■河南省沈丘縣第二高級中學(xué)高二(23)班 王玢珂
如何利用函數(shù)的單調(diào)性解題
■河南省沈丘縣第二高級中學(xué)高二(23)班 王玢珂
函數(shù)的單調(diào)性是我們在學(xué)習函數(shù)時要掌握的重要性質(zhì)之一,也是每年高考考查函數(shù)時要重點考查的內(nèi)容。在高考試題中,我們通常所見到的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性來解決的問題不外乎求參數(shù)的取值范圍、解不等式與求函數(shù)的最值等三類。
如果是利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式,則一定要注意函數(shù)的定義域,也就是要先落實函數(shù)的定義域,否則極易出現(xiàn)錯解。
例2 已知函數(shù)f(x)是增函數(shù),定義域為(0,+∞),且f(4)=2,f(xy)=f(x)+f(y),求滿足f(x)+f(x-3)≤2的x的取值范圍。
解析:因為f(x)+f(x-3)≤2,f(xy)=f(x)+f(y),所以f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2=f(4)。
又因為f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以x(x-3)≤4,解得-1≤x≤4。
由題意知,滿足f(x)+f(x-3)≤2的x的解可由以下不等式組解得:
故x的取值范圍是3<x≤4。
因為0<x1<x2≤1.6,所以x1-x2<0,且x1·x2-3<0。
所以f(x1)-f(x2)>0,即函數(shù)f(x)在0<x≤1.6上是減函數(shù)。
所以f(x)≥f(1.6)=-0.525,故所求函數(shù)的最小值為-0.525,無最大值。
評析:該題是一個解答函數(shù)求解最值的問題,函數(shù)單調(diào)性在解答過程中的運用主要體現(xiàn)在通過題設(shè)所給函數(shù)等價變形為f(x),把原問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)單調(diào)性的討論,明確單調(diào)性后利用單調(diào)性達到求解最值的目的。
(責任編輯 趙 平)
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))2017年10期