黃萌佳，張雅慧，唐興巧

(蘭州交通大學數(shù)理學院，甘肅蘭州 730070)

具有知識溢出效應的雙寡頭博弈的混沌動力學分析

黃萌佳，張雅慧，唐興巧

(蘭州交通大學數(shù)理學院，甘肅蘭州 730070)

把不同理性、非線性成本及知識溢出效應等參數(shù)引入到模型中，建立了具有學習能力的有限理性異質(zhì)雙寡頭博弈模型，對有限理性預期下的動態(tài)決策過程和系統(tǒng)的混沌復雜性進行研究，并借助Matlab工具分析了系統(tǒng)在相關參數(shù)變動下企業(yè)雙方的演化路徑，探討了企業(yè)雙方生產(chǎn)技術水平、知識溢出效應的差異對系統(tǒng)的影響.

雙寡頭；學習能力；知識溢出；混沌

雙寡頭市場是最具有代表性的寡頭壟斷市場，在經(jīng)濟學中，Cournot模型[1]與Bertrand模型[2]都是研究寡頭市場的經(jīng)典理論，但 Cournot模型是以生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品和給定產(chǎn)量為前提，Bertrand模型是以價格作為決策變量.近年來，國內(nèi)外許多經(jīng)濟學者對Cournot模型進行了改進，把有限理性、適應性預期、不同的策略和溢出效應等因素引入到經(jīng)典的Cournot模型中，使得該模型成為分析寡頭市場中各個企業(yè)策略行為時應用最廣泛的模型之一，并通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)倍周期分岔、混沌等一系列復雜的動力學現(xiàn)象.Jaffe[3]提出企業(yè)間的知識溢出是指企業(yè)通過觀察其它企業(yè)的產(chǎn)品技術，低成本地學習其它企業(yè)的創(chuàng)新，提高自身研發(fā)效率.劉天卓等[4]分析了知識溢出的雙寡頭博弈，但未分析其混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生.馬如飛等[5]利用微分博弈研究了雙寡頭企業(yè)的動態(tài)研發(fā)和合作競爭的問題，但研究限定兩家企業(yè)生產(chǎn)相同的產(chǎn)品.然而在一個雙寡頭市場競爭中兩家企業(yè)可能生產(chǎn)異質(zhì)產(chǎn)品，并且每個企業(yè)的學習能力也是有限的.植璟涵等[6]分析了具有技術溢出和學習能力的有限理性企業(yè)間的寡頭競爭，并研究了社會福利的影響，但是未分析動態(tài)系統(tǒng)的混沌復雜性下不同策略對系統(tǒng)混沌模型的解釋.Tramontanna[7]和 Ma[8]對寡頭競爭的異質(zhì)產(chǎn)品進行研究，但未分析其企業(yè)間較為復雜的動力學性質(zhì).易余胤等[9]對寡頭競爭進行了比較詳細的動力學研究，分析企業(yè)間較為復雜的動力學現(xiàn)象，但未對混沌分岔現(xiàn)象進行詳細解釋.本文以企業(yè)的生產(chǎn)量作為研究變量，分析各寡頭間重復博弈過程的復雜性，并通過產(chǎn)量的逐步調(diào)整策略[10]，研究非線性動力系統(tǒng)中寡頭的產(chǎn)量競爭.通過理論分析、數(shù)學模型的推導以及數(shù)值仿真模擬來研究市場中各企業(yè)的博弈競爭過程，利用混沌動力學理論研究各企業(yè)在博弈過程中所體現(xiàn)的復雜動力學行為，從而為各企業(yè)在市場競爭中如何采取策略提供理論支持.

1 模型的構(gòu)建與求解

假設在某一地區(qū)某一市場中，有兩個生產(chǎn)異質(zhì)產(chǎn)品的企業(yè)，分別記為企1和企業(yè)2，兩家企業(yè)在市場上進行產(chǎn)量競爭.其中q1(t)和q2(t)分別表示企業(yè)1和企業(yè)2在t時刻的產(chǎn)量水平，假設企業(yè)i(i=1,2)在時刻t的逆需求函數(shù)為：

其中a, b, d是三個確定的參數(shù)，且0≤d≤b，a表示企業(yè)1所處市場的規(guī)模，b表示企業(yè)2對自身價格的敏感程度，d反映了兩個企業(yè)所生產(chǎn)產(chǎn)品的可替代性.d接近b說明可替代程度較高；d=b時，產(chǎn)品可以完全替代，也就是說兩個產(chǎn)品是同質(zhì)的；d=0時，表明這兩個產(chǎn)品是完全異質(zhì)的.假設企業(yè)i(i=1,2)的成本函數(shù)為：

企業(yè)i(i=1,2)的利潤函數(shù)分別為：

企業(yè)1的邊際利潤函數(shù)為：

有限理性雙寡頭企業(yè)i(i=1,2)將采用不同的調(diào)整機制對產(chǎn)量進行調(diào)整.假設企業(yè)1理性程度較高，掌握市場信息更豐富，采用GD機制[11-13].它會根據(jù)對邊際利潤的局部估計來決定下一期的產(chǎn)量，若其為正（負）企業(yè)1將增加（減少）下一期的產(chǎn)量.企業(yè)1的產(chǎn)量調(diào)整機制為：

其中w表示企業(yè)1的產(chǎn)量調(diào)整速率.

假設企業(yè)2采取自適應性預期，也就是說其在確定下一時期的產(chǎn)量時，基于自己上一期的產(chǎn)量決策與上一時期的最優(yōu)產(chǎn)量決策進行，可表示為：

假設企業(yè)2具有一定的學習能力，通過多次博弈，其逐步達到完美決策.因此，得到企業(yè)2的具有學習能力的自適應產(chǎn)量調(diào)整機制為：

其中g為企業(yè)2的學習吸收能力.g=0時，企業(yè)2的學習能力很強；g=1時，企業(yè)2沒有學習能力.此時表達式退化為適應性預期方程，由（8）可得

可得到具有不同理性和學習能力的雙寡頭動態(tài)產(chǎn)量調(diào)整模型：

2 雙寡頭動態(tài)壟斷模型的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

把（15）式和（16）式分別代入條件1）、條件2）和條件3）中，則條件2）變?yōu)?/p>

由于均衡點的非負性可得（17）式恒成立，因此條件 2）滿足.則系統(tǒng)的穩(wěn)定域由條件 1）和條件3）決定.其中條件1）可寫為：

2.3 數(shù)值模擬

為更好地分析系統(tǒng)（11）的動力學特性，借助Matlab工具進行數(shù)值模擬，圖1為企業(yè)1調(diào)整參數(shù)w的變動對系統(tǒng)演化的影響.系統(tǒng)的參數(shù)取值為：企業(yè)i(i=1,2)的產(chǎn)量初始值分別為：當w＜ 0.1452時，Nash均衡點是穩(wěn)定的.當w=0.1452時，系統(tǒng)出現(xiàn)了兩周期分岔.當w進一步增大將不再穩(wěn)定，企業(yè)產(chǎn)量將會出現(xiàn)四周期分岔、混沌等復雜的動力學現(xiàn)象.圖2表示其它參數(shù)不變，企業(yè)2學習能力指數(shù)g增強時，企業(yè)1調(diào)整參數(shù)w的變動對系統(tǒng)（11）演化的影響，其參數(shù)取值分別為：.從圖1和圖2可以看出，學習能力增強后雙方均衡產(chǎn)量減少，并產(chǎn)生不同的混沌行為.

圖1 g=0.3時，w的變動對系統(tǒng)（11）演化的影響Fig 1 Dynamic Process of the System (11)with Respect tow, when g=0.3

圖2 g=0.7時，w的變動對系統(tǒng)（11）演化的影響Fig 2 Dynamic Process of the System (11)with Respect tow, when g=0.7

2.4 Lyapunov指數(shù)圖分析

Lyapunov指數(shù)是定量描述混沌系統(tǒng)的一個重要指標，它的值是實數(shù).對于系統(tǒng)是否存在混沌現(xiàn)象可從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零來判斷.當最大Lyapunov指數(shù)為負時，相空間體積收縮處于穩(wěn)定運動狀態(tài)，不具備初值敏感性.當其大于零時，相空間軌道分離[15]，并具有初值敏感性，這時整個系統(tǒng)將處于混沌狀態(tài).當最大Lyapunov指數(shù)為0時，系統(tǒng)處于兩者臨界狀態(tài).圖3為系統(tǒng)（11）隨w變化時的最大Lyapunov指數(shù)圖，從圖3可以看出當時系統(tǒng)的最大 Lyapunov指數(shù)為負，且系統(tǒng)最終將處于穩(wěn)定狀態(tài).這時兩個企業(yè)的生產(chǎn)量處于穩(wěn)定域內(nèi)，始終保持Nash均衡狀態(tài).最大Lyapunov指數(shù)接近于0點，即點與圖1中系統(tǒng)的第一次分岔點是相對應的，這時系統(tǒng)將會出現(xiàn)周期分岔現(xiàn)象.當時，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)小于0.時，最大Lyapunov指數(shù)接近于0點，與圖1中第二次分岔點是相對應的.隨著w值的繼續(xù)增大，這個時候系統(tǒng)將逐步進入到混沌狀態(tài)，Nash均衡點處不再穩(wěn)定，整個市場將處于混亂競爭狀態(tài).

圖3 系統(tǒng)（11）隨w變化時的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig 3 Maximum Lyapunov Exponent Diagram with Variation of w in System (11)

2.5 系統(tǒng)吸引子分析

奇異吸引子是混沌現(xiàn)象的一個重要的內(nèi)在特征，是對相空間中不規(guī)則軌道的一個度量，并且具有臨近點吸引子發(fā)生指數(shù)的離析特征，即隨著時間推移，確定性的系統(tǒng)會發(fā)生變化，這就是所謂的對初始條件的敏感依賴程度.圖4是w取不同值時的混沌吸引子，與圖1中系統(tǒng)（11）關于w的單參分岔圖相對應.從圖4中可以看出，隨著w取值的不斷增大，分形結(jié)構(gòu)越來越清晰，吸引子的圖像也越來越完整.

圖4 系統(tǒng)（11）中w取不同值時的混沌吸引子Fig 4 Chaotic Attractors when w is Applied with Different Value in System (11)

從圖4中（a）圖可看出當w=0.1321時系統(tǒng)是穩(wěn)定的，（b）圖中當w=0.1563時系統(tǒng)發(fā)生2周期分岔，（c）圖中當w=0.1822時系統(tǒng)發(fā)生4周期分岔，（d）圖中當w=0.1872時系統(tǒng)發(fā)生 8 周期分岔，（e）圖中w=0.1877時系統(tǒng)發(fā)生16周期分岔，從（f）圖-（h）圖可看出w＞0.19時系統(tǒng)完全進入混沌狀態(tài).

2.6 初值條件敏感性分析

初值條件敏感性是混沌系統(tǒng)的一個重要特征[16]，系統(tǒng)對生產(chǎn)量的初值敏感依賴性可以用系統(tǒng)時間歷程圖檢驗.圖5為w=0.1895時，系統(tǒng)的初始生產(chǎn)量分別為(0.5,0.5001)和(0.5001,0.5)時的生產(chǎn)量q1, q2的時間歷程圖.從圖5中可以看出，剛開始時兩條軌線幾乎是重合的，但隨著迭代次數(shù)的不斷增加，兩條軌線之間的距離也越來越大.在迭代了大約 50次以后，系統(tǒng)的生產(chǎn)量波動變化也越來越明顯.由此可知，生產(chǎn)量初始值發(fā)生微小變化會對系統(tǒng)結(jié)果產(chǎn)生顯著影響.

圖5 生產(chǎn)量q1,q2的時間歷程圖Fig 5 Time Response Chart of Production q1,q2

3 結(jié) 論

通過理論分析和數(shù)值模擬可知，不同策略的雙寡頭企業(yè)博弈是一個動態(tài)變化過程，研發(fā)能力的高低與企業(yè)競爭有很大關系[17].在雙寡頭市場競爭基礎上，本文將有限理性、溢出效應、學習能力、企業(yè)的自適應能力及非線性成本等因素考慮在模型之中，構(gòu)建了具有學習能力和知識溢出的雙寡頭博弈模型.探討了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分析了相關參數(shù)變化對系統(tǒng)演化路徑的影響，并通過數(shù)值模擬對一些混沌現(xiàn)象進行了分析和研究.

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(編輯：封毅)

Analysis on Chaos Dynamics of Duopoly Game with Knowledge Spillover Effect

HUANG Mengjia, ZHANG Yahui, TANG Xingqiao
(College of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

A type of bounded rational duopoly game model with learning abilities is established in this paper through different rationalities, nonlinear costs and the parameters such as knowledge spillover effect to be introduced into a dynamic competition model. And this dynamic decision-making process under the limited rational expectation as well as the system complexity of chaotic theory are analyzed and researched. System status under different parameter values are showed by employing Matlab numerical simulation. Meanwhile,the enterprise production technology level and difference of knowledge spillover effect on the system of impact are explored.

Duopoly; Learning Ability; Knowledge Spillover; Chaos

O194

A

1674-3563(2017)04-0013-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.04.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2017-01-02

甘肅省自然科學基金項目(148RJZA038)；甘肅省高等學?？蒲许椖?2015B-047)；蘭州交通大學青年科學研究基金項目(2015029)；慶陽市自然科學基金項目(KH301308)

黃萌佳(1991- )，女，河南許昌人，碩士研究生，研究方向：混沌經(jīng)濟學