◇王 薏

“烙餅問題”教學(xué)實(shí)錄

◇王 薏

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

1.出示情境圖（如圖 1）。

圖1

師：從圖中你能獲得什么信息？

生：我知道了每次最多只能烙2張餅。

師：你還讀懂什么了？

生：兩面都要烙，每面需要用3分鐘。

2.提出問題。

師：知道了這些信息，你們想研究什么問題？

生：我想研究一次烙2張餅，烙熟它們需要幾分鐘。

師：他想研究關(guān)于烙餅時(shí)間的問題，你們想研究嗎？（生：想）那我們就一起來研究烙餅時(shí)間的問題。

二、動手實(shí)踐，探究方法

1.研究2張餅的烙法。

師：媽媽和小紅每人吃1張餅，怎樣才能盡快吃上餅？“盡快吃上餅”是什么意思？

生：烙2張餅用的時(shí)間最少。

師：烙2張餅最少需要幾分鐘？先請你們大膽地猜一猜。

生：12分鐘。

師：大家有不同意見嗎？

生：6分鐘。

師：到底是12分鐘還是6分鐘？我們請用12分鐘和6分鐘的同學(xué)分別給大家演示一下他們是怎么烙的。

（師分別請用12分鐘和6分鐘的學(xué)生到前面演示）

師：你們打算怎么演示?。繋э灹藳]有？（生：沒有）那用什么來演示呢？

生：（齊）用手。

師：他們給你們出了個主意，用你們的小手來演示，行不行？（教師請學(xué)生分別舉起自己的手）好了，這是一張餅，這是另一張餅，你們準(zhǔn)備好了餅，我?guī)湍銈儨?zhǔn)備好鍋，咱們就現(xiàn)場烙一烙，其他同學(xué)干什么呢？記下時(shí)間，好不好？（生：好）烙的時(shí)候先烙的這面我們管它叫餅的——

生：（齊）正面。

師：然后再烙的這面叫作——

生：（齊）背面（反面）。

師：就叫反面吧。如果餅這面熟了，其他同學(xué)幫著記時(shí)間，我們先請用12分鐘的同學(xué)演示吧。

生：（舉起一只手的正面放在教師的胳膊上）刺啦，熟了。

生：（齊）3 分鐘。

生：（舉起這只手的反面放在教師的胳膊上）刺啦，熟了。

生：（齊）3 分鐘。

（生用另一只手當(dāng)作第二張餅，也用了6分鐘）

師：2張餅烙熟了嗎？（生：熟了）用了幾分鐘？

生：（齊）12 分鐘。

生：（用6分鐘的學(xué)生迫不及待）他用的時(shí)間不是最少的，6分鐘也能把餅烙熟。

師：讓我們一起看看他的烙法。

生：（同時(shí)舉起兩只手的正面放在教師的胳膊上）刺啦，熟了。

生：（齊）3 分鐘。

生：（同時(shí)翻到兩只手的反面放在教師的胳膊上）刺啦，熟了。

生：（齊）3 分鐘。

師：2張餅烙熟了嗎？（生：熟了）用了幾分鐘？

生：（齊）6 分鐘。

師：（面向用12分鐘的學(xué)生）人家用6分鐘把這2張餅烙熟了，你剛才用了——

生：12分鐘。我改主意了。

師：你怎么改變主意了？

生：因?yàn)槲矣玫臅r(shí)間不是最少的。

師：讓我們一起來看一看，怎樣盡快烙熟2張餅？

（生說，師用課件演示，如圖2）

圖2

師：在研究烙2張餅的時(shí)候，我們是怎樣盡快烙熟的？你們能給這種方法起個名字嗎？

生：同時(shí)。

師：他說叫“同時(shí)”的方法，你們覺得行不行？我們用“同時(shí)”的方法把這2張餅烙熟了，最少需要幾分鐘？

生：（齊）6 分鐘。

師：可以怎么算？

生：3×2=6。

師：為什么采用“同時(shí)”的方法可以用最少的時(shí)間把2張餅烙熟呢？

生：本來是用同樣的時(shí)間烙1張餅，可他現(xiàn)在同時(shí)烙了2張餅，相當(dāng)于省了一半的時(shí)間。

師：這個時(shí)間省在哪兒了？

生：2張餅把鍋里的位置都占了。

師：要想節(jié)省時(shí)間，就得想辦法把鍋充分利用起來，能2張同時(shí)烙的，就不要單張去烙。

（師板書如下）

張數(shù) 烙餅方法 最少需要時(shí)間（分鐘）

2 同時(shí) 3×2=6

2.研究3張餅的烙法。

出示情境圖（如圖3）。

圖3

師：他們要想盡快吃上3張餅，最少需要幾分鐘？

生：9分鐘。

師：還有不同意見嗎？

生：我認(rèn)為是6分鐘。

師：咱們先請用9分鐘的同學(xué)來烙一烙好不好？

生：（同時(shí)伸出兩只手的正面放在教師的胳膊上）先烙2張餅的正面，刺啦，熟了。

生：（齊）3 分鐘。

生：（撤掉一只手，把另一只手翻面，另一生伸出一只手）然后烙第三張餅的正面和第二張餅的反面，刺啦，熟了。

生：（齊）3 分鐘。

生：第1張餅熟了，再烙第2張的反面和第3張的反面，（伸出剛才撤掉那只手的反面，另一生把已伸出的手翻面）刺啦，熟了。

生：（齊）3 分鐘。

師：3張餅都烙熟了嗎？

生：（齊）烙熟了。

師：用了幾分鐘？

生：（齊）9 分鐘。

師：他們用了9分鐘，你們有什么要說的？

生：（剛才說“6分鐘”的）我覺得我們算錯了。

師：烙熟3張餅至少需要幾分鐘？

生：9分鐘。

師：讓我們來回憶一下，他們是用什么方法把這3張餅烙熟的呀？

（生說，師用課件演示，如圖4）

圖4

師：他們是用什么方法烙的？你們能給這種烙法起個名字嗎？

生：（齊）交錯，交替。

師：你們是怎么算的？

生：（齊）3×3=9。

師：烙這3張餅，我們能不能先烙熟2張餅，再烙熟那1張餅？（生：不能）為什么？

生：因?yàn)檫@樣耗費(fèi)時(shí)間，本來可以用9分鐘烙熟的，這樣應(yīng)該是用了12分鐘才烙熟。

師：這樣交替烙，時(shí)間節(jié)省在哪兒了？

生：因?yàn)橛媒惶胬拥姆椒ǎ恳淮五伬锏膬蓚€位置都被占了。

師：看來，同樣都能烙熟餅，交替烙最大限度地使用了鍋的資源，從而節(jié)約了時(shí)間。

（板書：3 交替 3×3=9）

3.研究4～6張餅的烙法。

師：我們研究完了烙2張餅、3張餅，那烙4張餅、5張餅、6張餅最少需要幾分鐘，你們能小組合作來研究嗎？

（生小組合作研究）

師：（展示學(xué)生畫的圖）烙4張餅最少需要多長時(shí)間？

生：我們先烙第1張餅和第2張餅的正面，再烙它們的反面，3×2=6（分鐘）。然后烙第3張餅和第4張餅的正面，再烙它們的反面，3×2=6（分鐘），6+6=12（分鐘）。

師：大家還有不同的方法嗎？

生：先烙第1張餅的正面和第2張餅的正面，用了3分鐘。然后烙第1張餅的反面和第3張餅的正面，也用了3分鐘……我們用交替的方法也是12分鐘。

師：都是12分鐘，你們會選擇哪種烙法呢？

生：同時(shí)。

師：為什么你們都更傾向于同時(shí)的烙法？

生：因?yàn)橥瑫r(shí)比較簡便，如果用交替的方法，可能覺得這一張餅正面烙完了拿出去，再烙另一張餅，倒來倒去的，可能這一張餅已經(jīng)烙熟了，你又把它再烙一遍。

師：他們覺得倒來倒去的，有點(diǎn)兒折騰。剛才選擇交替方法的同學(xué)，此時(shí)你們有什么要說的？

生：他們說的有道理，我們也選擇同時(shí)的方法。

（板書：同時(shí)）

師：怎么計(jì)算得到12分鐘？

（板書：3×4=12）

師：烙4張餅，我們可以借鑒前面烙幾張餅的經(jīng)驗(yàn)？

生：和烙2張餅的方法是一樣的，都是先同時(shí)烙2張。

師：同樣是烙4張餅，你們怎么不先烙3張?jiān)倮?張?。?/p>

生：鍋的資源被浪費(fèi)了。

師：烙5張餅最少需要多長時(shí)間？

生：第一次先烙第1張餅和第2張餅的正面，然后第二次是把第2張餅?zāi)玫?，烙?張餅的正面和第1張餅的反面，這樣第1張餅就已經(jīng)熟了。然后再烙第2張餅和第3張餅的反面，這樣第2張和第3張也都熟了。之后烙第4張和第5張餅的正面，最后烙第4張和第5張餅的反面，這樣所有餅都熟了，我們用了15分鐘。

師：在烙5張餅的時(shí)候，你們用的是什么方法？

生：交替、同時(shí)。

師：有同時(shí)，還有交替，我們最少用了幾分鐘把它們烙熟的呀？

生：15分鐘。

師：在烙5張餅的時(shí)候，有沒有想到前面烙餅的方法，對你有什么啟發(fā)？

生：我發(fā)現(xiàn)它們是有規(guī)律的，烙2張餅的時(shí)候他們用的是同時(shí)的方法。我發(fā)現(xiàn)2張餅和4張餅是偶數(shù)，所以他們用的是同時(shí)。然后烙3張餅和5張餅，因?yàn)?和5都是奇數(shù)，所以都用的是交替，但是5張餅比較多，所以用了兩種方法。

師：那實(shí)際上在烙4張餅的時(shí)候，我借鑒了烙幾張餅的經(jīng)驗(yàn)？

生：烙2張餅的經(jīng)驗(yàn)。

師：我可以把4張餅看成什么呢？

生：（齊）2+2。

師：真棒，看成一個2張餅和另一個2張餅，借鑒了烙2張餅的經(jīng)驗(yàn)。烙5張餅的時(shí)候，我們又借鑒了什么經(jīng)驗(yàn)？

生：烙5張餅可以用前面烙2張餅和3張餅的經(jīng)驗(yàn)。

師：那實(shí)際上我們可以把這5張餅看成什么？

生：（齊）2+3。

師：我們在烙2張餅和3張餅的時(shí)候分別得到了同時(shí)和交替這樣的經(jīng)驗(yàn)，再烙4張餅和5張餅的時(shí)候我們就借鑒了前面的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)加經(jīng)驗(yàn)就成新經(jīng)驗(yàn)了。

師：在烙5張餅的時(shí)候你們有沒有這樣烙的：先烙熟4張餅，再來烙熟剩下的那1張餅？

生：用交替的方法可以更節(jié)省時(shí)間。而用你說的方法，烙第5張餅的時(shí)候，它就單獨(dú)一張，鍋里的空余比較多，如果用交替方法的話這一個鍋中的兩個位置可以同時(shí)用了。

師：那么烙6張餅的時(shí)候你們要采用什么樣的方法？

生：（齊）同時(shí)。

師：你們都要采用同時(shí)的方法，那么最少需要幾分鐘呢？

生：18 分鐘，3×6=18。

師：你們怎么都想到用同時(shí)的方法呢？你們又借鑒了什么經(jīng)驗(yàn)呀？

生：（齊）2+4。

師：那個4我也可以看成再借鑒前面的什么經(jīng)驗(yàn)？

生：2+2。

師：如果我們要研究烙7張餅用什么方法？

生：同時(shí)加交替。

師：太棒了，你們真會學(xué)習(xí)。那么最少需要幾分鐘呢？

生：21分鐘。

師：你們是怎么知道的？

生：3×7=21。

（師板書如下）

4 同時(shí) 3×4=12

5 同時(shí)、交替 3×5=15

6 同時(shí) 3×6=18

7 同時(shí)、交替 3×7=21

……

三、分析歸納，總結(jié)方法

師：烙到這里，我們還要不要往下烙了？如果咱們班每人吃1張餅，烙35張餅，最少需要多少分鐘？

生：（齊）105 分鐘。

師：那研究到這里，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)了只要一開始是3×2的話，只要用3乘這個張數(shù)就可以得到它的時(shí)間，然后依此類推，比如說，如果是烙8張餅的話，就是用3×8=24（分鐘）。

師：她發(fā)現(xiàn)了怎樣得到最少的時(shí)間，那你們覺得怎樣烙才能得到最少的時(shí)間??？

生：充分利用鍋里面的兩個位置，不要讓它空出來。

師：那用什么方法來得到最少的時(shí)間是多少呀？她發(fā)現(xiàn)了什么？

生：用3乘餅的張數(shù)。

師：這個3表示什么？

生：烙熟每面的時(shí)間。

師：烙1張餅按照這個規(guī)律需要幾分鐘？

生：6分鐘。

師：不對呀，3×1=3，怎么烙1張餅就用6分鐘，而不是3分鐘??？

生：因?yàn)樗棵娑家?分鐘，兩面就要烙6分鐘。

師：看來要想達(dá)到最少的時(shí)間還需要有點(diǎn)兒條件，要把這個鍋里的2個位置怎么樣？

生：充分利用。

師：鍋里有2個位置，這個2叫作資源數(shù)，餅的張數(shù)和這個資源數(shù)有怎樣關(guān)系時(shí)用的時(shí)間才是最少的呢？

生：就是一個鍋里面充分利用上它的位置。

師：也就是這個烙餅的張數(shù)要比這個2——

生：大或相等。

師：在這個前提下才能實(shí)現(xiàn)烙餅的時(shí)間最少。剛才我們在研究烙餅問題中得到了很多種方法，在這些方法里面最節(jié)省時(shí)間的方法我們選出來了。從眾多的方案中選出那個最省時(shí)間的、最優(yōu)的方案在數(shù)學(xué)上叫作什么呢？

生：優(yōu)化。

師：太棒了，你們對優(yōu)化已經(jīng)有一些初步的認(rèn)識了。

四、實(shí)踐應(yīng)用，提升認(rèn)識

師：難道3分鐘就真的不能烙熟1張餅嗎？

生：（齊）不能。

師：（出示電餅鐺圖片，圖略）這是什么？

生：（齊）電餅鐺。

師：你們知道電餅鐺是怎么烙餅的嗎？大家比畫一下，看3分鐘能不能烙熟1張餅。

生：（大笑）能。

師：看來對工具改良之后得到的這個新的工具也是一種優(yōu)化。提到優(yōu)化我們要提一個人，（出示華羅庚的照片，圖略）這是誰呀？

生：（齊）華羅庚。

師：華羅庚爺爺最早在我國提出了數(shù)學(xué)中的“優(yōu)選法”——“合理安排”時(shí)間的這種思想方法，為人們節(jié)約資源、提高效率作出了貢獻(xiàn)。現(xiàn)在這種思想已經(jīng)形成了數(shù)學(xué)中的一門分支學(xué)科——運(yùn)籌學(xué)，可能以后我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候還會要用到。

（介紹生活中的優(yōu)化現(xiàn)象：潮汐車道、雙層巴士車、多層蒸籠、立交橋、上下鋪……）

師：其實(shí)生活中這樣的現(xiàn)象有很多，今天這節(jié)課我們借助烙餅問題體會了優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想，也希望優(yōu)化能成為我們今后思考問題的一種方式。

（作者單位：北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校）