強(qiáng)π-正則斜群環(huán)的一些性質(zhì)

高艷艷

(南京工程學(xué)院 數(shù)理部, 江蘇 南京 211167)

強(qiáng)π-正則斜群環(huán)的一些性質(zhì)

高艷艷

(南京工程學(xué)院 數(shù)理部, 江蘇 南京 211167)

設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán).設(shè)x∈R，若存在y∈R和正整數(shù)n，使得xn=yxn+2(xn=xn+1y)，則稱x是左(右)π-正則元.如果x既是左π-正則元又是右π-正則元，則稱x是強(qiáng)π-正則元.若環(huán)R中的每一個(gè)元素都是強(qiáng)π-正則元，則稱R是強(qiáng)π-正則環(huán).給出了R*θG是強(qiáng)π-正則的充分或必要條件，其中θ是群G到由R的自同構(gòu)所構(gòu)成的群Aut(R)的群同態(tài).

強(qiáng)π-正則; 斜群環(huán);G-素理想

supp(r)={g∈G|rg≠0}.

因此supp(r)是G的一個(gè)有限子集.如果群G中的每個(gè)元素的階都是有限的，則稱為撓群.

對(duì)環(huán)R中的元素x,如果存在y∈R和正整數(shù)n，使得xn=yxn+2(xn=xn+1y)，則稱x是左(右)π-正則元.如果x既是左π-正則的又是右π-正則的，則稱x是強(qiáng)π-正則元.如果R中的每一個(gè)元素都是左(右)π-正則元，那么R稱為左(右)π-正則環(huán).環(huán)R稱為強(qiáng)π-正則環(huán)如果環(huán)R中的每一個(gè)元素都是強(qiáng)π-正則元.由文獻(xiàn)[2]可知，所有右π-正則環(huán)都是左π-正則環(huán)，反之亦然.這種環(huán)就是強(qiáng)π-正則環(huán).易知，一個(gè)強(qiáng)π-正則環(huán)未必是正則環(huán)，反之也不成立.文獻(xiàn)[3-4]給出了強(qiáng)π-正則環(huán)和正則斜群環(huán)的性質(zhì).文獻(xiàn)[5]還給出了群環(huán)成為強(qiáng)π-正則環(huán)的充要條件.

本文研究強(qiáng)π-正則斜群環(huán)的性質(zhì)，得到斜群環(huán)成為強(qiáng)π-正則的充分或必要條件.為了方便，θ還表示由其誘導(dǎo)出的從G到Aut(I)或Aut(R/I)的群同態(tài)，其中I是R的G-不變理想.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)R為環(huán)且假設(shè)R不是右π-正則環(huán)，那么存在x∈R使得對(duì)任意正整數(shù)n和y∈R都有xn≠xn+1y.然后得到一個(gè)R的右理想降鏈

且不會(huì)終止，則R不是Artin環(huán).由此可見(jiàn)Artin環(huán)一定是強(qiáng)π-正則環(huán).

設(shè)R是環(huán)，θ是群G到Aut(R)的群同態(tài).設(shè)I是R的理想，如果對(duì)所有g(shù)∈G，都有g(shù)I?I，那么I稱為R的G-不變理想.

定義1.1環(huán)R的G-不變理想I稱為G-素的，如果I≠R，并且對(duì)R的G-不變理想I1和I2，若I1I2?R，I2I1?I,有I1?I或者I2?I.

定義1.2環(huán)R稱為G-素環(huán)，如果對(duì)R的G-不變理想I和J，若IJ=0,有I=0或者J=0.

命題1.1令θ：G→Aut(R)為群G在環(huán)R上的作用.如果R*θG是素環(huán)，則R是G-素環(huán).

證明任取R的G-不變理想I和J，假設(shè)IJ=0.那么I*θG和J*θG為R*θG的理想，并且

(I*θG)(J*θG)=0.

因?yàn)镽*θG是素的，那么I*θG=0或J*θG=0.顯然有I=0或J=0.因此,R是一個(gè)G-素環(huán).

2 主要結(jié)果

定理2.1設(shè)R為環(huán)，θ為G到Aut(R)的一個(gè)群同態(tài).如果對(duì)R的每個(gè)G-素理想P都有(R/P)*θG是強(qiáng)π-正則的，那么R*θG是強(qiáng)π-正則環(huán).

證明假設(shè)R*θG不是強(qiáng)π-正則的,那么存在x∈R*θG使得對(duì)任意的正整數(shù)n和y∈R*θG都有xn≠xn+1y,則R*θG的右理想鏈

x(R*θG)?x2(R*θG)?…?xn(R*θG)?xn+1(R*θG)?…

不會(huì)終止.令F為R的G-不變理想I的集合，并且有

(x+I*θG)(R*θG/I*θG)?(x+I*θG)2(R*θG/I*θG)?…

(x+I*θG)(R*θG/I*θG)?(x+I*θG)2(R*θG/I*θG)?…

必將終止，與假設(shè)矛盾.因此J∈F，且由Zorn引理可知，F(xiàn)必有一個(gè)極大元M.因?yàn)?/p>

(R/M)*θG?R*θ/M*θG

不是強(qiáng)π-正則的，那么由假設(shè)可知M不是G-素理想.因此存在R的G-不變理想A和B，使得AB?M，而A，BM.令A(yù)′=M+A，B′=M+B.那么A′和B′是G-不變的且M真包含在A′和B′中.當(dāng)然有如下結(jié)論

A′B′=(M+A)(M+B)?M.

由M在F中的極大性知，序列

都將終止.因此存在正整數(shù)m使得

那么對(duì)某個(gè)s,t∈R*θG有

因此

從上式可得存在w∈R*θG使得xm-x2m+1w∈M*θG.進(jìn)而可知序列

(x+M*θG)(R*θG/I*θG)?(x+M*θG)2(R*θG/I*θG)?…

必將終止，這與M∈F的事實(shí)矛盾.這樣就證明了R*θG是強(qiáng)π-正則環(huán).

顯然,一個(gè)平凡的G-素理想就是素理想.那么有下面的推論.

推論2.1[5]設(shè)R為環(huán)，G為群.如果對(duì)R的每個(gè)素理想P都有(R/P)G是強(qiáng)π-正則的，那么RG是強(qiáng)π-正則環(huán).

設(shè)R為環(huán)，I為R的G-不變理想且θ為群G到Aut(R)的群同態(tài).如果R*θG是強(qiáng)π-正則環(huán)，那么由于(R/I)*θG?R*θG/I*θG并且強(qiáng)π-正則環(huán)的同態(tài)也是強(qiáng)π-正則的，可知(R/I)*θG是強(qiáng)π-正則的.

推論2.2設(shè)R為環(huán)，θ為群G到Aut(R)的群同態(tài).那么R*θG是強(qiáng)π-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)R的每個(gè)G-素理想P，都有(R/P)*θG是強(qiáng)π-正則的.

命題2.1設(shè)R為右完全環(huán)，G是局部有限群,θ為群G到Aut(R)的群同態(tài)，則R*θG是強(qiáng)π-正則環(huán).

一個(gè)環(huán)R(或者群G)稱為局部有限的如果它的每個(gè)有限生成子環(huán)(或者子群)都是有限的.例如：布爾環(huán)、有限群和Abel撓群.

引理2.1設(shè)R為環(huán)，θ為群G到Aut(R)的群同態(tài).那么R*θG是局部有限的當(dāng)且僅當(dāng)R和G都是局部有限的.

證明必要性 顯然，R是局部有限的.令H=〈g1,g2，…，gn〉為G的有限生成子群.因?yàn)镠?R*θG并且R*θG是局部有限的，那么H是有限的.因此G是局部有限群.

充分性 給定R*θG的有限子集S，令

A:={r∈R|∑rg∈S},B:={g∈G|∑rg∈S}.

那么A生成一個(gè)R的有限子環(huán)，記為(A)；而B(niǎo)生成G的一個(gè)有限子群，記為(B).注意到每個(gè)元在(S)生成的子環(huán)，記為(S)，是形如∑ah的元素,其中a∈(A),h∈(B).因此(S)是有限的，這就說(shuō)明了R*θG是局部有限的.

因?yàn)榫植坑邢蕲h(huán)是強(qiáng)π-正則的.容易得到如下結(jié)論.

命題2.2設(shè)R為局部有限環(huán)，G是局部有限群，θ為群G到Aut(R)的群同態(tài),則R*θG是強(qiáng)π-正則的.

定理2.2設(shè)R是環(huán)，G是局部有限群，且對(duì)R的任意G-素理想P，都有R/P是右Artin的,θ為群G到Aut(R)的群同態(tài),則R*θG是強(qiáng)π-正則的.

證明令P為R的G-素理想，任取

令Hx為由supp(x)生成的G的子群.因?yàn)閟upp(x)是有限的，G是局部有限的，那么顯然Hx是有限的,并且x∈(R/P)*θHx.注意到(R/P)*θHx是強(qiáng)π-正則的.事實(shí)上，因?yàn)镽/P是Artin且Hx是有限的，因此(R/P)*θHx是Artin的,進(jìn)而可知它是強(qiáng)π-正則的.那么x是(R/P)*θG的強(qiáng)π-正則元，由x的任意性可知(R/P)*θG是強(qiáng)π-正則環(huán).由定理2.1可知R*θG是強(qiáng)π-正則的.

引理2.2[6]設(shè)S為有單位元的環(huán)，R為S的有相同單位元的子環(huán).如果R是S的左(或右)R-直和項(xiàng)，那么對(duì)R的任意右(或左)理想I，都有IR∩R=I(或SI∩R=I).

眾所周知,強(qiáng)π-正則環(huán)的同態(tài)像也是強(qiáng)π-正則的.但是，由于斜群環(huán)中乘法的特殊性，所以通常的利用增廣映射得到R*θG的同態(tài)像R的技巧在斜群環(huán)中不能使用.利用上述引理可得如下結(jié)論.

命題2.3如果斜群環(huán)R*θG是強(qiáng)π-正則的，那么對(duì)G的每個(gè)子群H都有R*θH是強(qiáng)π-正則的.特別地，取H=1可知R是強(qiáng)π-正則的.

定理2.3設(shè)R為環(huán)，θ為群G到Aut(R)的群同態(tài).如果R*θG是強(qiáng)π-正則的，那么R是強(qiáng)π-正則的，G是撓群.

證明由命題2.3知，R是強(qiáng)π-正則的.下面，僅需證明G是撓群.令f：R*θG→R是一個(gè)映射，定義

容易驗(yàn)證

是R*θG的一個(gè)左真理想.考慮元素1-g∈R*θG，其中1≠g∈G.注意到1-g在R*θG中沒(méi)有左逆.否則，1≠ker(f)與ker(f)是R*θG的左真理想的事實(shí)矛盾.

因?yàn)镽*θG是強(qiáng)π-正則的，那么存在正整數(shù)n(可以假設(shè)n是滿足條件的最小正整數(shù))和元素r∈R*θG，使得

(1-g)n=r(1-g)n+1.

如果1-g是冪零的，那么1-g是一個(gè)零因子.由文獻(xiàn)[7]的性質(zhì)6可知g的階是有限的.假設(shè)1-g不是冪零的,那么由于

[1-r(1-g)](1-g)n=0,

且

1-r(1-g)≠0，

可知1-g必是零因子.再由文獻(xiàn)[7]的性質(zhì)6知g的階是有限的，因此G是撓群.

因?yàn)锳bel撓群是局部有限群，易得如下結(jié)論.

推論2.3設(shè)R為環(huán)，G是Abel群,θ為群G到Aut(R)的群同態(tài).如果R*θG是強(qiáng)π-正則的，那么R是強(qiáng)π-正則的，G是局部有限群.

致謝南京工程學(xué)院校級(jí)科研基金(CKJB201606)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

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Some Properties of Stronglyπ-Regular Skew Group Rings

GAO Yanyan

(DepartmentofMathematicsandPhysics,NanjingInstituteofTechnology,Nanjing211167,Jiangsu)

LetRbe an associative ring with identity. An elementx∈Ris said to be left (right) π-regular if there existsy∈Rand a positive integernsuch thatxn=yxn+2(xn=xn+1y). Ifxis both left and right π-regular, then it is said to be strongly π-regular. A ringRis said to be a strongly π-regular ring if all elements are strongly π-regular. In this paper, we determine some conditions which are either necessary or sufficient for a skew group ringR*θGto be strongly π-regular, whereθis a group homomorphism from a groupGto Aut(R), the group of automorphisms ofR.

strongly π-regular; skew group ring;G-prime ideal

2016-03-18

江蘇省自然科學(xué)基金青年基金(BK20160771)

高艷艷(1983—)，女，講師，主要從事代數(shù)學(xué)中環(huán)與模的研究,E-mail:gyy_318@163.com

O153.3

A

1001-8395(2017)05-0651-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.015

2010MSC: 16S35

(編輯 周 俊)