利用導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)功能和正交向量的性質(zhì)探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

胡世博

摘要：在數(shù)學(xué)中，求證點(diǎn)到直線(xiàn)距離的公式具有多種方式，本文主要研究通過(guò)導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)功能和正交向量的性質(zhì)對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)本質(zhì)；正交向量形式；點(diǎn)；直線(xiàn)；距離

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的本質(zhì)就是瞬時(shí)變化，其是微積分中的基礎(chǔ)概念，并且尤為重要，其主要是通過(guò)極限概念實(shí)現(xiàn)函數(shù)局部的線(xiàn)性逼近，比如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體位移相對(duì)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)就是物體的瞬時(shí)速度，導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就是函數(shù)圖像中的斜率值。正交向量指的是二維或者三維空間中兩個(gè)或者三個(gè)向量為90°，正交向量的幾何就是正交向量組。在數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)及正交向量是尤為重要的概念，在學(xué)習(xí)過(guò)程中要重視從多方面對(duì)其本質(zhì)進(jìn)行理解。通過(guò)導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)本質(zhì)及正交向量性質(zhì)對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)距離進(jìn)行探究，主要是將正交向量積和方程導(dǎo)數(shù)相結(jié)合實(shí)現(xiàn)的。基于此，本文就講此過(guò)程詳細(xì)的進(jìn)行論述。數(shù)學(xué)中，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式有很多求證方法，這里是一種利用導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)功能和正交向量的性質(zhì)探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的方法，將“方程導(dǎo)數(shù)”、“正交向量積”結(jié)起來(lái)，探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。

一、導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)功能

數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)（Derivative）是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱(chēng)這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分?？蓪?dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則。

二、對(duì)圓的方程求導(dǎo)的數(shù)學(xué)意義

在平面內(nèi)，設(shè)圓心O的坐標(biāo)為（a1，b1）， 圓的半徑為r， 則，圓的方程為：（xa1）2+（y- b1） 2=r2 ----------------①式

我們不是一般性地將①式視為，動(dòng)點(diǎn)（x，y）到定點(diǎn)（a1，b1）的距離d的函數(shù)特殊情況（此時(shí)，距離d為常數(shù)r）。

距離d的函數(shù)f（d）= f（x，y）=（x- a1）2+（y- b1） 2---------②式

對(duì)①式、②式進(jìn)行求導(dǎo)，則有，

f/（d）= f/（x，y）=2（x- a1）·（x- a1）/+2（yb1） ·（y- b1） /=0

化簡(jiǎn)則有，（x- a1）·（x- a1）/+（y- b1） ·（yb1） /=0 -----③式

即：（x- a1）·x/+（y- b1） ·y/=0 ----------------④式

x·x/+y·y/= a1·x/+ b1 ·y/

觀(guān)察③式、④式，可以視為：向量OM與向量n正交。

其中，過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）、圓心O（a1，b1）的半徑向量OM【記作：向量OM=（（xa1），（y- b1））】

過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的切線(xiàn)向量n【記作：向量n=（（x- a1）/，（y- b1） /）】

三、根據(jù)正交向量的性質(zhì)求索直線(xiàn)外一點(diǎn)到直線(xiàn)最小距離

我們?cè)O(shè)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的切線(xiàn)方程的一般式為 ：

A x+B y+C=0 ---------------⑤式

因?yàn)榍芯€(xiàn)與圓的半徑正交，則有OM半徑向量=（ A， B）

根據(jù)向量?jī)?nèi)積其數(shù)學(xué)意義：本向量模長(zhǎng)與“彼向量模長(zhǎng)在本向量模長(zhǎng)上投影長(zhǎng)”的乘積，且有OM·n=|OM||n|cosθ。

于是則，|OM·n|≦|OM||n|| cosθ|

取等號(hào)時(shí)即為圓心到切線(xiàn)的最小距離。

最小

參考文獻(xiàn)

[1] 蘇懷堂， 韓靜波. 高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)幾何意義的妙用[J]. 新課程·下旬， 2015（11）.

[2] 王楠. 利用導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)功能和正交向量的性質(zhì)探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離[J]. 中學(xué)生數(shù)理化：學(xué)研版， 2017（5）：47-47.

[3] 李紅武， 王驍力. 空間直線(xiàn)的向量表示及其在求點(diǎn)到空間直線(xiàn)距離的應(yīng)用[J]. 南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)， 2009， 8（3）：24-26.endprint