尹愛國

(湖南省長沙市明德中學(xué),湖南 長沙 410000)

函數(shù)極值點(diǎn)偏移的判定和應(yīng)用

尹愛國

(湖南省長沙市明德中學(xué),湖南 長沙 410000)

綜述函數(shù)的極值條件，結(jié)合極值點(diǎn)偏移的性質(zhì)，提出極值點(diǎn)偏移的判定方法.

函數(shù)極值點(diǎn)；判定方法；應(yīng)用

問題引入：(2016·全國卷Ⅰ·理21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a范圍；

(Ⅱ)設(shè)x1、x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2

解析(Ⅰ)答案：a>0.

筆者在多年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)類似問題在高考壓軸題中頻頻出現(xiàn)，因此對此類問題進(jìn)行了研究，找出了解決此類問題的一種通法，供大家參考.

一、極值點(diǎn)偏移的判定方法.

設(shè)已知函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間x∈D上滿足：x=a是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，x1,x2∈D,x1≠x2，f(x1)=f(x2)

第一步：判斷曲線在D上的開口方向.

類似于拋物線，若曲線f(x)在D上存在唯一極值點(diǎn)，則曲線在D上存在開口方向問題.若x=a為y=f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在D上的開口向上；若x=a是曲線y=f(x)的極大值點(diǎn)，則y=f(x)在D上的開口向下.

第二步：構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2a-x)或F(x)=f(a-x)-f(a+x).運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判定x

下面結(jié)合上述步驟解決文首提出問題的第二問.

(Ⅱ)解由(Ⅰ)有：a>0,x=1為y=f(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，函數(shù)定義域?yàn)镽，∴f(x)的圖象在R上開口向上.構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x)=xe2-x+(x-2)ex.

求得F′(x)=(x-1)(ex-e2-x).x=1時(shí)，F(xiàn)′(x)=0,x≠1時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，∴F(x)R上遞增.

又F(1)=0，∴x<1時(shí)，F(xiàn)(x)

二、極值點(diǎn)偏移的性質(zhì)

三、例題展示

例(2014·江蘇南通二模·20題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R),其圖象與x軸交于點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0)(x1

(Ⅰ)求a的取值范圍;

解析(Ⅰ)定義域?yàn)閤∈R,f′(x)=ex-a.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0,f(x)在R上遞增，函數(shù)不可能有兩個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí),∵當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí)，f′(x)<0,x∈(lna,+∞)時(shí)，f′(x)>0.

∴f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)x=lna時(shí)，f(x)min=f(lna)=elna-alna+a=2a-alna.

∵f(x)的圖象與x軸有兩交點(diǎn),

∴f(x)min=2a-alna<0,

∴a>e2.

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知：a>e2，x=lna為y=f(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn). ∴f(x)的圖象開口向上.

∴x10,∴0

∴F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，∴F(x)

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]譚琨.多元函數(shù)極值的研究與應(yīng)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

尹愛國，男，中學(xué)一級教師，碩士，長沙市骨干教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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