征長度”來表示.

實際上，一個形狀一定的長方體的長、寬、高三者中的任意一個都可以選作它的特征長度.同樣，對于一個形狀一定的圓柱體而言，它的柱體長度和橫截面半徑之間的比例是確定不變的，所以長度和半徑兩者中的任意一個也都可以作為圓柱體的特征長度.一個球體的特征長度自然就是它的半徑了.其實，對于任何形狀的物體，總可以用一個特征長度來表征它的大小.

2 尺度和物理量

物體的許多物理量都與它的尺度密切相關(guān)，其中最基本的就是物體的體積、表面積和截面積.以L表示物體的特征長度，則物體的體積V與L的三次方成正比，即V∝L3.物體的表面積S與L的二次方成正比，即S∝L2，同樣，物體的橫截面積也是與L的二次方成正比的.

另外，由于物體的很多特性都直接或間接地與其體積、表面積或截面積相關(guān)，所以也就與其自身的尺度有著密切的關(guān)系了.比如，對于一個質(zhì)量分布均勻的物體，因其密度為恒量，所以物體的質(zhì)量M正比于體積，也與尺度L的三次方成正比，即M∝L3.又如，潮濕物體水分蒸發(fā)的快慢一般與其表面積的大小成正比，所以在其他條件不變的情況下，物體在單位時間內(nèi)蒸發(fā)掉的水分量m與其尺度L的二次方成正比，即m∝L2.還有一個簡單的例子就是電阻.以相同材料做成的形狀相似而大小不同的圓柱形均勻電阻為例，由于電阻值與長度成正比，而與截面積成反比，所以阻值的大小R與其尺度L的一次方成反比，即R∝L-1，也就是說，圓柱形尺度越大，其阻值反而越小.

正是由于尺度差別不僅僅是大小比例的簡單縮放，而是影響到物體的方方面面，因此尺度效應(yīng)可以說是無處不在.有些時候，我們明顯能發(fā)現(xiàn)物體的大小決定了它在某些方面占優(yōu)勢，在另一些方面卻處于劣勢，可謂“尺有所短，寸有所長”.

3 尺度效應(yīng)——大有大的優(yōu)勢

(1)大型動物耐饑、耐寒能力強、壽命長

動物體內(nèi)的熱量在不斷地通過身體表面排放出去，同時攝入的食物又在不斷轉(zhuǎn)化成能量，恒溫動物通過維持輸入和輸出能量兩者之間的平衡而保持恒定的體溫.

熱量通過動物表面釋放出去，從而與它的特征長度L的平方成正比，這就意味著動物的散熱率和產(chǎn)熱率(即新陳代謝率)P應(yīng)該滿足

(1)

(2)

為了計算方便，我們將式(1)寫成等式的形式

P=CMα

(3)

logP=αlogM+logC

(4)

由于維持新陳代謝所需的能量來自食物攝入，因此式(2)相當于告訴我們

(5)

(6)

由于新陳代謝率高，因此小型動物常常因為得不到足夠的食物而面臨體溫過低的問題.此外，由于體型的限制，它每次吃不下很多食物，而是正比于它的體重M，于是它就不得不增加進食次數(shù).許多大型動物一天只需要吃一頓，而小動物的生活卻是在不斷地覓食、進食中度過的.比如說有一種叫做鼩鼱的小動物，只要三小時找不到食物吃就會餓死.

事實上，小動物每天由攝入食物所獲得的能量，大部分都用于維持體溫.相比之下，大型動物更容易維持體溫，甚至常常因為體表來不及散發(fā)足夠的熱量而導(dǎo)致體溫過高.而這就是為什么寒冷地區(qū)以北極熊、海象、海豹這樣大型動物為主.

正因為式(2)告訴我們，越小的動物新陳代謝活躍性越高，因此小型哺乳動物呼吸頻率都很快，以獲得自己所需要的氧氣，而氧氣需要依靠血液傳輸，這又需要心臟跳動泵血，因而小動物心跳也很快，由此尺寸最終決定了動物的壽命.例如，大象大約每分鐘呼吸6次，心跳30次，壽命40年；而老鼠大約每分鐘呼吸150次，心跳600次，壽命3年.經(jīng)過簡單計算，我們會驚奇地發(fā)現(xiàn)，它們一生中總的呼吸次數(shù)和心跳次數(shù)都大致相同.

(2)小蟲怕水

昆蟲不懼怕重力，它不但能毫無危險地從高處落下來，還能不費吹灰之力就附著在墻壁上或天花板上.不過，有一種力對于昆蟲而言，就如同重力對于大型動物一樣可怕，那就是表面張力.一個物體從液體中出來時，由于表面張力而攜帶一薄層液體.假設(shè)這是一個半徑為r，質(zhì)量為M的球形物體，它所攜帶的水膜厚度為d，那么此時這些液體總質(zhì)量占該物體本身質(zhì)量的比例為

(7)

(3)大型哺乳動物潛水時間長

(8)

抹香鯨的潛水時間為一個半小時左右，如此長的潛水時間，跟它的龐大體型是分不開的.一條中等抹香鯨的體重大約20 t，按照式(8)折合成一個體重60 kg的人，那么這個人的潛水時間應(yīng)該是12.98 min，而2015年的吉尼斯世界紀錄為18.06 min！

4 尺度效應(yīng)——小有小的好處

(1)小蟲不怕摔

(9)

從而得到

(10)

我們假設(shè)這個物體是一個半徑為r，密度為ρ物的球體，那么

(11)

舉例來說，小水滴的直徑約1 mm，因此其下落的終極速率為

(12)

(2)小動物爬高更輕松

(13)

(3)細胞長不大

不同的生物體特征尺度從幾納米到數(shù)十米，其間可相差十個數(shù)量級，但構(gòu)成它們的細胞直徑卻大多在10～100 μm范圍內(nèi).當細胞長大到一定程度時，它們就開始分裂，仿佛有什么因素限制了它們的尺寸.而這個限制因素，就是細胞作為代謝基本單位的主要功能之一——與外界交換物質(zhì)與能量.要維持細胞的正常代謝，就要保證有穩(wěn)定的物質(zhì)與能量通過細胞膜進出細胞.以能量為例，假設(shè)細胞體積為V，面積為S，單位時間經(jīng)過單位面積細胞膜的能量(即能流)為Q，那么為了保持動態(tài)平衡，在Δt時間內(nèi)通過細胞膜進入細胞的總能量

W=QSΔt

(14)

應(yīng)該等于細胞內(nèi)消耗的總能量

W=ωVΔt

(15)

其中ω為細胞內(nèi)單位體積所消耗的能量，細胞正常運作時這個值應(yīng)該保持不變.表面光滑的細胞滿足前文所說的V∝L3、S∝L2的關(guān)系，于是我們從式(14)、(15)不難得出

(16)

也就是說，當細胞直徑L增大為原來的10倍時，單位時間經(jīng)過細胞膜單位面積的能量Q也要增大為原來的10倍.同理，此時單位時間經(jīng)過細胞膜單位面積進入細胞的氧氣量也是原來的10倍，單位時間經(jīng)過細胞膜單位面積排出細胞的廢物也是原來的10倍.而細胞膜的生物性質(zhì)決定了這些值都存在著一定的上限.細胞為了維持最佳的能量、物質(zhì)輸運，就必需限制其體積的大小.

從以上分析也可以看出，當細胞不需要與外界交換物質(zhì)、能量時，就不會受到這些限制.這就是卵細胞可以長到很大的原因.世界上最大的細胞是鴕鳥蛋，直徑可達15～22 cm.另一方面，有些細胞需要與外界發(fā)生大量的物質(zhì)和信息交換，如神經(jīng)元.它們的表面具有許多突起，這樣就在不增大體積的前提下增大了相對表面積.

5 結(jié)束語

從本文的分析可見，尺度效應(yīng)是可以從理論上預(yù)見到的，而事實也很好地驗證了這些理論預(yù)言.從尺度的視角去分析看待這個世界，其中大大小小都顯得合情合理.

1 Knut Schmidt-Nielsen. Scaling. Cambridge University Press, 1984

2 J. B. S. Haldane. On Being the Right Size. Oxford University Press, 1985

3 J. Maynard Smith. Mathematical Ideas in Biology. Cambridge University Press, 1968

4 T. W. K?rner. The Pleasure of Counting. Cambridge University Press, 2011

2017-02-22)