走出概念教學的四個誤區(qū)

鄭璘玲

數(shù)學概念是客觀世界中的數(shù)量關系和空間形式及其本質屬性在人的思維中的反映，它摒棄了事物的表面屬性。小學數(shù)學概念教學必須順應小學生掌握數(shù)學概念的直觀感知—形成表象—抽象特征—內化概念的認知規(guī)律，讓學生親身經歷數(shù)學知識的抽象與概括過程，去偽存真，由表及里，將感性認識轉化為理性認識。由于一些教師對概念教學的理解不到位，把握不住教材中數(shù)概念與形概念的呈現(xiàn)特點，常常陷入重結論輕過程、重內涵輕外延、重抽象輕表象、重實物輕語言的誤區(qū)。結果是教師糊涂教，學生糊涂學，直接影響了學生的數(shù)學建構和今后的數(shù)學學習。筆者愿拋磚引玉，結合自身教學實踐，以人教版《數(shù)學》三年級下冊“什么是面積”一課為例談一談如何正確認識數(shù)學概念教學的價值以及應對概念教學中存在問題的策略，實現(xiàn)概念的價值回歸。

一、找原型，促感知，引入概念

小學階段是學生進行數(shù)學學習的開始，學生認知水平、思維水平處于發(fā)展的起步階段，對具體形象思維還有依賴，抽象邏輯思維還不成熟。教師如果沒有提供足夠的感性材料作為支撐，學生既沒有經歷抽象過程，又沒有經歷用自己的語言嘗試概括的過程，任何抽象化和形式化只能使學生走進死記硬背的死胡同。這樣的背誦記憶只是機械識記，對概念的理解只能停留在表面，是暫時的，并沒有觸及本質。這種淡化概念形成過程的數(shù)學，只能使數(shù)學營養(yǎng)盡失，事倍功半。

上好概念教學課，首先要重視概念形成過程，加強過程性教學。筆者在教學此課時，從課前了解到學生對于“面積和面積單位”概念的生活經驗只是略有所知，只有少數(shù)的學生在家長買房時曾零碎地聽說過面積、平方米等詞語，對面積這個概念的內涵和外延卻知之甚少，生活經驗積累不多。緣于認知經驗的欠缺，筆者“乘勢而上”，先從長度的復習引入新課，繼而引出面，再利用學生身邊的直觀教具，以常見的正方形、長方形和圓為感性材料，創(chuàng)設一定的數(shù)學情境，直觀感性地告訴學生這些封閉圖形的內部區(qū)域是可以度量的。再通過動手“印”和“刷”，“印”出圓柱體的底面，“刷”出正方形和長方形的面，建立良好的空間觀念，感知物體表面或者封閉圖形的大小就是我們要學習的面積。為了加深學生對面和面積的認識，筆者讓學生動眼、動手、動腦，調動他們的視覺、聽覺、觸覺等多種感官，觀察、比較教室里的地面、天花板和黑板，悟出物體的面在生活中無處不在，而且形狀各異，有大有小。這樣，學生就完成了新舊知識的過渡，增強了感知效果，循序漸進地理解了兩個不同的概念。實踐證明，直觀幾何是一種經驗幾何，直覺判斷是一種由直覺思維引起的主體認知過程，能讓學生根據對事物的生動直覺，不經過完整的推理而直接頓悟出結論，快速把握事物的本質特征和規(guī)律。

“活動是認識的基礎，智慧從動手開始?！敝挥谐浞指兄?，才能較好地形成概念的表象。動手操作并不是學習數(shù)學的目的，而是解決問題的策略。以問題驅動，設計多種活動讓學生參與，幫助學生帶著思辨進行操作，伴隨著質疑、判斷、比較、選擇、分析、綜合、概括，讓學生從外顯走向內隱，探究明理，并借助圖形等中介，促進操作經驗內化，幫助學生建立起半直觀半抽象的表象，從而建構出清晰的數(shù)學概念。

二、依感知，建表象，形成概念

感知直觀素材，建立表象，雖然只是對事物表面現(xiàn)象與外部特征的認識，即感性認識，但是對于學生掌握概念來說是極其重要的。從直觀感知到抽象出概念，離不開建立表象這一中間環(huán)節(jié)。學生的感性認識越豐富，表象就越清晰，想象就越生動，理解和掌握概念也就越容易。表象作為抽象的基礎是不可或缺的橋梁，意義不言而喻。

面積比起長度來，確實給學生造成了不少的麻煩，課上一半，有的同學仍然半信半疑。為了幫助大家吃透面積這個概念，筆者在引導學生根據直觀材料產生表象的同時，讓學生對所形成的表象做出適當?shù)募庸?、提升、整理和概括，進行初步變換，形成概念。課上，筆者準備了一張方格紙、一些小正方形，還有剪刀，讓學生親自動手剪，比一比兩個周長都是18的正方形和長方形，它們的面積誰大誰小。擺放3×6的長方形用了18塊小正方形，擺放2×7的長方形需要14塊，而擺放1×8的長方形只用了8 塊。通過實踐，讓學生直觀感知：兩個周長相等的封閉圖形，它們的面積不一定相等。顯而易見，動手操作、合作學習是學生進行探索學習、建立表象的好方法。通過動手，巧妙地運用發(fā)現(xiàn)的手法，由淺入深地和學生一起共同經歷了操作感知—建立表象—形成概念的過程。再經歷層層遞進的體驗和反思活動，反復比較、類比，抽象出“如果周長一定，當長方形的長與寬的差越大時，面積會越小”。幫助學生逐步豐富和建構對面積本質意義的理解，厘清概念、明確不同，盡可能讓學生經歷情境—表象—內涵—符號的抽象之旅，體驗數(shù)學思維之美。

三、抓內涵，用變式，掌握概念

數(shù)學概念是整個數(shù)學知識結構的基礎。任何一個概念都包含了內涵和外延。概念教學不僅要深入理解概念的內涵，還要“內”“外”兼修，明確它的外延。有的教師認為只要揭示了某個數(shù)學概念的內涵，學生就明確了這個數(shù)學概念的全部，從而忽視了數(shù)學概念外延的教學，這是大錯特錯的。

課上，有位同學說，“因為長方形的寬拉長一點，長就變得短一些，這樣一直變下去，長方形就有可能變成正方形，所以說它們的周長相等，面積也就相等?！边@位學生顯然是混淆了周長、面、面積的概念。

周長、面和面積是三個不同的概念。周長是封閉圖形一周的長度，面是指有長有寬而沒有厚度的一種行跡，而面積是指一個物體表面或平面圖形所圍成的區(qū)域的測度。如果課堂上教師用如此抽象的語言給出定義，三年級的學生多數(shù)會“丈二和尚模不著頭腦”。然而，三年級的學生又容易把這三個概念等同起來，怎么辦呢？為了解決這個問題，筆者順水推舟拿出一個邊長為9厘米的正方形和一個長為15厘米，寬為3厘米的長方形。讓大家動手計算，得出它們的周長都是36厘米。然后把它們疊在一起，這樣正方形多出來的部分顯然比長方形多出來的部分大，讓學生通過這個例子正面感知周長相等的長方形和正方形，它們的面積有大有小。endprint

概念教學還要舉反例，因為數(shù)學概念的反例可以傳遞出最有利于學生辨別的信息。接著筆者又讓學生用16塊邊長相等的小正方形組合成不同的正方形或長方形。有排成4×4的正方形的，也有排成2×8和1×16兩種長方形的。正因為這些圖形用的小正方形數(shù)都一樣，它們的面積都是16。再請一位同學來當助手按一按，老師用繩子沿著這些正方形和長方形的邊把它們圍起來，首尾相接，然后去比較它們的周長。通過一番探究，從反面得出面積相等的長方形和正方形，它們的周長也是不同的。

為了突出概念的外延，筆者又采用變式教學。因為變式例證具有“形變而質不變”的性質，運用變式例證，既可以使學生更深入地理解概念的內涵，又可以使學生更好地明確概念的外延。長方形的內涵是兩組對邊相等，四個角都是直角，其周長等于長與寬的和的2倍，面積等于長與寬的積。立足于“形”，長方形的外延包括正方形、平行四邊形和菱形；立足于面，長方形的外延是周長與面積。于是筆者放手讓學生分組合作交流，用方格紙畫出三個面積等于7個小正方形面積的不同圖形來，讓學生接受挑戰(zhàn)。筆者還通過解決實際問題，根據兩個不同概念的已知數(shù)，輪番去求出其他的量。并嘗試將多個相同的正方形拼成一個新的長方形，感知它的周長變短了。不斷地強化概念與概念之間的辨析，厘清周長、面和面積的差別與聯(lián)系，牢牢地抓住各個概念的本質屬性，引導學生正確描述概念或給概念下定義。

四、抓練習，會表達，應用概念

有人把數(shù)學比作大廈，概念則是建廈之磚。從某種意義上說，數(shù)學教學就是概念教學。再者，數(shù)學概念的定義有下定義和描述式定義兩種不同的方式。而在小學數(shù)學階段，許多數(shù)學概念都是用描述性語言來表述的。數(shù)學語言的規(guī)范表達是學生數(shù)學素養(yǎng)的“睛雨表”和“溫度計”。與其他數(shù)學知識的教學一樣，在概念教學中，教師從圖形直觀認識教學開始就要重視引導學生進行數(shù)學語言表達能力的訓練，并貫穿教學全過程，逐步引導學生實現(xiàn)生活語言到數(shù)學語言的轉化，學會抽象概括，學會透過表面看到實質，學會用自己的語言描述概念的定義或者解釋某一數(shù)學原理，加深對數(shù)學概念的理解，牢固掌握數(shù)學原理。

課后，筆者特意選擇了三年級兩個班110名學生進行后測，要求學生獨立思考完成調查試卷。

不難發(fā)現(xiàn)，課后仍有7.2%的學生對面積的概念存在錯誤認知，有回答長方形面積=6×8=48米。有的給一塊長40 厘米，寬30厘米的玻璃框加木框，至少需要1200厘米長的木條，玻璃的面積是140平方厘米。在回答“什么叫面積？”時，有的說“面積是指一個物體的長度”，面積與長度相混淆，分不清周長與面積。從表面上看是學生對面積公式理解不到位，實際上是對面積和面積單位的概念理解不透造成的。能用規(guī)范的數(shù)學語言來表達的只有17人，大多數(shù)學生對“面積”的概念有一定的認識，還不能用語言清晰地表達出來。比如， 有的說“一個物體表面的大小”“占地的大小”“一個圖形面的大小”“周長里面的哪些部分是面積”等，從語言表達來看，有的學生對“面積”的概念是能意會的，但無法準確言傳。因此，教師要從概念基本要素入手，貫穿于學生直觀感知、具體概括、抽象分析和判斷推理等思維全過程，將學生的內部語言轉化為規(guī)范語言，逐步脫去那層不規(guī)范、不科學的外衣，梳理知識之間的縱橫聯(lián)系，學會用規(guī)范語言描述概念，經歷嘗試描述—揭示概念的過程，牢固地建立數(shù)學概念的認知結構。

總而言之，教學有法，教無定法。以上教學模式決非“萬能”不變的，不應機械、教條地對待，更不要刻板地套用。一定要根據數(shù)學教學的實際內容和學生的認知狀況，靈活把握，走出誤區(qū)。

[責任編輯：陳國慶]endprint