■浙江省龍灣中學(xué) 潘照萍

備考與圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)的多過程問題
——一浙江省高考物理試題為例

■浙江省龍灣中學(xué) 潘照萍

與圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)的多過程問題是近年來高考的熱門考點(diǎn)之一,比如2016年高考全國Ⅰ卷理綜第25題,2016年4月和10月浙江省新高考物理試題第20題都考查了與圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)的多過程問題。下面就以2016年浙江省新高考物理試題為例,談?wù)勁c圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)的多過程問題的復(fù)習(xí)備考。

例題如圖1所示,AB段是半徑R=2L的四分之一圓形軌道,CDO段是半徑r=L的半圓形軌道,半圓形軌道的最高點(diǎn)O處固定一個(gè)豎直擋板,小球碰到擋板后原速反向彈回,D為半圓形軌道的中點(diǎn)。兩個(gè)軌道均光滑,如圖連接固定?，F(xiàn)將一個(gè)質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止釋放,小球在豎直面內(nèi)的軌道上運(yùn)動(dòng)。小球能不能到達(dá)半圓形軌道的最高點(diǎn)O位置?

圖1

解析:將小球從A點(diǎn)由靜止釋放,A與O點(diǎn)等高,如果不考慮小球脫離半圓形軌道,那么小球到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度應(yīng)恰好為零,但是小球恰好到達(dá)半圓形軌道最高點(diǎn)O的臨界速度因此小球到達(dá)不了O點(diǎn),而將會(huì)在半圓形軌道的DO段某處脫軌。

點(diǎn)撥:有的同學(xué)會(huì)誤認(rèn)為軌道光滑,A與O點(diǎn)等高,直接根據(jù)能量守恒定律判斷小球到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度恰好為零。這些同學(xué)錯(cuò)在沒有考慮到小球在豎直面內(nèi)圓形軌道上過最高點(diǎn)的臨界條件。

變式1:如圖2所示,將小球從A點(diǎn)的正上方距水平線OA高H處由靜止釋放,小球沿圓弧切線進(jìn)入AB軌道,在豎直面內(nèi)的軌道上運(yùn)動(dòng),AB軌道粗糙,CDO軌道光滑。

問題1:當(dāng)H=L時(shí),小球恰好能夠到達(dá)O點(diǎn)位置,求小球克服摩擦力做的功。

解析:選小球從初位置運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)為研究過程,由動(dòng)能定理得

圖2

點(diǎn)撥:求解小球克服摩擦力做的功,需要從功能關(guān)系的角度入手。

問題2:小球碰到擋板原速反向彈回后,能不能滑出A點(diǎn)?

解析:如果小球從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)與小球反彈后從B點(diǎn)滑到A點(diǎn)的過程中克服摩擦力做功一樣,那么小球剛好到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度為零。小球在O點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能剛好等于小球在從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)的過程中克服摩擦力做的功,即但是小球從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)與小球反彈后從B點(diǎn)滑到A點(diǎn)的過程中克服摩擦力做功是不一樣的。因?yàn)樾∏蛟谲壍繟B段上做圓周運(yùn)動(dòng),需要向心力,根據(jù)能量守恒定律可知,小球反彈后從B點(diǎn)滑到A點(diǎn)比小球從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)的過程中相同位置時(shí)的速度要小,所需的向心力就小,對(duì)應(yīng)的摩擦力也小,摩擦力做功也少。因此小球滑到A點(diǎn)時(shí)的速度將大于零,即小球能夠滑出A點(diǎn)。

點(diǎn)撥:小球在粗糙的AB軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí),受到的摩擦力大小與速度有關(guān),這是一個(gè)難點(diǎn)。解這道題對(duì)我們深刻理解物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力及物體克服摩擦力做的功很有幫助。

變式2:如圖3所示,水平軌道BC與四分之一圓形軌道AB、半圓形軌道CDO平滑相連。已知H=1.4m,L=1m,m=1kg,小球與軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4,小球與其他軌道間的摩擦忽略不計(jì),取g=10m/s2。

圖3

問題1:小球第一次沖上軌道CDO,會(huì)不會(huì)脫軌?

解析:判斷小球會(huì)不會(huì)脫離軌道CDO,需要看兩個(gè)位置,即最高點(diǎn)O和半圓弧中間位置D點(diǎn)。如果小球能夠到達(dá)O點(diǎn)或到不了D點(diǎn),那么小球是不會(huì)脫軌的。如果小球能過D點(diǎn),但是過不了O點(diǎn),那么小球?qū)⒃贒O段某處脫軌。選小球從初位置運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)為研究過程,由動(dòng)能定理得mgH-μmg·所以小球第一次沖上軌道CDO,不會(huì)脫軌。

問題2:小球全程會(huì)不會(huì)脫離軌道CDO?

解析:小球第一次到達(dá)O點(diǎn),與豎直擋板碰后將原速反向彈回,計(jì)算出小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度,就能夠判斷出小球會(huì)不會(huì)脫離軌道CDO。當(dāng)小球恰好到達(dá)O點(diǎn)時(shí),由解得當(dāng)小球恰好到達(dá)D點(diǎn)(vD=0)時(shí),由選小球從初位置運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)為研究過程,小球第二次沖上軌道CDO,要3次經(jīng)過軌道BC,由mg(H+2L)-3μmg·2L=解得因此小球第二次沖上軌道CDO,到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度為零,此后小球?qū)⒀剀壍阑虏⒆罱K停在軌道BC上。小球全程將不會(huì)脫離軌道CDO。

點(diǎn)撥:在求解多過程問題時(shí),如果我們不能一眼看出物體做往返運(yùn)動(dòng)的次數(shù),那么可以一次一次地試探,直至找到其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

問題3:求小球在停止運(yùn)動(dòng)前,在水平軌道BC上經(jīng)過的總路程。

解析:選小球從初位置到最終停止位置為研究過程,由mg(H+2L)-μmgs=0,解得s=8.5m。

問題4:小球最終靜止時(shí),到B點(diǎn)的距離是多少?

解析:因?yàn)樾∏蛟谲壍繠C上經(jīng)過的總路程為8.5m,所以小球最終停在距離B點(diǎn)0.5m的位置。

圖4

變式3:如圖4所示,將軌道CDO換成半徑的螺旋圓形軌道CO,將小球與軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)改為μ=0.8,小球與其他軌道間的摩擦忽略不計(jì)。

問題:若H=2L,且小球在軌道CO上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到軌道的支持力不得超過其重力的9倍,試判斷小球能否安全地通過軌道CO。

解析:判斷小球能否安全地通過軌道CO,需要看兩個(gè)位置,即軌道最高點(diǎn)O和最低點(diǎn)C。小球在軌道最低點(diǎn)C受到的支持力最大,最有可能超過其重力的9倍。選小球從初位置運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)為研究過程,由mg·所以小球能夠過O點(diǎn)。由,解得N=10.6mg＞9mg,所以小球不能安全地通過軌道CO。

點(diǎn)撥:螺旋圓形軌道來自過山車模型,最低點(diǎn)C是錯(cuò)開的,只是沒有畫出來C'點(diǎn)。

變式4:在如圖4所示軌道的基礎(chǔ)上,依次與水平軌道CD、平滑軌道DE、半徑的螺旋圓形軌道EF、平滑軌道EG平滑相連,如圖5所示。軌道CD的長度為L,小球與軌道BC、CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.8,不計(jì)小球與其他軌道間的摩擦,且軌道EF的最高點(diǎn)F與D、G兩點(diǎn)等高。

圖5

問題:若H=2L,求小球過F點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力。

解析:因?yàn)閳A形軌道EF的最高點(diǎn)F與D、G兩點(diǎn)等高,所以vD=vF。選小球從初位置運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)為研究過程,由動(dòng)能定理得解得,解得N=5.4mg。根據(jù)牛頓第三定律可知,小球在F點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為5.4mg,方向豎直向上。

變式5:在如圖5所示軌道的基礎(chǔ)上,再平滑地連上一段粗糙的斜面軌道GK,光滑的水平軌道KJ與軌道GK平滑連接,J端固定一根輕彈簧,如圖6所示。斜面軌道的水平距離為與小球間的動(dòng)摩擦因數(shù)也為0.8。不計(jì)小球在銜接點(diǎn)的能量損耗。

圖6

問題1:若H=2L,小球能順利滑上軌道GK,并平滑地滑上軌道KJ,求彈簧的最大彈性勢能。

解析:因?yàn)镈、F、G三點(diǎn)等高,所以vD=vF=vG。取小球從初位置運(yùn)動(dòng)到K點(diǎn)為研究過程,由動(dòng)能定理得μmg·4.2L=Ek,解得Ek=0.14mg。小球在壓縮彈簧時(shí),彈簧的最大彈性勢能等于小球在K點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能,即Ep=Ek=0.14mg。

點(diǎn)撥:引入一根輕彈簧,考查彈性勢能等知識(shí)的題目在各地各類試題中經(jīng)常出現(xiàn)。例如2016年高考全國Ⅰ卷理綜第25題,2016年4月浙江省新高考物理試題第20題等。

問題2:小球經(jīng)彈簧反彈后,平滑地通過K點(diǎn),沿斜面軌道KG下滑,小球最終會(huì)不會(huì)停在斜面軌道KG上?若會(huì),試求小球最終停在距離平面KJ多高的位置處。

解析:選小球從K點(diǎn)下滑到停在斜面上的位置為研究過程,設(shè)小球最終停在距離平面KJ的高度為h的位置處,由動(dòng)能定理得

點(diǎn)撥:在與圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)的多過程問題中引入斜面模型,這在2016年浙江省新高考物理試題中連續(xù)兩次都考到。其他省份的同學(xué)們也應(yīng)該留意此類問題。

學(xué)習(xí)建議:與圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)的多過程問題,其實(shí)就是幾個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的拼接。同學(xué)們只要把直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)等分別理清楚,就不會(huì)懼怕這類題目。同學(xué)們可以有針對(duì)性地整理一下往返運(yùn)動(dòng)、螺旋圓形軌道和斜面模型遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。對(duì)于豎直圓形軌道,一般會(huì)考查最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力情況。另外,物體在豎直圓形軌道上的脫軌問題是難點(diǎn),小球如果脫離軌道,肯定是在四分之一圓弧位置到最高點(diǎn)這段圓弧脫軌,我們可以把這段圓弧叫危險(xiǎn)地帶,把其余四分之三圓弧叫安全地帶,如圖7所示。

圖7

(責(zé)任編輯 張 巧)