王振華，張為元，閆麗宏

(咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000)

【現(xiàn)代應(yīng)用技術(shù)研究】

嵌入式模型在周期性生長問題中的應(yīng)用

王振華，張為元，閆麗宏

(咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000)

研究了野生小麥在發(fā)芽、成長、成熟的整個過程中數(shù)量的變化規(guī)律，并利用嵌入式方法把描述短期內(nèi)連續(xù)變化的微分方程，嵌入到描述長期變化的差分方程中建立了小麥數(shù)量的嵌入式模型。在模型求解過程中，把貝努利方程的解離散化，利用差分方程平衡點的穩(wěn)定性定理，揭示了小麥數(shù)量周期性變化的規(guī)律，討論了平衡點趨于穩(wěn)定、分岔和混沌的條件。

嵌入式模型；周期收斂；平衡點穩(wěn)定性

0 引言

生活中許多東西都是按一定規(guī)律呈周期變化的，比如海洋中魚的數(shù)量、再生資源的周期性收獲、周期性排放污染物對環(huán)境的影響等。本文以秦嶺中的野生小麥為例，研究了植物的周期性生長問題。由于野生小麥種子生長在山中，溫度、水分、日照時間以及土壤質(zhì)量完全由環(huán)境決定，所以它們沒有優(yōu)越的生長條件，一部分麥種無法長出來，隨著時間的推移，一部分長出來的小麥也會因為惡劣的生存條件而被淘汰，剩下的則會生產(chǎn)出新的種子。在新種子成熟的過程中，有一部分會被動物吃掉，幸存下來的種子成熟之后會掉在土里，于是第二個周期又開始了。

表1 模型符號說明

在本文中我們用到嵌入式模型(模型符號見表1)，它把一個個短期內(nèi)描述連續(xù)變化過程的微分方程，嵌入到一個長期的描述離散變化規(guī)律的差分方程中，而那些描述短期演變過程的微分方程在定性上是相同的，只是在定量上參數(shù)與初始條件有所改變，這個模型正好能描述小麥變化的全過程。嵌入式模型的一般式[1-3]為

為了把生產(chǎn)種子這個過程和種子被利用及被環(huán)境淘汰的過程分離出來，我們設(shè)n

1 嵌入式模型的建立與求解

模型1 假設(shè):(1)y(ta)與xn成正比；(2)單位時間內(nèi)y(t)減少的比例與xn成正比；(3)xn+1與y(tb)成正比。根據(jù)假設(shè)條件可以列出如下方程

y(ta)=αxn,

(1)

其中：n

y=ce-(β+θ)xnt。

令t=ta,y=y(ta), 則y(ta)=ce-(β+θ)xnta, 解得c=y(ta)e(β+θ)xnta, 從而

y(t)=y(ta)e(β+θ)xntae-(β+θ)xnt=y(ta)e(β+θ)xn(ta-t)，

(4)

從而

y(tb)=y(ta)e(β+θ)xn(ta-tb)=y(ta)e-(β+θ)xn(tb-ta)。

將(1)(4)式代入(3)式得

xn+1=γαxne-(β+θ)xn(tb-ta)。

令p=γα,q=(β+θ)(tb-ta),則

xn+1=pxne-qxn,(n=0,1,2,…)

(5)

我們用遞推的方法求方程(5)的數(shù)值解。

y(tb)=y(ta)e-(β+θ)xn(tb-ta),

q=(β+θ)(tb-ta)=ln5≈1.6。

若γ分別取0.3×10-1，0.6×10-1，0.9×10-1，1.2×10-1，1.5×10-1代入(5)式可以得到p=γα=3,6,9,12,15，將p,q,x0代入(5)式用遞推的方法可以得到xn。

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)我們可以看出，對于p=3,xn趨向穩(wěn)態(tài)值0.682，即初始值的68%；對于p=6，xn趨向穩(wěn)態(tài)值1.113，即初始值的111%；對于p=9，xn交替地趨向0.683和2.047；對于p=12和p=15,則沒有規(guī)律。

模型2 假設(shè):(1)y(tα)與xn成正比；(2)單位時間內(nèi)y(t)減少的比例與xn+θy成正比；(3)xn+1與y(tb)成正比。根據(jù)上述假設(shè)條件則可以列出如下方程

表2 小麥數(shù)量的周期變化規(guī)律

續(xù)表2

y(ta)=αxn,

(6)

再令P(t)=βxn,Q(t)=βθ, 于是當(dāng)t=ta時，

解得

(9)

將(6)式代入(9)式得到

于是

(10)

將(10)式代入(8)式得到

(11)

令p=γα，q=β(tb-ta)，則(11)式簡化為

xn+1=。 (12)

我們用遞推的方法求方程(12)的數(shù)值解。

于是

-αθ+(1+αθ)eβxn(tb-ta)=10。

把α,θ代入得eq≈1.1,q≈0.1, 若γ分別取0.3×10-2，0.6×10-2，1.2×10-2，1.5×10-2，1.8×10-2，那么p=αγ=3,6,9,15,18，將p,q,x0代入(12)式可以遞推地計算出xn。

由表3中的數(shù)據(jù)可知，對于p=3，xn趨向于穩(wěn)態(tài)值0.218，即初始值的21%；對于p=6，xn趨向于穩(wěn)態(tài)值0.535，即初始值的53%；對于p=9，xn趨向于穩(wěn)態(tài)值0.843，即初始值的84%；對于p=15，xn趨向于穩(wěn)態(tài)值1.431，即初始值的143%；對于p=18,xn趨向于穩(wěn)態(tài)值1.713，即初始值的171%。

2 平衡點及穩(wěn)定性分析

定義1 如果對于某x0，有f(n)(x0)=x0，但對于小于n的自然數(shù)k，有f(k)(x0)≠x0，則稱x0為f的一個n倍周期點。[4]

定義2 如果一個動力系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的，則任意小的適當(dāng)?shù)臄_動都會使系統(tǒng)的拓?fù)浒l(fā)生突然的變化，這種變化稱為分岔。[5]

定義3 對一個確定性動力系統(tǒng)施加確定性的輸入，則該系統(tǒng)的輸出一定是確定的，但對于非線性系統(tǒng)，則可能出現(xiàn)一種貌似隨機、無規(guī)律的運動，人們稱之為混沌。混沌現(xiàn)象不存在n倍周期點。[6]

差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性的概念與微分方程的有關(guān)概念是一致的，例如:一階線性常系數(shù)差分方程[7]

xk+1+axk=b,(k=0,1, …)

(13)

可以用變量代換將方程(12)的平衡點穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)換為

xk+1+axk=0

(14)

的平衡點x*=0的穩(wěn)定性問題，而對于方程(14)，因為其解可表示為

xk=(-a)kx0,(k=1,2,…)

(15)

所以當(dāng)且僅當(dāng)

|a|<1

(16)

時方程(14)的平衡點是穩(wěn)定的，從而方程(13)的平衡點也是穩(wěn)定的。

一階非線性差分方程

xk+1=f(xk)

(17)

的平衡點x*由代數(shù)方程x=f(x)解出。為分析x*的穩(wěn)定性，將方程(17)的右端在x*點作Taylor展開，只取一次項，(17)式近似為

xk+1=f′(x*)(xk-x*)+f(x*) 。

(18)

(18)式是(17)式的近似線性方程，x*也是(18)式的平衡點。[8]關(guān)于線性方程(18)的穩(wěn)定平衡點的討論已由(13)-(16)式給出，而當(dāng)|f′(x*)|≠1時方程(17)與(18)平衡點的穩(wěn)定性相同。于是當(dāng)|f′(x*)|<1時，對于(17)式，x*是穩(wěn)定的；當(dāng)|f′(x*)|>1時，對于(17)式，x*是不穩(wěn)定的。

現(xiàn)在，根據(jù)差分方程平衡點及穩(wěn)定性的定義，差分方程(5)的平衡點x*滿足x*=px*e-qx*, 解得

(19)

差分方程(5)的平衡點x*穩(wěn)定的條件為

|f′(x*)|<1，f(x*)=px*e-qx*,

|f′(x*)|=|pe-qx*+px*e-qx*(-q)|=|1-lnp|。

所以當(dāng)-1<1-lnp<1，即1e2時，x*不穩(wěn)定。由以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)xn是否穩(wěn)定只取決于p而與q無關(guān)，根據(jù)以上分析，當(dāng)p=3和p=6 時，xn最終會穩(wěn)定下來，當(dāng)p=9時，xn是2倍周期穩(wěn)定的，系統(tǒng)出現(xiàn)分岔現(xiàn)象。當(dāng)p=12和p=15時，xn很難找出什么規(guī)律，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。這個結(jié)果與我們前面的數(shù)值計算結(jié)果是一致的。

為了進一步研究p>7.389時xn的變化情況，應(yīng)該考察方程

xn+2=f(xn+1)=f(2)(xn)。

(20)

其中：f的具體形式由方程(5)給定。所以x1*，x2*是方程(20)的穩(wěn)定平衡點的必要條件為|(f(2)(x))′|x=x1*,x2*<1。即當(dāng)2<λ<2.526 5時上面條件成立。由λ=lnp知2

現(xiàn)在，我們來討論差分方程(12)的平衡點及其穩(wěn)定性。

解得

(21)

將(21)式代入(22)式得

3 結(jié)語

嵌入式模型還適用于將各個周期內(nèi)用微分方程描述的、性質(zhì)上相同的連續(xù)變化規(guī)律，嵌入到長期的用差分方程描述的離散變化過程的問題。除了生物的周期性繁殖現(xiàn)象以外，再生資源的周期性收獲，人們對周期性注入藥物的反應(yīng)、周期性排放污染物的環(huán)境變化等都可以用這種模型研究。

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【責(zé)任編輯牛懷崗】

Abstract: This paper discusses the number change rule of wild wheat in the process of germination, growth and maturity. Furthermore, and it establishes the embedded model of wheat number by putting the differential equation, which describes a continuous change in a short term, into the discrete difference equations with a long-term variation. Finally, the stability of the equilibrium points are discussed. In the process of solving the embedded model, this paper discretizes the solution of the Bernoulli equation using the stability theorem of Equilibrium points for the difference equation, and reveals the periodic variation of wheat quantity, and also the conditions of equilibrium, bifurcation and chaos are discussed

Keywords:embedded model; periodic convergence; equilibrium points stability

TheApplicationofEmbeddedModelforCyclicalGrowthProblems

WANG Zhen-hua, ZHANG Wei-yuan, YAN Li-hong

(School of Mathematics and Information Science, Xianyang Normal University, Xianyang 712000, China)

O175.08

A

1009-5128(2017)20-0047-07

國家自然科學(xué)基金項目：Cayley-Klein幾何及相應(yīng)的相似幾何中的曲線運動(11526174)；陜西省自然科學(xué)基金項目：分布參數(shù)時滯復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制研究(2015JM1015)；陜西省教育廳專項科研項目：基于脈沖控制的分部參數(shù)復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步分析(17JK0824)

2017-03-02

王振華(1974—)，男，陜西咸陽人，咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師，理學(xué)碩士，主要從事系統(tǒng)分析與控制研究。