李量夫

一、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析

（一）本節(jié)內(nèi)容在全書及章節(jié)的地位

《一元微分應(yīng)用之函數(shù)的單調(diào)性和極值》是我?！陡叩葦?shù)學(xué)》第三章的第三，四，五節(jié)。本章內(nèi)容主要分為三個部分：一是微分中值定理，二是洛必達(dá)法則，三是函數(shù)單調(diào)性，極值和最值研究。本節(jié)屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用部分，是本章的重點之一，也是期末考試和考研題中經(jīng)?？疾斓牟糠?。在第二章已經(jīng)學(xué)完了導(dǎo)數(shù)和微分的概念、運算，而且還研究過了三個微分中值定理和泰勒展式，后面是微分在幾何，物理，經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用。

所以本節(jié)在整個章節(jié)中起到了承上啟下的作用。

（二）數(shù)學(xué)思想方法分析

作為一名高校數(shù)學(xué)教師，不僅要把高等數(shù)學(xué)知識傳授給學(xué)生，更重要的是傳授給學(xué)生邏輯思維方法、數(shù)學(xué)意識，自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)的方法。因此本次課在教學(xué)過程中，著力培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、聯(lián)想能力，數(shù)據(jù)挖掘能力等。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和發(fā)散性思維；注重培養(yǎng)學(xué)生制作幾何圖形，通過直觀的圖形去解決問題的思維過程，如函數(shù)的單調(diào)性可用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來表示，函數(shù)的凹凸性用二階導(dǎo)數(shù)來表示等等，學(xué)會用數(shù)學(xué)方式思考問題，解決問題。學(xué)會數(shù)學(xué)建模的一般方法。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征 ，我制定如下教學(xué)目標(biāo)：

（一）基礎(chǔ)知識目標(biāo)。掌握閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，極值可能在哪些點取得，即極值存在的充分條件，必要條件；會利用單調(diào)性，凹凸性畫圖和求極值、最值。

（二）能力訓(xùn)練目標(biāo)。培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、構(gòu)造、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)學(xué)建模等能力，學(xué)會通過建立幾何圖形直觀解決問題的方法，學(xué)會挖掘數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系和區(qū)別，學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)。

（三）情感目標(biāo)。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的過程中體驗到把數(shù)學(xué)知識可視化，把實際問題轉(zhuǎn)化為可利用資源的成就感，認(rèn)識到世界上任何事都可為，要做好卻要認(rèn)真對待，付出艱辛勞動的道理。

三、教學(xué)重點、難點、關(guān)鍵

本節(jié)的重點是利用函數(shù)的一，二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。難點在于把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，和利用函數(shù)圖形解決實際問題。

下面為了講清重點、難點，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，再從教法和學(xué)法上談?wù)劊?/p>

（一）教法

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維能力的重要學(xué)科，因此在教學(xué)過程中，不僅要使學(xué)生“知其然，知其所以然”，更重要的是學(xué)會思考問題、解決問題的方式和方法。為了遵循大學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進(jìn)與啟發(fā)式的教學(xué)原則，我進(jìn)行了多種教法設(shè)計和嘗試，在教師和同學(xué)的互相引導(dǎo)下，模擬當(dāng)時的情景，通過同學(xué)們自己學(xué)習(xí)，互相提問以及開放性問題的設(shè)置來引導(dǎo)學(xué)生思考，在思考中體會社會實踐的多樣性和數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)謹(jǐn)性和開放性，使同學(xué)們獲得從表象中挖掘發(fā)現(xiàn)真相真理的成就感，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)對學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的認(rèn)同感。

（二）學(xué)法

我們常說“現(xiàn)代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學(xué)習(xí)方法的人?！币蚨诮虒W(xué)中要特別重視學(xué)法的指導(dǎo)，讓同學(xué)們從被動接受，轉(zhuǎn)化為自主研究自主學(xué)習(xí)。隨著《高等數(shù)學(xué)》課程改革的深入開展，在課時逐漸壓縮的大背景下，轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式必將是本次課程改革的重點之一。課程改革的具體目標(biāo)之一是“改變教學(xué)實施過程中，過于強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)知識、要求知識的無錯再現(xiàn)、題海戰(zhàn)術(shù)的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生積極主動參與社會實踐、樂于探究挖掘數(shù)據(jù)中隱藏信息、勤于動手學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理數(shù)據(jù)的能力、獲取新知識的方法和能力、分析和解決實際問題的能力以及交流與合作的能力”。

轉(zhuǎn)變大學(xué)生學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的方法和方式，不僅有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、綜合能力，為以后的科學(xué)研究做準(zhǔn)備，而且有利于促進(jìn)學(xué)生群體學(xué)習(xí)知識、運用知識方式的轉(zhuǎn)變。由原來學(xué)知識，做習(xí)題變成現(xiàn)在研究問題，找數(shù)學(xué)原理和專業(yè)知識學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變。我以書本中的例題為出發(fā)點，輔以數(shù)學(xué)理論知識，通過多媒體和現(xiàn)代通訊手段，再現(xiàn)情景等偏重于探索研究的教學(xué)方法，結(jié)合師生共同討論、歸納等多種方式來實現(xiàn)本章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

我再具體談一談這堂課的教學(xué)過程。

四、教學(xué)程序及設(shè)想

（一）從生活實踐中引入概念，進(jìn)一步觀察歸納形成定義

一個長期困惑的問題——我們的學(xué)生為什么對數(shù)學(xué)缺乏興趣，甚至畏懼?jǐn)?shù)學(xué)，我想其中的一個重要原因是，我們把數(shù)學(xué)的位置放的太高，認(rèn)為《高等數(shù)學(xué)》是“陽春白雪”，高不可攀，認(rèn)為數(shù)學(xué)在生活實際中用不上。事實上，高等數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，只有兩者融合起來，從生活實踐出發(fā)，利用已有的知識，去發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、然后用數(shù)學(xué)知識解決問題，才能達(dá)到事半功倍的效果。

1.例如我們可以用看得見的山峰、山谷的方式引入極大值、極小值、極值、極值點等概念，直觀貼切，易于理解。

2.還可以借助多媒體再現(xiàn)函數(shù)圖像，指出極值點，培養(yǎng)學(xué)生繪圖，利用數(shù)形結(jié)合的方法來學(xué)習(xí)。

（二）互相探討研究，深入理解極值概念

在這里通過兩個函數(shù)圖象使學(xué)生更加明確了極值和極值點只是在鄰域內(nèi)考慮。不同鄰域內(nèi)，極大值和極小值無可比性，極值和最值間的區(qū)別和聯(lián)系。

（三）尋找充分條件和必要條件

先給出必要條件，再給出充分條件，然后討論兩者的區(qū)別和作用。進(jìn)一步給出求極值的步驟，列表或者畫出圖形，最后探討總結(jié)最值取值的可能范圍。這樣的好處在于，加深函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)在求極值中的作用。最后的求最大值和最小值的步驟，有了前面圖像的繪制和實際問題的背景，學(xué)生可以自行歸納總結(jié)。

（四）課后習(xí)題練手，鞏固知識

書中的例題4求解多項式的最值問題，包括了求函數(shù)極值、繪制函數(shù)的圖象以及討論閉區(qū)間最值問題等多個部分。一個例題很好的綜合了這一節(jié)課的大部分內(nèi)容，而且多項式函數(shù)的求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、符號判斷問題都相對簡單，所以這里安排這樣一個例題是明智的。學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識在這里得到了有效的應(yīng)用，而且操作簡單，可行性高，給學(xué)生以信心。

（五）進(jìn)一步深入探討，提高認(rèn)知能力

在第四節(jié)中，作者提出了實際生產(chǎn)生活中求最值的方法和步驟，判斷最值的通用方法。并給出三個實際應(yīng)用的例子，每一個例子都有其深刻的含義，都有信息可以挖掘?？梢酝ㄟ^小組討論或同學(xué)講授，大家提問的形式，深入挖掘例題所包含的深意。

（六）課后教學(xué)延續(xù)，留下自主探究空間

最后，我把課后的一個習(xí)題拿出來討論，甲乙共用變壓器，如何設(shè)置變壓器的位置，使得用料最省。其目的是為了引入“數(shù)學(xué)建?！?， 介紹數(shù)學(xué)建模的一般方法和思維方式，讓同學(xué)在潛移默化中“把數(shù)學(xué)思想用于生產(chǎn)生活實踐，或者把生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型”。使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用有了更深的理解，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性。當(dāng)然我注意了到了循序漸進(jìn)的原則，使學(xué)生既鍛煉了綜合學(xué)習(xí)的能力，又不至于“跳一跳也夠不到”。

以上，我給出了《一元微分應(yīng)用之函數(shù)單調(diào)性和極值》一課中的講課設(shè)計方案，不當(dāng)之處還請各位老師指正。