一類常微分方程邊值問題的解析解

李鑫++何燁++趙巍

摘 要：本文通過對由徑向橫觀各向同性不可壓縮的Varga材料組成的圓柱管在翻轉(zhuǎn)后的有限變形問題的研究，證明徑向橫觀各向異性參數(shù)對翻轉(zhuǎn)后圓柱管的軸向伸長率以及內(nèi)半徑有本質(zhì)上的影響，特別是對軸向伸長率的影響；而初始厚度對翻轉(zhuǎn)后圓柱管的軸向伸長率以及內(nèi)半徑?jīng)]有本質(zhì)上的影響。

關(guān)鍵詞：軸向伸長率；橫觀各向同性；超彈性材料；圓柱管；翻轉(zhuǎn)

中圖分類號：O175.8 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）20-0209-01

當代社會，材料科學(xué)已經(jīng)成為當代科學(xué)技術(shù)的重要支柱。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷創(chuàng)新，材料領(lǐng)域不斷擴展，逐漸形成了金屬材料、無機材料、高分子材料、復(fù)合材料等多角共存的新局面。而以橡膠、類橡膠、生物軟組織等為代表的超彈性材料以其特有的優(yōu)勢和特點在材料領(lǐng)域也占有了自己的一席之地。所謂超彈性材料，從力學(xué)性能上講，是指能夠完全確定其應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)變能函數(shù)的彈性體，由應(yīng)變能函數(shù)也可以完全給出它們的本構(gòu)關(guān)系。本論文的目的是研究力學(xué)背景下，一類超彈性可壓縮材料組成的結(jié)構(gòu)體的有限變形問題，首先將問題的數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為二階非線性常微分方程和相應(yīng)的邊界條件。然后推導(dǎo)出一個復(fù)雜的二元非線性方程組，通過數(shù)學(xué)軟件求得該方程組的解析解，最后通過作圖分析各類數(shù)值對翻轉(zhuǎn)問題的影響。

1 數(shù)學(xué)模型及求解

假設(shè)不可壓縮超彈性材料構(gòu)成的圓柱管變形前的構(gòu)形為，，圓柱管翻轉(zhuǎn)變形后的構(gòu)形為.由于變形是徑向?qū)ΨQ的，在徑向?qū)ΨQ變形的假設(shè)下，圓柱管翻轉(zhuǎn)變形后構(gòu)形的平衡微分方程可化為 （1）

因為圓柱管翻轉(zhuǎn)變形后的內(nèi)、外表面是無約束的，所以有下面的邊界條件：

（2）

根據(jù)文獻[1]，即假設(shè)在端部給定合力，可以得到近似平均的端部條件： （3）

通過積分計算，再根據(jù)得到

（4）

不可壓縮超彈性材料的本構(gòu)關(guān)系由其應(yīng)變能函數(shù)

（5）

來描述。

1995年，首次提出了徑向橫觀各向同性不可壓縮的修正Varga材料，應(yīng)變能函數(shù)的形式為

（6）

式中：是材料的無窮小剪切模量；和是量綱為一的材料參數(shù)，且。

根據(jù)應(yīng)變能函數(shù)形式（5），得到：

（7）

繼而得到：

（8）

引入如下無量綱的記號：

，，，

從而得到 （9）

（10）

（11）

（12）

將方程（7）、（8）無量綱化并進行簡化，最后得到方程：

（13）

易見，對于給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)β，式（12）和（13）是關(guān)于和的非線性方程組，由此可以求得圓柱薄壁管翻轉(zhuǎn)后的軸向伸長率和內(nèi)外半徑。

2 數(shù)值算例

（1）圖1對給定的初始厚度，參數(shù)存在一個臨界值，記為，當時，軸向伸長率隨增加而增加、且在越大越小時，的增長率越大；當時，軸向伸長率隨增加而減少。且當時，隨的變化會出現(xiàn)一個驟增，這個驟增當時更明顯。（2）圖2對給定的初始厚度，參數(shù)存在一個臨界值，記為，當時，翻轉(zhuǎn)后的圓柱管的內(nèi)半徑隨增加而減少；當時，翻轉(zhuǎn)后的圓柱管的內(nèi)半徑隨增加而增加。且當，時，隨著的變化會出現(xiàn)一個驟降，這個驟降當越大時越明顯。

3 結(jié)語

論文研究了由橫觀各向同性Varga材料組成的圓柱管的翻轉(zhuǎn)問題，得到了描述翻轉(zhuǎn)后圓柱管的軸向伸長率和內(nèi)半徑滿足的非線性方程組。通過該非線性方程組，進行數(shù)值算例，我們可以得到該結(jié)論：翻轉(zhuǎn)后圓柱管的軸向伸長率和內(nèi)半徑與初始厚度無本質(zhì)聯(lián)系；而徑向各向異性參數(shù)對內(nèi)半徑與軸向伸長率會有本質(zhì)上的影響，特別是在軸向伸長方面。

參考文獻

[1]Hart 2 Smith L J. Elasticity parameters for finite deformations of rubber 2 like materials[J]. Z Angew Math Phys ，1966，17：608.

[2]袁學(xué)剛，張若京.不可壓超彈性材料中微孔增長的定性分析[J].同濟大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005，33（12）：1660.endprint