導(dǎo)數(shù)在解題中的妙用

郭新萍

【摘要】新課標(biāo)理念下的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)，突顯了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)諸如定義域、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間，極值、最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義、生活中最優(yōu)化問(wèn)題等方面的方便快捷優(yōu)勢(shì)。新課標(biāo)理念下的高考，除考查這些基礎(chǔ)知識(shí)外，也比較多的涉及到數(shù)學(xué)的其它方面，本文就導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的值域、求函數(shù)的解析式、含參數(shù)的恒成立問(wèn)題、確定方程根的情況、證明不等式、數(shù)列求和等方面的運(yùn)用作一探討。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) ； 解題 ； 妙用

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）7-0228-01

一、求函數(shù)的值域

二、求函數(shù)的解析式

例2.設(shè)y=f（x）為三次函數(shù)，且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)=， f（x）的極小值為-1，求函數(shù)的解析式。

解：設(shè)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），

因?yàn)槠鋱D像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即f（-x） =-f（x）

-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d

∴b=0，d=0 即f（x）=ax3+cx 所以f'（x）=3ax2+c

依題意曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0

故函數(shù)的解析式為f（x）=4x3-3x

三、利用導(dǎo)數(shù)處理含參數(shù)的恒成立問(wèn)題

例3.求出m的取值范圍，使不等式x4-4x3>2-m對(duì)任意的x都成立。

思路：將含參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極小值，方可確定出參數(shù)的范圍。

解：令f（x）=x4-4x3 則f'（x）=4x3-12x2

再設(shè)f'（x）=0，可求得x=0或x=3，

當(dāng)x<0時(shí) f'（x）<0 當(dāng)03時(shí) f'（x）>0

此時(shí) 函數(shù)f（x）在x=3處有最小值，且最小值f（3）=34-4·33= -27

又f（x）=x4-4x3>2-m成立

所以-27>2-m成立，即可得m>29

四、利用導(dǎo)數(shù)確定方程根的問(wèn)題

例4.確定方程 x3-6x2+9x-10=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)。

解： 令f（x）=x3-6x2+9x-10 ，則f'（x）=3x2-12x+9

∴f'（x）=3（x-1）（x-3）

∴當(dāng)x<1或x>3時(shí) f'（x）>0 ∴ f（x）為增函數(shù)

當(dāng)1

∴f（x）在x=1處有極大值，且極大值 f（1）=-6<0

故f（x）的極大值在x軸的下方，如圖1，所以f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，因此方程 x3-6x2+9x-10=0只有一個(gè)實(shí)根。

參考文獻(xiàn)

[1]張海峰，黃寒凝.導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用分析《中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究》2011年第9期

[2]李朝東.高考檔案——理科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)版）寧夏人民教育出版社.2014年高考備考用書