韓彥林
【摘 要】小概率事件在日常生活中比比皆是,它的發(fā)生給人們帶來(lái)歡樂(lè),也能帶來(lái)災(zāi)難,所以要充分認(rèn)識(shí)、研究小概率事件。小概率原理是人們?cè)陂L(zhǎng)期認(rèn)識(shí)小概率事件過(guò)程中總結(jié)出來(lái)的一個(gè)基本原理:小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的。小概率原理在概率統(tǒng)計(jì)中具有較強(qiáng)的實(shí)用性,本文利用幾個(gè)實(shí)例闡述了小概率原理在日常生活中的實(shí)際應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】小概率事件;小概率原理;假設(shè)檢驗(yàn)
1 小概率事件
小概率事件,顧名思義就是概率很小的事件,一般情況下,人們把概率小于0.05的事件稱(chēng)為小概率事件。在日常生活中小概率事件數(shù)不勝舉,比如,四川九寨溝縣發(fā)生7.0級(jí)地震,南京地區(qū)出現(xiàn)日全食,飛機(jī)失事,某人買(mǎi)彩票中了頭等獎(jiǎng)等等都是小概率事件。在某些重要場(chǎng)合,當(dāng)事件的發(fā)生會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重后果(飛機(jī)失事)時(shí),概率值應(yīng)選的更小一些比如0.001。
2 小概率事件的認(rèn)識(shí)
雖然小概率事件發(fā)生的概率非常小,但是一旦發(fā)生,影響力都是非常巨大的,有些能給人們帶來(lái)歡樂(lè),有些能給人們帶來(lái)災(zāi)難,所以小概率事件是不能忽視的,我們要抱著一種科學(xué)的態(tài)度去認(rèn)真對(duì)待小概率事件,充分的認(rèn)識(shí)和了解它。認(rèn)識(shí)小概率事件應(yīng)從兩個(gè)方面來(lái)考慮,一方面,小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的,這稱(chēng)為小概率原理,又稱(chēng)實(shí)際不可能原理,在生活中有著廣泛的應(yīng)用,例如人們明知道飛機(jī)失事會(huì)發(fā)生,而仍然選擇乘坐飛機(jī)出行。另一方面,在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中,小概率事件必然會(huì)發(fā)生[1],這也從數(shù)學(xué)角度解釋了“水滴石穿”,“常在河邊走,哪有不濕鞋”,“只要有1%的希望,就要付出100%的努力”等經(jīng)典名句。下面重點(diǎn)介紹小概率原理在日常生活中的實(shí)際應(yīng)用。
3 小概率原理的應(yīng)用
小概率原理是概率論中具有較強(qiáng)實(shí)用性的一個(gè)基本原理,總是在不經(jīng)意間指導(dǎo)我們的工作和生活。
3.1 小概率原理在保險(xiǎn)行業(yè)中的應(yīng)用
小概率原理認(rèn)為:小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的,這一原理在保險(xiǎn)公司制定保險(xiǎn)業(yè)務(wù)時(shí)起到功不可沒(méi)的作用。
例1 某地區(qū)有1萬(wàn)人參加了某保險(xiǎn)公司的一項(xiàng)人身意外保險(xiǎn)。已知該地區(qū)人身意外死亡的概率為0.0001,每人投保的保費(fèi)為元,若投保人在一年內(nèi)發(fā)生意外死亡,則保險(xiǎn)公司賠償萬(wàn)元,試求保險(xiǎn)公司在這項(xiàng)業(yè)務(wù)上虧損的概率。
解設(shè)X是一年內(nèi)投保人意外死亡的人數(shù),則X~B(10000,0.0001),由于n=10000很大,p=0.0001很小,故可用泊松分布近似計(jì)算,λ=np=1保險(xiǎn)公司在這項(xiàng)業(yè)務(wù)上{虧損}可用{X>5}來(lái)表示,通過(guò)查泊松分布表,可得虧損的概率為:
P(X>5)=P(X≥6)=0.000594,因此,保險(xiǎn)公司在這項(xiàng)業(yè)務(wù)上虧損的概率非常小,{虧損}是一個(gè)小概率事件,幾乎是不可能發(fā)生的,可見(jiàn),保險(xiǎn)公司正是利用小概率原理保證公司推出的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)穩(wěn)賺不賠。
3.2 小概率原理在實(shí)際推理中的應(yīng)用
小概率原理是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的一條實(shí)際推斷原理。具體應(yīng)用如下:小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的,如果發(fā)生了,則認(rèn)為這是一種不正?,F(xiàn)象,從而斷定系統(tǒng)本身出現(xiàn)了問(wèn)題。利用小概率原理進(jìn)行推斷是概率性質(zhì)的反證法,下面來(lái)看一個(gè)具體應(yīng)用的例子。
在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中,總有學(xué)生提出疑問(wèn)說(shuō),在不作弊的情況下,10題中答對(duì)8題這種情況也有可能發(fā)生,所以存在誤判(即把“不作弊”看成“作弊”)的可能。小概率原理是說(shuō):在一次試驗(yàn)中,小概率事件幾乎是不可能發(fā)生的。而在實(shí)際問(wèn)題中確實(shí)存在小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能,因此會(huì)存在誤判,這里和假設(shè)檢驗(yàn)存在犯錯(cuò)誤的可能一樣。小概率事件在一次試驗(yàn)中會(huì)發(fā)生,只不過(guò)發(fā)生的概率非常小,在本題中只有,也就是說(shuō)誤判的概率只有,誤判的可能性非常小。在實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)沒(méi)有充足理由證明系統(tǒng)本身沒(méi)有問(wèn)題時(shí),一旦小概率事件發(fā)生,都認(rèn)為是不正常現(xiàn)象。但是,當(dāng)有充足理由證明系統(tǒng)本身沒(méi)有問(wèn)題時(shí),如果小概率事件發(fā)生,則不能認(rèn)為是不正?,F(xiàn)象。例如買(mǎi)一張彩票就中了頭等獎(jiǎng),也就是說(shuō)小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了,此時(shí)不能認(rèn)為是不正常現(xiàn)象。在具體應(yīng)用小概率原理時(shí)一定要注意區(qū)別對(duì)待。
例3對(duì)某廠的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中重復(fù)抽樣,共取件樣品,結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有件廢品,問(wèn)能否相信此工廠出廢品的概率不超過(guò)
解假設(shè)此工廠出廢品的概率為,一件產(chǎn)品要么“廢品”,要么“正品”,因此取件產(chǎn)品來(lái)觀察廢品數(shù)相當(dāng)于重伯努利試驗(yàn),所以件產(chǎn)品中出現(xiàn)件廢品的概率為:
很顯然,“件產(chǎn)品中出現(xiàn)件廢品”是小概率事件,但是在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了,根據(jù)小概率原理,我們認(rèn)為這是一種不正?,F(xiàn)象,有理由懷疑“廢品率為”的合理性,所以,工廠的廢品率不超過(guò)的說(shuō)法是不可信的。
3.3 小概率原理在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用
小概率原理是假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理,是決定推翻還是接受假設(shè)的依據(jù)。人們首先提出假設(shè),在此前提下進(jìn)行推導(dǎo),然后根據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行判斷。若導(dǎo)致不合理的現(xiàn)象出現(xiàn),即小概率事件發(fā)生,則拒絕原假設(shè);若沒(méi)有導(dǎo)致不合理的現(xiàn)象出現(xiàn),即小概率事件沒(méi)有發(fā)生,則接受原假設(shè)。
例4某磚廠生產(chǎn)的磚的“抗斷強(qiáng)度X”服從正態(tài)分布,方差σ2=1.21,從該廠的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取塊,測(cè)得抗斷強(qiáng)度(單位:kg·cm-2)如下:
32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03
檢驗(yàn)這批轉(zhuǎn)的平均抗斷強(qiáng)度為32.50kg·cm-2是否成立(顯著性水平α=0.05)?
解(1)提出假設(shè)H0:μ=32.50;H1:μ≠32.50.
(2)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量U=若當(dāng)H0成立時(shí),U~N(0,1).
(3)對(duì)給定的顯著性水平α=0.05,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表U=1.96,使其滿足P(|U|≥1.96)=0.05,因此,H0的拒絕域?yàn)閨U|≥1.96.
(4)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀察值
由于|u|=3.05>1.96,根據(jù)小概率原理,在顯著性水平α=0.05下拒絕H0,即不能認(rèn)為這批轉(zhuǎn)的平均抗斷強(qiáng)度為32.50kg·cm-2。
4 結(jié)束語(yǔ)
小概率事件不能忽視,應(yīng)從兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)小概率事件,掌握小概率事件的內(nèi)在規(guī)律。在日常生活中充分利用小概率原理作出科學(xué)的決策和推斷,幫助我們趨利避害,小概率事件和小概率原理的應(yīng)用值得進(jìn)一步探討。
【參考文獻(xiàn)】
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