基于一種三維低冗余曲波變換和壓縮感知理論的地震數(shù)據(jù)重建

曹靜杰, 王尚旭, 李文斌

(1.中國石油大學(xué)地球物理與信息工程學(xué)院,北京 102249; 2.河北地質(zhì)大學(xué)勘查技術(shù)與工程學(xué)院,河北石家莊 050031;3.河北地質(zhì)大學(xué)信息工程學(xué)院,河北石家莊 050031)

基于一種三維低冗余曲波變換和壓縮感知理論的地震數(shù)據(jù)重建

曹靜杰1,2, 王尚旭1, 李文斌3

(1.中國石油大學(xué)地球物理與信息工程學(xué)院,北京 102249; 2.河北地質(zhì)大學(xué)勘查技術(shù)與工程學(xué)院,河北石家莊 050031;3.河北地質(zhì)大學(xué)信息工程學(xué)院,河北石家莊 050031)

基于稀疏變換的重建方法是地震數(shù)據(jù)重建的研究熱點,其中稀疏變換的性質(zhì)對重建的效率和質(zhì)量起關(guān)鍵作用。曲波變換對波場數(shù)據(jù)有非常稀疏的表示和可靠的數(shù)值效果,然而三維曲波變換的冗余度在24～32之間,須消耗很多的內(nèi)存和計算時間。提出基于一種低冗余度曲波變換的地震數(shù)據(jù)重建方法,介紹低冗余曲波變換并且分析其優(yōu)點,給出一個解基于分析的1范數(shù)模型的快速迭代閾值方法。數(shù)據(jù)實驗結(jié)果表明:該低冗余變換將三維曲波變換的冗余度降低了60%,能夠有效提高數(shù)據(jù)重建的計算效率;基于低冗余度曲波變換的數(shù)據(jù)重建的計算效率是基于原始曲波變換重建效率的4倍,對于10%的采樣比例仍然能夠得到較好的重建和去噪效果。

曲波變換; 地震重建; 稀疏優(yōu)化; 1范數(shù)

由于受到地表障礙、壞道、禁區(qū)和成本等因素的制約,野外地震數(shù)據(jù)在空間上經(jīng)常不滿足采樣定理,不完備的地震數(shù)據(jù)會影響波動方程偏移[1]、表面多次波消除[2]和AVO分析[3]等數(shù)據(jù)處理的效果,因此須重建地震數(shù)據(jù)以獲得完備的數(shù)據(jù)?；谙∈枳儞Q的重建方法計算效率高,數(shù)值效果穩(wěn)定,因此是重建方法重要的研究方向。該方法利用信號在變換域的稀疏性為約束建立反演模型,并且采用稀疏反演方法求解。稀疏變換的性質(zhì)是決定這類方法質(zhì)量的首要因素。地震信號在變換域中的表達越稀疏,則越有利于提高重建質(zhì)量。在地震信號處理領(lǐng)域經(jīng)典的稀疏變換有傅里葉變換[4]和Radon類變換[5-6]。最近曲波變換[7]等多尺度變換被用于地震數(shù)據(jù)重建且展示了很好的數(shù)值效果。多尺度變換比單一尺度的變換能夠展示更多的信息,因此是信號分析的有力工具。曲波變換打破了傳統(tǒng)傅里葉變換和小波變換只能表示單一尺度或者不能稀疏表示多尺度信號的缺點。對于地震數(shù)據(jù)有非常稀疏的表達,在地震數(shù)據(jù)重建[8-10]、去噪[11-12]、多次波消除[13-14]、反褶積[15]、偏移[16]和反射數(shù)據(jù)的增強[17]等問題中都有應(yīng)用并且展示了很好的數(shù)值效果。曲波變換對曲線或曲面形狀信號進行多方向和各項異性的表示,為邊緣不連續(xù)的目標(biāo)提供了幾乎最優(yōu)的表達[18-21]。雖然曲波變換有多尺度性、多方向性以及無須對數(shù)據(jù)劃分時間窗口等優(yōu)點,但是曲波變換的冗余度(冗余度指的是變換域系數(shù)的維數(shù)與原始信號系數(shù)維數(shù)之比)很大。在二維情況下的原始曲波變換的冗余度約為8,三維數(shù)據(jù)變換的冗余度為 24～32,需要很多的內(nèi)存和計算時間,影響大規(guī)模數(shù)據(jù)計算的效率。筆者將一種低冗余三維曲波變換用于三維地震數(shù)據(jù)重建,這種新的低冗余曲波變換[22]比原始曲波變換的冗余度有很大的下降,因此稱之為低冗余度曲波變換,在求解時采用一種解基于分析的1范數(shù)正則化模型的迭代軟閾值算法,對模擬和真實地震數(shù)據(jù)的試驗證明方法的有效性。

1 三維低冗余度曲波變換

曲波[23]變換有兩種快速實現(xiàn)方式,分別是基于USFFT(unequally-space fast transform)的快速算法和基于wrapping的快速算法。由于基于wrapping的方法更加簡單和容易執(zhí)行,本文中采用基于wrapping的曲波變換的實現(xiàn)過程?；趙rapping的三維曲波[23]變換包括一個低通逼近子帶和一些包含曲波系數(shù)的曲波基子帶,這些曲波系數(shù)由尺度、位置和方向索引[22]。該變換主要由兩部分組成:多尺度分解和角度分解。首先,假設(shè)輸入的三維數(shù)據(jù)為N=(Nx,Ny,Nz),其中，Nx、Ny、Nz分別表示x、y、z三個方向上的維數(shù),在傅里葉域通過三維Meyer小波將其分解,得到尺度為N,N/2,…,N/2J的以原點為中心的立方體,其中J為尺度的個數(shù)。第二步,將這些立方體和角度窗口相乘,分割成各向異性的楔形體,這些楔形體符合拋物線尺度準(zhǔn)則,將楔形體包裝成立方體后采用三維傅里葉逆變換得到曲波系數(shù)。三維低冗余度曲波變換的具體實現(xiàn)方式如下:①輸入N=(Nx,Ny,Nz)的三維數(shù)據(jù)體,定義劃分的尺度個數(shù)J,在最小尺度的每個面上劃分的角度個數(shù)Na。 ②多尺度分解。在傅里葉域應(yīng)用三維Meyer小波變換,得到尺度為N,N/2,…,N/2J的立方體。③角度分解。在每一個尺度的每個方向上,在傅里葉域?qū)⑿〔⒎襟w和角度窗相乘得到楔形體;將這些楔形體包裝成中心在原點的平行六面體;對平行六面體應(yīng)用三維傅里葉逆變換得到曲波系數(shù)。

在原始曲波變換中,冗余度主要來源于角度分解。此外,Meyer小波的應(yīng)用方法產(chǎn)生了額外冗余性,而低冗余曲波變換中Meyer小波沒有產(chǎn)生額外冗余性[22]。 新的曲波變換和原始曲波變換在實現(xiàn)上存在許多不同之處,但是其能夠降低額外冗余度的主要原因是Meyer小波變換的應(yīng)用方法不同。

(1)

其中ν從0到1逐漸變化并且滿足ν((x)+ν(1-x)=1。Meyer 尺度函數(shù)定義為

(2)

最小尺度的小波在傅里葉域的支撐為[-2/3,-1/6]∪[1/6,2/3], 因此超出了Shannon 帶。原始曲波變換隱含的假設(shè)周期邊界條件,計算一個周期信號的小波變換等價于將信號在周期小波基上分解。最小尺度小波超出Shannon 帶的部分被其以ξ=1/2為中心沿著豎軸做鏡像代替,數(shù)據(jù)的支撐是原始數(shù)據(jù)的 4/3倍,對于三維數(shù)據(jù)來說,產(chǎn)生的額外的冗余度為 (4/3)3。在低冗余度曲波變換中,尺度函數(shù)和小波函數(shù)的支撐首先被縮小為原來的3/4,然后為了保持單位劃分的一致性,對最小尺度的小波進行修改來壓制其下降的尾部,小波在[-1/2,-1/4]∪[1/4,1/2]之間變?yōu)橐粋€固定值。這樣對于三維Meyer小波來說,在傅里葉域內(nèi)沒有增加額外的冗余度。

對于原始曲波變換,三維數(shù)據(jù)的冗余度為 24～32,而低冗余度曲波變換的冗余度約為10[22]。除了在最小尺度上保持方向選擇性和低冗余性,該低冗余曲波變換保持了等距性,并且能夠快速精確重建,即該低冗余度曲波變換是一個Parseval 緊框架,C*C=I,其中C為曲波分解算子,C*為其伴隨。C*也是逆算子,因此該變換具有快速的重構(gòu)算法。關(guān)于低冗余度曲波變換的詳細實現(xiàn)見參考文獻[22]。

2 基于壓縮感知理論的地震數(shù)據(jù)重建

地震采集過程是地震信號的采樣過程,因此地震重建問題可以根據(jù)壓縮感知理論求解[7]。壓縮感知理論證明了可以根據(jù)少量的測量數(shù)據(jù)高精度地重建原始數(shù)據(jù),從而降低地震勘探的成本。地震采集過程可以表示為如下數(shù)學(xué)模型:

Rx+ε=d.

(3)

式中,R為采樣矩陣;x為完整的地震數(shù)據(jù);ε為可加性噪聲;d為采樣的數(shù)據(jù)。由于數(shù)據(jù)d是不完備且不滿足采樣定理的,理論上存在無窮多x滿足式(3)。根據(jù)壓縮感知理論,假設(shè)地震數(shù)據(jù)在某個變換域中是稀疏的,即s=Ψx是稀疏的或者可壓縮的,其中Ψ是一個稀疏變換算子,令Ψ為上述的低冗余曲波變換,由于其是緊框架,其共軛轉(zhuǎn)置也是其逆,即Ψ*=Ψ-1,則公式(3)變?yōu)?/p>

RΨ*s+ε=d.

(4)

其中Ψ*為Ψ的共軛轉(zhuǎn)置?；趕的稀疏性假設(shè),可以通過解以下優(yōu)化問題求出s:

(5)

其中σ≥0是對噪聲能量的估計,該問題稱為基追蹤問題[24]。 當(dāng)σ=0時,上述模型針對高信噪比數(shù)據(jù)或者不含噪聲數(shù)據(jù)的重建;當(dāng)σ>0時,上述模型可以求解含隨機噪聲數(shù)據(jù)的重建,即可以實現(xiàn)同時重建和去噪,因此上述模型既可以求解不含噪聲數(shù)據(jù)的重建,也可以求解含隨機噪聲數(shù)據(jù)的重建。當(dāng)s被解出后,對于低冗余曲波變換來說,x可以由x=Ψ*s求出。由于問題(5)是一個約束優(yōu)化問題,對于該問題的求解方法很少[10],一般求解其等價的無約束優(yōu)化問題

(6)

其中λ是一個正則參數(shù),用來平衡殘差的2范數(shù)和解的1范數(shù),當(dāng)λ選擇合適時,問題(5)和(6)的解相等。為了使問題(6)的解與數(shù)據(jù)模型相匹配,對于不含噪聲數(shù)據(jù)的重建,只須選擇λ很小,接近于0即可;對于含隨機噪聲的重建,若σ已知,則可以通過偏差原則,廣義偏差原則[25]等方法求解與σ匹配的正則參數(shù)λ,若σ已知,則可以采用類似于廣義交叉檢驗原則(GCV)或者L曲線準(zhǔn)則的方法求解合適的λ。由于廣義交叉檢驗原則(GCV)或者L曲線準(zhǔn)則不能保證一定獲得可靠的λ[26],因此λ常常通過人工經(jīng)驗選取來獲得。

地震數(shù)據(jù)重建屬于大規(guī)模計算問題,因此需要快速穩(wěn)定的計算方法。對于上述1范數(shù)正則化的問題(6)的求解,不能采用經(jīng)典的方法如共軛梯度法或者牛頓法[27-28],傳統(tǒng)的內(nèi)點法等由于用到矩陣求逆,因此計算速度無法與經(jīng)典方法相比,須研究解1范數(shù)正則化模型的快速算法。閾值類方法[29]是針對1范數(shù)正則化模型求解的一類重要方法,該方法根據(jù)1范數(shù)可分的性質(zhì)得到,很多解問題(6)的方法,如不動點法、逼近點法等都含有軟閾值運算。最近研究發(fā)現(xiàn)采用如下的模型的數(shù)值效果比基于模型(6)的效果要好:

(7)

該模型稱為基于分析的模型,以時間空間域的數(shù)據(jù)x為變量,問題(6)被稱為基于合成的模型,以變換域中的系數(shù)s為變量。雖然兩者之間可以相互推導(dǎo),但是基于分析的模型(7)的數(shù)值效果要稍好于前者。給出一個解問題(7)的簡單易行的閾值算法,該算法以x為變量進行迭代求解。算法如下:

(1)輸入采樣的數(shù)據(jù)d,采樣矩陣R,稀疏變換Ψ,最大迭代步數(shù)N,控制停機的參數(shù)ω和最小閾值τmin,令k=0。

(5)輸出最終解xfinal=xk。

如果將算法中軟閾值運算變?yōu)橛查撝祷蛘咂渌倪M的閾值運算,上述算法也能得到稀疏解。本文中步長κk固定為1,同時還有更加先進的步長選擇方法如BB法、回溯法等方法,步長的選擇對算法有較大的影響。閾值的下降可以是線性的,也可以是指數(shù)下降,本文中采用指數(shù)下降τk+1=τ0ec(k-1)/(N-1),其中c=ln(τ0/τmin),實際上閾值的下降方式對解的改善不大,最小閾值τmin的大小決定著解的質(zhì)量,因為τmin與噪聲的能量相關(guān)。當(dāng)噪聲很小時,選擇τmin很小,當(dāng)噪聲較大時τmin應(yīng)適當(dāng)調(diào)節(jié)。由于噪聲的能量實際上也是很難估計的,本文中采用嘗試法選擇τmin。本文中算法與固定閾值的閾值類算法不同,實際上是帶有連續(xù)化策略的閾值法,其中令閾值逐漸下降就是優(yōu)化算法中的連續(xù)化策略,這比固定閾值參數(shù)的算法需要更少的迭代次數(shù)和更好的數(shù)值效果,因此本算法實際上由兩層組成,外層控制閾值的下降,內(nèi)層只用1次迭代,已經(jīng)證明本算法比固定最小閾值的方法數(shù)值表現(xiàn)要改進很多[26]。

3 數(shù)值模擬

圖1 三維合成數(shù)據(jù)重建實驗Fig.1 3D synthetic data reconstruction experiment

參數(shù)采樣率50%CandesWoiselle采樣率20%CandesWoiselle采樣率10%CandesWoiselle采樣率5%CandesWoiselle計算時間t/s10661767561907591761082271信噪比/dB203365202013135222171638876601036314116576232

用一個海洋地震數(shù)據(jù)驗證基于低冗余曲波變換的真實數(shù)據(jù)的重建質(zhì)量。該海洋數(shù)據(jù)為512×128×128,即時間軸上的采樣個數(shù)為512,時間采樣率2 ms,在inline和crossline 方向上的采樣個數(shù)為128,相鄰地震道間隔為25 m。圖2給出海洋數(shù)據(jù)的一個切片,圖3是隨機采樣的數(shù)據(jù),采樣的道數(shù)為總道數(shù)的50%。圖4是采用低冗余曲波變換和迭代軟閾值法的重建結(jié)果,其信噪比為 16.559 6 dB。為了更加清晰的顯示重建的效果,將其中一道原始數(shù)據(jù)和其相應(yīng)的重建道進行對比,如圖5所示,重建數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)吻合得很好。

圖2 真實海洋數(shù)據(jù)Fig.2 Field marine data

圖3 隨機采樣道數(shù)為50%的海洋數(shù)據(jù)Fig.3 Randomly sampled marine data with 50% traces sampled

圖4 基于低冗余曲波變換的海洋數(shù)據(jù)重建結(jié)果Fig.4 Reconstructed marine data based on low-redundancy curvelet transform

圖5 一道原始海洋數(shù)據(jù)與重建數(shù)據(jù)對比Fig.5 Comparison of one original trace and reconstructed trace of marine data

為了驗證不同采樣比例下該低冗余曲波變換的重建效果,對一個含噪聲的三維海洋數(shù)據(jù)分別采樣20%和10%的地震道進行重建,該試驗同時也驗證了低冗余曲波變換對含噪聲數(shù)據(jù)重建的可靠性。由于計算機內(nèi)存的限制,截取一小部分數(shù)據(jù)進行計算,數(shù)據(jù)為200×200×200,即在時間上有200個采樣點,空間兩個方向上分別有200個采樣,時間采樣率為4 ms,道間距為12.5 m。 圖6(a)為原始數(shù)據(jù)的一個切片顯示,圖6(b)為隨機采樣 20%地震道的顯示,圖6(c)為圖6(b)采用低冗余曲波變換得到的重建結(jié)果。由圖可見,不僅未采樣的地震道被重建出來,而且噪聲的能量得到了壓制。 圖6(d)為原始數(shù)據(jù)和重建結(jié)果的誤差,視覺上有效信號很少。為了測試更低采樣率的數(shù)據(jù)能否得到較好的重建,將采樣率降至10%,即隨機選擇10%的地震道進行重建,如圖7(b)所示。圖7(c)為基于低冗余曲波變換的重建結(jié)果,圖7(d)為原始數(shù)據(jù)和重建數(shù)據(jù)的差。由此可見,圖7(c)的結(jié)果是可以接受的,并且圖7(d)中有效信號很少。為了在頻率中比較,圖8(a)為原始數(shù)據(jù)圖7(a)的一個空間切片的頻譜,圖8(b)為重建數(shù)據(jù)(圖7(c))相同空間切片的頻譜,圖8(c)為圖7(d)相同空間切片的頻譜,可以看出基于低冗余曲波變換的重建可以濾掉高波數(shù)分量和一些高頻分量。本試驗說明:①低冗余曲波變換對于非常低的采樣比例的數(shù)據(jù)也能夠得到穩(wěn)定的結(jié)果,當(dāng)采樣比例為5%時,數(shù)值效果會變差。②通過選擇合適的參數(shù),采用的模型和算法能夠?qū)崿F(xiàn)含噪聲數(shù)據(jù)的重建,即問題(6)和(7)的模型可以解決含隨機噪聲的重建問題。③相比于二維變換,三維變換需要的采樣比例更少。之前的二維數(shù)據(jù)重建研究表明,當(dāng)以曲波變換為稀疏變換,并且采用閾值類算法如凸集投影法[26]求解時,二維數(shù)據(jù)的采樣比例在50%左右才能得到較好的結(jié)果,一旦低于這個比例,則數(shù)值效果會變差,三維變換由于將兩個空間維數(shù)的信息整合起來,具有更稀疏的表達,因此能夠適合更低的采樣比例。同樣,五維數(shù)據(jù)重建也適合更低的采樣比例。

圖6 三維真實數(shù)據(jù)隨機采樣20%的重建試驗Fig.6 3D field data reconstruction with 20% traces sampled randomly

圖7 三維真實數(shù)據(jù)隨機采樣10%的重建Fig.7 3D field data reconstruction with 10% traces sampled randomly

圖8 真實數(shù)據(jù)和重建數(shù)據(jù)的頻譜比較Fig.8 Spectrum comparation of original data and reconstructed data

4 結(jié)束語

將一種低冗余度曲波變換用于加速地震數(shù)據(jù)重建,給出了一種快速的迭代閾值法實現(xiàn)地震數(shù)據(jù)重建和去噪,提高了基于曲波變換的地震數(shù)據(jù)重建的計算效率和重建質(zhì)量。數(shù)據(jù)試驗表明，基于低冗余度曲波變換的重建時間約為基于原始曲波變換的1/4,且能夠達到可靠的重建結(jié)果,可以適合更低采樣比例的數(shù)據(jù)重建?；诙喑叨茸儞Q的重建存在一定的局限性,由于曲波變換是局部的、多尺度變換,如果沒有對小尺度構(gòu)造充分的采樣,則基于這種多尺度變換的重建不能得到滿意的效果。

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(編輯 修榮榮)

Seismicreconstructionwith3Dlow-redundancycurvelettransformandcompressedsensingtheory

CAO Jingjie1,2, WANG Shangxu1, LI Wenbin3

(1.CollegeofGeophysicsandInformationEngineeringinChinaUniversityofPetroleum,Beijing102249,China; 2.CollegeofExplorationTechnologyandEngineering,HebeiGEOUniversity,Shijiazhuang050031,China; 3.CollegeofInformationEngineering,HebeiGEOUniversity,Shijiazhuang050031,China)

Sparse-transform-based seismic data reconstruction is a hot topic in seismic reconstruction, where properties of the sparse transform may influence the results of reconstruction greatly. Curvelet transform is a multi-scale, multi-directional, and local transform which has nearly the sparsest expression for seismic data. However, this transform is a highly redundant transform with redundancy about 24-32 for three dimensional data. To improve the efficiency of curvelet based reconstruction, this paper proposed a low-redundancy curvelet-transform based seismic reconstruction. The new transform was introduced first and its merits for seismic signal processing were analyzed, followed by an iterative thresholding method for analysis-based L1-norm regularized models. Numerical experiments illustrate that the low-redundancy transform can reduce 60% redundancy of the original 3D curvelet transform, thus improves greatly the computational efficiency. The reconstruction computational efficiency based on the low redundancy transform is 4 times of the original curvelet based reconstruction, for example, even for 10% sampling ratio, this low-redundancy curvelet can get acceptable results.

curvelet transform; seismic reconstruction; sparse optimization; one-norm

2016-05-23

國家自然科學(xué)基金項目(41674114);河北省自然科學(xué)基金項目(D2017403027);河北省高校百名優(yōu)秀創(chuàng)新人才支持計劃Ⅲ(SLRC2017024);中國博士后科學(xué)基金資助項目(2016M600171，2017T100137)

曹靜杰(1982-)，男，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向為地震信號處理和地球物理反演算法。E-mail: cao18601861@163.com。

1673-5005(2017)05-0061-08

10.3969/j.issn.1673-5005.2017.05.007

P 631.4

A

曹靜杰,王尚旭,李文斌.基于一種三維低冗余曲波變換和壓縮感知理論的地震數(shù)據(jù)重建[J].中國石油大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,41(5):61-68.

CAO Jingjie, WANG Shangxu, LI Wenbin. Seismic reconstruction with 3D low-redundancy curvelet transform and compressed sensing theory [J]. Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science), 2017,41(5):61-68.