丁建生

抓住好方法 解題有“鑰匙”

丁建生

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓和靈魂，是研究和解決數(shù)學(xué)問題的“金鑰匙”.“一元一次方程”這一章含有許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，下面舉例說明.

一、化歸思想

解方程的過程就是通過去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知數(shù)的系數(shù)化為1等步驟，把一個(gè)一元一次方程轉(zhuǎn)化為x=a的最簡形式，這就是一個(gè)化歸的過程，也就是化復(fù)雜為簡單、化困難為容易、化陌生為熟悉的過程.

例1 已知a∶b∶c=2∶3∶4，a+b+c=27，求a-2b-2c的值.

【分析】要求所給式子的值，必須先求出a，b，c的值.

解：由a∶b∶c=2∶3∶4，可設(shè)a=2k，b=3k，c=4k.

再由a+b+c=27得2k+3k+4k=27.解得k=3.

故a=6，b=9，c=12.

所以a-2b-2c=6-2×9-2×12=-36.

【反思】（1）本題是把求代數(shù)式值的問題轉(zhuǎn)化為建立方程的問題，而當(dāng)引進(jìn)參數(shù)k后，已知的兩個(gè)式子就建立了一種聯(lián)系.今后遇到連比一般都可以引進(jìn)參數(shù)k，從而將問題迅速轉(zhuǎn)化.

（2）本題也可這樣解：由a∶b∶c=2∶3∶4，也就是a∶c=2∶4，b∶c=3∶4.

這種解法顯然沒有第一種解法簡潔！但這兩種解法都體現(xiàn)了一種轉(zhuǎn)化思想：把多個(gè)字母（多元）a、b、c轉(zhuǎn)化為一個(gè)字母（一元）k或c.

二、整體思想

有時(shí)解決問題的過程中需要我們不拘泥于問題中的局部與細(xì)節(jié)，而將問題中的某一部分（某些元素）視為整體才能順利正確解決.

【分析】問題看似超過了我們的學(xué)習(xí)要求，無從下手.但若我們將 ||x-1看作一個(gè)整體，就柳暗花明了.

去分母：y-1-5=6-y.

解得y=6.所以 ||x-1=6.

故 x-1=±6，所以x1=7，x2=-5.

【分析】分別求a、b、c、d、e、f，這不可能！但在變化的過程中，a、b、c、d、e、f的大小、順序不變，只是“整體”地移動(dòng)了位置，故可將看作整體.

根據(jù)題意得5000000+M=3（10M+5）+8.

解得M=172413.

所以原數(shù)為5172413.

【反思】在上述兩個(gè)問題中，當(dāng)把 ||x-1看作整體并設(shè)為y、把看作整體并設(shè)為M后，問題就都變成了一元一次方程.如果沒有這樣的整體看問題的數(shù)學(xué)眼光，解決問題就很復(fù)雜，甚至無法解決.

三、分類討論

在解答一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)遇到多種情況，需要我們對(duì)各種情況加以分類，并逐一求解，才能綜合得解，這就是分類討論法.運(yùn)用分類討論，才能使問題的解決全面而嚴(yán)謹(jǐn).

例4 當(dāng)a為何整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程2ax=（a+1）x+6有正整數(shù)解？并求出所有解的和.

【分析】從“關(guān)于x的方程”知，x為未知數(shù)；從“x為正整數(shù)解”知，必須先求x.

解：原方程可化為（a-1）x=6，

要使x為正整數(shù)，a-1必須是6的正約數(shù).

故當(dāng)a-1=1即a=2時(shí)，x=6.

當(dāng)a-1=2即a=3時(shí)，x=3.

當(dāng)a-1=3即a=4時(shí)，x=2.

當(dāng)a-1=6即a=7時(shí)，x=1.

所以，所有解的和=6+3+2+1=12.

【反思拓展】若把“正整數(shù)解”改為“整數(shù)解”，a是哪些整數(shù)？這要求我們看題目必須斟字酌句；本題中對(duì)a與x的兩個(gè)整數(shù)的限制，使不確定的（無限）問題變成了有限的、可列舉的幾個(gè)確定性問題.延用這種方法，可以解決下列問題：

將2到10這9個(gè)自然數(shù)填入3×3的表格中，每個(gè)數(shù)只能填一次，且使中間行、中間列及表的對(duì)角線各經(jīng)過的三格上的三個(gè)數(shù)的和相同，則中間方格中的數(shù)是多少？和是多少？【提示：設(shè)中間方格里的數(shù)是x，中間行（列、對(duì)角線）上三個(gè)數(shù)的和是y，由題意得4y-3x=2+3+4+5+6+7+8+9+10，所以x=y-18，再由x只能取2到10的整數(shù)，故y應(yīng)為3的倍數(shù)，所以y=15，18，21，對(duì)應(yīng)的x=2，6，10.】

例5 已知廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為甲種每臺(tái)1500元，乙種每臺(tái)2100元，丙種每臺(tái)2500元.若商場同時(shí)購進(jìn)其中兩種不同型號(hào)電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)一下商場的進(jìn)貨方案.

【分析】三種型號(hào)，兩兩組合，應(yīng)分三種情況討論.

解：（1）設(shè)同時(shí)購進(jìn)甲、乙兩種電視機(jī)，甲種x臺(tái)、乙種（50-x）臺(tái)，則1500x+2100（50-x）=90000，解得x=25.

50-x=50-25=25.

（2）設(shè)同時(shí)購甲、丙兩種電視機(jī)，甲種x臺(tái)、丙種（50-x）臺(tái)，則1500x+2500（50-x）=90000，解得 x=35.

50-x=50-35=15.

（3）設(shè)同時(shí)購進(jìn)乙、丙兩種電視機(jī)，乙種y臺(tái)、丙種（50-y）臺(tái)，則 2100y+2500（50-y）=90000.

解得y=87.5（不合題意，舍去）.

故商場進(jìn)貨方案為：購甲種25臺(tái)，乙種25臺(tái)；或購甲種35臺(tái)，丙種15臺(tái).

【反思拓展】一般方案設(shè)計(jì)與選擇問題，都要作分類討論，本題很明顯要分三種情況計(jì)算（.1）如果題目再加一個(gè)條件：甲每臺(tái)賣出價(jià)1650元，乙每臺(tái)賣出價(jià)2300元，丙每臺(tái)賣出價(jià)2750元，為了獲得最大利潤，應(yīng)選擇哪種方案？這時(shí)應(yīng)對(duì)已有的兩種方案再作討論（兩種情況），計(jì)算比較后進(jìn)行選擇（.2）如果題目條件不變，要求用9萬元同時(shí)購進(jìn)三種不同型號(hào)的電視機(jī)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)購買方案.這時(shí)可設(shè)購甲種x臺(tái)、乙種y臺(tái)、丙種（50-x-y）臺(tái)，方程為1500x+2100y+2500（50-x-y）=90000，解得x=35-y，再由x、y是非負(fù)整數(shù)的約束條件，不難得到四種方案.

當(dāng)然，這一章還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)形結(jié)合等思想.事實(shí)上，方程是數(shù)學(xué)中的重要模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠虇栴}就是建立方程模型的過程；用方程解決實(shí)際問題的過程中有時(shí)需用線段圖、柱狀圖等表示數(shù)量之間的關(guān)系，進(jìn)而找出其中的等量關(guān)系并列出方程，這就是數(shù)形結(jié)合思想的典型運(yùn)用.只要我們用心學(xué)習(xí)、體悟數(shù)學(xué)思想方法，就一定能迅速選擇合適的“鑰匙”解決問題，并提高解決問題的能力.

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)）