張永順，葛啟超，丁姍姍

?

陣元缺損下的波達(dá)方向估計(jì)算法

張永順1,2，葛啟超1，丁姍姍1

(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院 西安 710051；2. 信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心 西安 710077)

為解決在均勻線陣中陣元降采樣或其他因素引起的陣元損壞導(dǎo)致角度估計(jì)精度下降的問(wèn)題，該文對(duì)缺損的采樣數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行Hankel矩陣變換，利用Hankel矩陣變換的性質(zhì)以及矩陣填充理論，將不滿(mǎn)足矩陣填充理論的接收數(shù)據(jù)矩陣變換為適用于矩陣填充理論的數(shù)據(jù)矩陣，通過(guò)不定增廣拉格朗日乘子法精確重構(gòu)出完整的接收數(shù)據(jù)矩陣，實(shí)現(xiàn)了精確的波達(dá)方向估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在均勻線陣陣元出現(xiàn)損毀的情況下，仍能實(shí)現(xiàn)對(duì)角度的精確估計(jì)，同時(shí)給出了算法隨陣元缺損程度變化的性能變化趨勢(shì)。

矩陣填充; Hankel矩陣; 不定增廣拉格朗日乘子法; 波達(dá)方向估計(jì)

隨著陣列天線廣泛應(yīng)用于軍事領(lǐng)域，陣列信號(hào)處理技術(shù)得到了迅速地發(fā)展，波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)作為陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要組成部分，得到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注。經(jīng)過(guò)幾十年的不斷研究，先后提出了如多重信號(hào)分類(lèi)(multiple signal classification, MUSIC)算法這類(lèi)子空間類(lèi)算法以及其他算法[1-3]。但隨著陣列規(guī)模的不斷增加，整個(gè)信號(hào)處理過(guò)程處理的數(shù)據(jù)量不斷增加，使得算法的實(shí)時(shí)性變差，因此，人們?cè)谔綔y(cè)少量目標(biāo)時(shí)常常會(huì)關(guān)閉部分陣元進(jìn)行陣元降采樣以降低運(yùn)算復(fù)雜度，但是會(huì)降低角度估計(jì)精度。同時(shí)，隨著陣列規(guī)模的擴(kuò)大，提高了陣元損壞的概率，一旦陣元出現(xiàn)損壞，將會(huì)影響系統(tǒng)的角度估計(jì)精度。這兩種情況可認(rèn)為是相應(yīng)位置上的陣元出現(xiàn)缺損，陣元接收數(shù)據(jù)未知，傳統(tǒng)估計(jì)未知采樣數(shù)據(jù)的方法如內(nèi)插和學(xué)習(xí)[4-5]方法過(guò)于依賴(lài)先驗(yàn)知識(shí)，限制了在實(shí)際中的應(yīng)用，如何解決這類(lèi)問(wèn)題成為了目前的研究熱點(diǎn)。

文獻(xiàn)[6-7]提出的矩陣填充(matrix completion, MC)理論利用矩陣少量的已知元素，通過(guò)對(duì)矩陣低秩性的約束可精確重構(gòu)出原始矩陣。MC理論廣泛應(yīng)用于雷達(dá)成像[8]、多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)體制雷達(dá)[9]以及波達(dá)方向估計(jì)中[10-11]，并取得了大量富有成效的成果。但在實(shí)際處理過(guò)程中，對(duì)陣元的降采樣或可能出現(xiàn)的陣元損壞會(huì)導(dǎo)致接收數(shù)據(jù)矩陣的某一行上缺失全部數(shù)據(jù)，而傳統(tǒng)的MC方法要求采樣矩陣的每一行或每一列至少有一個(gè)非零元素，以保證準(zhǔn)確恢復(fù)出原始的接收數(shù)據(jù)矩陣。因此，文獻(xiàn)[11]將單次快拍下接收到的列向量數(shù)據(jù)變換為等效低秩矩陣，通過(guò)MC理論有效地恢復(fù)了原始數(shù)據(jù)，但由于僅利用單次觀測(cè)數(shù)據(jù)，估計(jì)精度較低，而且系統(tǒng)自由度受到陣元數(shù)量的限制，限制了其在實(shí)際中的應(yīng)用。

本文對(duì)均勻線陣陣元缺損位置的接收數(shù)據(jù)做置零處理，使接收數(shù)據(jù)矩陣出現(xiàn)全零行，將接收數(shù)據(jù)矩陣每一列變換成一個(gè)Hankel矩陣，并將所有生成的Hankel矩陣構(gòu)成一個(gè)二重塊Hankel矩陣，獲得一個(gè)全新的數(shù)據(jù)矩陣。通過(guò)對(duì)變換后的矩陣進(jìn)行填充恢復(fù)，再通過(guò)反變換獲得完整的接收數(shù)據(jù)矩陣，因此，實(shí)現(xiàn)了在陣列接收存在陣元缺損的情況下，獲得了高精度的角度估計(jì)值。

1 陣列信號(hào)接收模型

由式(1)可知，在理想情況下當(dāng)同時(shí)接收個(gè)信源目標(biāo)的信號(hào)時(shí)有：

(2)

可簡(jiǎn)寫(xiě)式(2)為：

由于個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶目標(biāo)相互獨(dú)立，可知：

(5)

對(duì)于多次快拍的情況，則有：

(7)

由式(6)可知：

因此，本文認(rèn)為陣列天線接收到的數(shù)據(jù)矩陣是低秩的；一般情況下，在接收信號(hào)時(shí)會(huì)有一定的噪聲進(jìn)入，一般表示為：

(9)

當(dāng)存在噪聲時(shí)，一般認(rèn)為數(shù)據(jù)矩陣滿(mǎn)足近似低秩性，仍然適用MC理論[12]。

2 基于Hankel矩陣變換的矩陣填充算法在DOA估計(jì)中的應(yīng)用

2.1 矩陣填充基本模型

由于數(shù)據(jù)矩陣的低秩性，當(dāng)滿(mǎn)足強(qiáng)不相干性[12](strong incoherence property, SIP)條件時(shí)，可通過(guò)最小秩約束利用已知元素求解出唯一存在的原始矩陣，這個(gè)約束優(yōu)化問(wèn)題可表示為：

(11)

或

不定增廣拉格朗日乘子法[14](inexact augmented Lagrange multiplier, IALM)相對(duì)于經(jīng)典的奇異值閾值(singular value thresholding, SVT)算法[7]穩(wěn)定性更好、運(yùn)算量更小，因此，本文選擇使用IALM算法對(duì)數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行重構(gòu)恢復(fù)。算法的具體步驟和參數(shù)選擇見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。

2.2 Hankel矩陣變換

定義一個(gè)二重塊Hankel矩陣結(jié)構(gòu)，如：

(14)

綜上，本文提出的算法可總結(jié)如下：

1) 對(duì)接收到的數(shù)據(jù)矩陣在陣元缺損位置做置零處理，獲得數(shù)據(jù)矩陣，并將變換成具有式(14)形式的二重塊Hankel矩陣；

3) 通過(guò)反變換獲取完整的接收數(shù)據(jù)矩陣；

4) 利用MUSIC算法估計(jì)出信源目標(biāo)角度。

2.3 性能分析

定理1[16]：矩陣為具有形式(14)的維矩陣，為一個(gè)大小為的隨機(jī)位置矩陣，假設(shè)參數(shù)為小于0.1的正常數(shù)，則存在一個(gè)只與相關(guān)的正常數(shù)，當(dāng)：

(17)

3 仿真與分析

為簡(jiǎn)化仿真，將對(duì)陣元的隨機(jī)降采樣等效為陣元出現(xiàn)的隨機(jī)缺損。仿真條件設(shè)置為：均勻線陣的陣元數(shù)，陣元間距為半波長(zhǎng)，采樣快拍數(shù)，設(shè)蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100次。

仿真1 為直觀比較驗(yàn)證本文算法的有效性，設(shè)陣列分別接收來(lái)自10°、13°和65° 3個(gè)不相干的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶目標(biāo)信號(hào)，功率經(jīng)單位化后分別為1.5、1和2，信噪比為20 dB，隨機(jī)關(guān)閉陣列中的8個(gè)陣元。仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 隨機(jī)陣元降采樣下的DOA估計(jì)

由圖1可知：直接對(duì)陣元降采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行矩陣填充處理后再做DOA估計(jì)與直接用陣元降采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA估計(jì)效果類(lèi)似，說(shuō)明此時(shí)MC理論失效；而本文算法通過(guò)對(duì)降采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行變換后再進(jìn)行MC處理，得到的DOA估計(jì)結(jié)果近似于利用完整的陣列接收數(shù)據(jù)直接DOA估計(jì)的結(jié)果，獲得的空間譜峰值明顯高于直接利用陣元降采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA估計(jì)的情況，角度的分辨率更高，明顯提高了陣元降采樣時(shí)DOA估計(jì)的精度，而且對(duì)于多目標(biāo)信源功率變化時(shí)仍能有效估計(jì)出多個(gè)目標(biāo)信源的角度信息。

仿真2 為考慮信噪比的變化對(duì)估計(jì)性能的影響，設(shè)陣列天線接收來(lái)自45°的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，信噪比以3 dB為間隔、在區(qū)間[-7 dB，21 dB]內(nèi)變化，其余條件設(shè)置同仿真1。由于對(duì)缺損數(shù)據(jù)直接進(jìn)行矩陣填充處理是失效的，因此在仿真2中不考慮這一情況，利用角度估計(jì)的均方根誤差來(lái)反映角度估計(jì)性能的變化[17]，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 算法性能隨信噪比的變化曲線

由圖2不難發(fā)現(xiàn)：隨著信噪比的不斷增大，3種情況下算法的估計(jì)精度均越來(lái)越高；本文算法和完整的接收數(shù)據(jù)直接進(jìn)行DOA估計(jì)性能相近，均優(yōu)于直接利用陣元降采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA估計(jì)的性能，進(jìn)一步說(shuō)明了本文算法的有效性。

仿真3 為考慮可用陣元數(shù)對(duì)陣列角度估計(jì)性能的影響，在仿真中設(shè)陣元缺損數(shù)量從0～16以2為間隔依次增加，信噪比設(shè)定為-5 dB，信號(hào)入射方向?yàn)?5°，以同等陣元數(shù)的均勻線陣的性能為對(duì)比，利用角度估計(jì)的均方根誤差來(lái)反映角度估計(jì)性能的變化。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同陣元數(shù)時(shí)角度估計(jì)的性能

由圖3可以看出：隨著可用陣元數(shù)目的降低(陣列缺損陣元數(shù)不斷增加)，系統(tǒng)角度估計(jì)性能不斷下降。陣列存在陣元缺損時(shí)導(dǎo)致可用陣元數(shù)減少，但經(jīng)本文算法處理后仍能獲得等效的完整陣列，陣列孔徑明顯優(yōu)于相同可用陣元數(shù)的均勻線陣，因此，存在陣元缺損的陣列通過(guò)本文算法獲得的角度估計(jì)性能明顯高于相同可用陣元數(shù)的均勻線陣。因此，在實(shí)際使用中，可以采用陣元降采樣的方式估計(jì)目標(biāo)角度，在保證獲取足夠精度的同時(shí)，提高系統(tǒng)的利用效率。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種陣元缺損情況下精確DOA估計(jì)的新方法，通過(guò)對(duì)陣元缺損位置接收數(shù)據(jù)的置零處理，利用Hankel矩陣變換的性質(zhì)，將不滿(mǎn)足SIP條件的接收數(shù)據(jù)矩陣變換為滿(mǎn)足SIP條件的新矩陣，再通過(guò)MC理論精確重構(gòu)出了完整的接收數(shù)據(jù)矩陣，最終獲得了陣元缺損情況下的精確DOA估計(jì)。本文所提方法適用于多種信號(hào)模型，如何解決算法在二維角度估計(jì)、相干源目標(biāo)以及非均勻線陣情況下的應(yīng)用是下一步需要解決的問(wèn)題。

[1] 丁姍姍, 張永順, 牛超, 等. 一種基于Khatri-Rao子空間的非均勻稀疏陣列[J]. 空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 2015, 16(5): 78-82.

DING Shan-shan, ZHANG Yong-shun, NIU Chao, et al. A novel sparse linear array geometry via Khatri-Rao subspace [J]. Journal of Air Force Engineering University (Natural Science Edition). 2015, 16(5): 78-82.

[2] YAN F, JIN M, LIU S, et al. Real-valued music for efficient direction estimation with arbitrary array geometries[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2014, 62(6): 1548-1560.

[3] 梁浩, 崔琛, 代林, 等. 基于ESPRIT算法的L型陣列MIMO雷達(dá)降維DOA估計(jì)[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2015, 37(8): 1828-1935.

LIANG Hao, CUI Chen, DAI Lin, et al. Reduced- dimensional DOA estimation based on ESPRIT algorithm in MIMO radar with L-shaped array[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2015, 37(8): 1828-1935.

[4] LARSSON E G, STOICA P. High-resolution direction finding: the missing data case[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2001, 49(5): 950-958.

[5] VIGNESHWARAN S, SUNDARARAJAN N, SARATCHANDRAN P. Direction of arrival estimation under array sensor failures using a minimal resource allocation neural network[J]. IEEE Trans on Antennas and Propagation, 2007, 55(2): 334-343.

[6] CANDàS E J, RECHT B. Exact matrix completion via convex optimization[J]. Foundations of Computational Mathematics, 2008, 9(6): 717-772.

[7] CANDàS E J, SING-LONG C A, TRZASKO J D. Unbiased risk estimates for singular value thresholding and spectral estimators[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2013, 61(19): 4643-4657.

[8] YANG D, LIAO G, ZHU S, et al. SAR imaging with undersampled data via matrix completion[J]. IEEE Geoscience & Remote Sensing Letters, 2014, 11(9): 1539 -1543.

[1] SUN S, BAJWA W U, PETROPULU A P. MIMO-MC radar: a MIMO radar approach based on matrix completion[J]. IEEE Trans on Aerospace & Electronic Systems, 2014, 51(1): 1-13.

[2] WANG M, WANG W. DOA estimation of array radar via random interval sub-Nyquist-sampling[C]//IEEE International Conference on Signal Processing, Communication and Computing. Kunming: IEEE, 2013: 1-4.

[3] 楊東, 廖桂生, 朱圣棋, 等. 陣列信號(hào)降采樣低秩矩陣的恢復(fù)方法[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 41(5): 30-35.

YANG Dong, LIAO Gui-sheng, ZHU Sheng-qi, et al. Improved low-rank recovery method for sparsely sampling data in array signal processing[J]. Journal of Xidian University, 2014, 41(5): 30-35.

[4] CANDàS E J, PLAN Y. Matrix completion with noise[J]. Proc of the IEEE, 2010, 98(6): 925-936.

[5] CHEN Y, XU H, CARAMANIS S, et al. Matrix completion with column manipulation: near-optimal sample-robustness-rank tradeoffs[J]. IEEE Trans on Information Theory, 2016, 62(1): 503-526.

[6] EITANTAWY A, SHEHATA, MOHAMED S. Moving object detection from moving platforms using Lagrange multiplier[C]//IEEE International Conference on Image Processing. Québec, Canada: IEEE, 2015: 2586-2590.

[7] 馬曉慧. 矩陣填充理論方法分析[D]. 杭州: 浙江大學(xué), 2012.

MA Xiao-hui. Method analysis of matrix completion theory[D]. Hangzhou: Zhejiang University, 2012.

[8] CHEN Y, CHI Y. Robust spectral compressed sensing via structured matrix completion[J]. IEEE Trans on Information Theory, 2014, 60(10): 6576-6601.

[9] 葛啟超, 張永順, 丁姍姍. 用于二維角度估計(jì)的新型陣列結(jié)構(gòu)及性能分析[J]. 空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 17(1): 60-65.

GE Qi-chao, ZHANG Yong-shun, DING Shan-shan. Novel array structure and performance analysis for 2-D angle estimation[J]. Journal of Air Force Engineering University (Natural Science Edition), 2016, 17(1): 60-65.

編 輯 稅 紅

A Novel DOA Estimation Algorithm in Conditions of Array Elements Deficiency

ZHANG Yong-shun1,2, GE Qi-chao1, and DING Shan-shan1

(1. Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University Xi’an 710051; 2. Collaborative Innovation Center of Information Sensing and Understanding Xi’an 710077)

In order to solve the accuracy decrease in angle estimation caused by the undersampling or the damage of the array elements in the uniform linear array, the matrix completion theory and Hankel matrix characteristic are exploited to transform the undersampling data matrix into a two-fold Hankel matrix. The completed data matrix is reconstructed by inexact augmented Lagrange multiplier method and the accurate angle estimation is achieved. Simulation results demonstrate that the proposed method is still effective with damaged and missing elements and show the tendency of the proposed method versus the different elements damage of the uniform linear array.

direction of arrival estimation; Hankel matrix; inexact augmented Lagrange multiplier method; matrix completion

TN911.7

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.04.004

2016-04-26；

2017-02-24

國(guó)家自然科學(xué)基金(61372033，61501501)

張永順(1961-)，男，博士，教授，主要從事雷達(dá)陣列信號(hào)處理和雷達(dá)綜合電子戰(zhàn)技術(shù)方面的研究.