【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）42-0143-02

1.真題背景

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，他們的思想在從幾何向數(shù)論轉(zhuǎn)移，已經(jīng)有了數(shù)論的雛形。如今多邊形數(shù)已經(jīng)走入高中數(shù)學(xué)課本，出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)試卷上。之前我探過一道涉及多邊形數(shù)的高考題[1]，最近在整理歷年高考題的過程中，發(fā)現(xiàn)湖北省2009年理（文）科高考第10題也跟多邊形數(shù)中的平方三角形數(shù)有關(guān)（既是k邊形數(shù)又是正方形數(shù)的數(shù)即為平方k角數(shù)）。由于平方三角形數(shù)的歷史文化悠久，它最早可以追溯到阿基米德的群牛問題，在解決的過程中還與佩爾方程（形如x2-Dy2=±1的二元二次不定方程叫Pell方程）有著密切的關(guān)系。本文受此高考題啟發(fā)，探討了找出平方三角數(shù)、平方六角數(shù)的一般方法。

2.真題再現(xiàn)

2009年湖北高考理（文）科第10題

古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如：

圖1

圖2

他們研究過圖1中的1，3，6，10，……由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，……這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

考生可以根據(jù)圖形找出規(guī)律，運(yùn)用數(shù)列相關(guān)知識(shí)得出第n個(gè)三角形數(shù)為 。第n個(gè)正方形數(shù)為n2。首先排除D選項(xiàng)，因?yàn)?378不是完全平方數(shù)，然后就判斷1024沒有奇因數(shù)，因此 ≠1024排除B選項(xiàng)，因?yàn)?89=172，而289的因數(shù)只有1.17.289，因此289≠ ≠ 排除選項(xiàng)A。剩下1225=352= = 于是正確選項(xiàng)是C。

3.定理補(bǔ)充

定理1[2] 設(shè)D是一個(gè)正整數(shù)且不是一個(gè)完全平方，則方程

x2-Dy2=1 （*）

有無限多組整數(shù)解x，y，設(shè)x02-Dy02=1，x0>0，y0>0，是所有x>0，y>0的解中使x+y 最小的那組解（x0，y0叫作（*）式的基本解），則（*）式的全部解x，y，由x+y =±（x0+y0 ）n表出，其中n是任意整數(shù)。

定理2[2]設(shè)D是一個(gè)正整數(shù)且不是一個(gè)完全平方，如果方程

x2-Dy2=-1 （**）

有解，且設(shè)a2-Db2=-1，a>0，b>0是所有x>0，y>0的解中使x+y 最小的那組解（a，b叫作（**）式的基本解），則（**）式的全部解（有無窮多組）x，y，由x+y =±（a+b ）2n+1表出，其中n是任意整數(shù)，且ε=x0+y0 =（a+b ）2其中x0，y0是x2-Dy2=1的基本解。

4.找出平方三角數(shù)的一般方法

設(shè)三角形數(shù)的第n個(gè)為 ，正方形數(shù)的第m個(gè)為m2，若正整數(shù)m，n滿足

m2= （1）

則這樣的 或m2為平方三角數(shù)（如這道高考題中的1225，實(shí)際上這樣的數(shù)有無數(shù)個(gè)），（m，n）為滿足條件的有序數(shù)對(duì)（如最小的一對(duì)（1，1）再如這道高考題中的（35，49））。

像這樣的有序數(shù)對(duì)我們可以這樣找出：

將（1）式化簡變形得到[3]（2n+1）2-8n2=1 （2）

令X=2n+1 Y=2m （3）

n= m= （4）

則（2）式可化為

X2-2Y2=1 （5）

（X- Y）（X+ Y）=1

（X- Y）k（X+ Y）k=1k （6）

將已知的兩個(gè)數(shù)對(duì)（m，n）=（1，1）代入（3）式可求出（X，Y）=（3，2）

（3-2 ）k（3+2 ）k=1k （7）

其實(shí)（5）式就是一個(gè)Pell方程，類似（*）式，考慮到我們討論的平方三角形數(shù)都是正整數(shù)，我們將定理1中的解集變形如下式

X+Y =（3+2 ）k，k∈N+

在（7）式中

當(dāng)k=1時(shí)X+Y =（3+2 ）1，（m，n）=（1，1）平方三角數(shù)為1。

當(dāng)k=2時(shí)X+Y =（3+2 ）2=（17+12 ），（m，n）=（6，8）平方三角數(shù)為36。

當(dāng)k=3時(shí)X+Y =（3+2 ）3=（99+70 ），（m，n）=（35，49）平方三角數(shù)為1225。

當(dāng)k=4時(shí)X+Y =（3+2 ）4=（577+408 ），（m，n）=（204，288）時(shí)平方三角數(shù)為41616。

……

5.找出平方六角形數(shù)的一般方法

類似的我們也可以找出平方六角形數(shù)：

設(shè)六角形數(shù)的第n個(gè)為2n2-n，正方形數(shù)的第m個(gè)為m2，若正整數(shù)m，n滿足

m2=2n2-n （8）

則這樣的2n2-n或m2為平方六角數(shù)，（m，n）為滿足條件的有序數(shù)對(duì)（如最小的一對(duì)（1，1））。像這樣的有序數(shù)對(duì)我們同樣可以這樣找出：

將（8）式化簡變形得到n（2n-1）=2m2 （9）

令X= Y= （10）

n=X2 m=XY （11）

則（10）式可化為

2X2-Y2=1

Y2-2X2=-1 （12）

（Y- X）（Y+ X）=-1

（Y- X）2t+1（Y+ X）2t+1=（-1）2t+1 （13）

將已知的兩個(gè)數(shù)對(duì)（m，n）=（1，1）代入（10）式可求出（X，Y）=（1，1）

（1- ）2t+1（1+ ）2t+1=12t+1 （14）

其實(shí)（12）式也是一個(gè)Pell方程，類似（**）式，考慮到我們討論的平方六角形數(shù)都是正整數(shù)，則我們將定理2中的解集變形如下式

Y+X =（1+ ）2t+1，t∈N

當(dāng)t=0時(shí)Y+X =（1+ ）1= +1， （m，n）=（1，1）平方六角數(shù)為1。

當(dāng)t=1時(shí)Y+X =（1+ ）3=5 +7， （m，n）=（35，25）平方六角數(shù)為1225。

當(dāng)t=2時(shí)Y+X =（1+ ）5=29 +41， （m，n）=（1189，841）平方六角數(shù)為1413721。

……

從以上找出的平方三角形數(shù)、平方六角形數(shù)中可以發(fā)現(xiàn)：1225在這里真是一個(gè)奇特的數(shù)，1225= =2×252-25=352它既是三角形數(shù)又是六角形數(shù)，還是正方形數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王絢，由兩道涉及多邊形數(shù)的高考題引發(fā)的探討[J].數(shù)學(xué)通訊，2014，02

[2]柯召，孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠蘙M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.03

[3]譚彬.關(guān)于平方三角數(shù)及相關(guān)定理的證明[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，04