孟 帆

(溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

城市馬拉松賽參賽者位次變化分布及其與競(jìng)爭(zhēng)程度的關(guān)聯(lián)的研究

孟 帆

(溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

近十多年來，人類動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域關(guān)于時(shí)間特性和空間特性的研究迅猛發(fā)展.本文統(tǒng)計(jì)近十多年來紐約城市馬拉松賽和近四年來波士頓馬拉松賽前1000名男子參賽者和前1000名女子參賽者的參賽數(shù)據(jù)，分析參賽者在7個(gè)中間計(jì)時(shí)賽段中的位次變化情況，發(fā)現(xiàn)參賽者在各中間計(jì)時(shí)賽段中的位次變化均遵循洛倫茲分布（柯西分布）.引入?yún)①愓咴诟饔?jì)時(shí)賽段內(nèi)的位次變化的方均根值來描述該賽段內(nèi)的競(jìng)爭(zhēng)激烈程度，進(jìn)一步研究各計(jì)時(shí)賽段內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)激烈程度與位次變化分布參數(shù)的關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)在各中間計(jì)時(shí)賽段中參賽者的位次變化分布圖形的尖銳程度能直觀地反映該賽段內(nèi)參賽者的競(jìng)爭(zhēng)激烈程度，參賽者在某賽段內(nèi)的競(jìng)爭(zhēng)激烈程度越低，該賽段內(nèi)參賽者的位次變化分布曲線越尖銳.

人類動(dòng)力學(xué)；城市馬拉松賽；中間計(jì)時(shí)賽段；位次變化分布

2005年Barabási發(fā)現(xiàn)了人類通訊行為的非泊松分布特性，開啟了挖掘人類行為大數(shù)據(jù)并從中揭示人類行為規(guī)律的研究熱潮[1]，其中關(guān)于人類行為時(shí)間特性和空間特性的實(shí)證統(tǒng)計(jì)和模型的研究居多.在人類行為時(shí)間特性方面，物理學(xué)家和其它領(lǐng)域?qū)W者在大量實(shí)證統(tǒng)計(jì)和分析的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)人類行為時(shí)間特性普遍存在冪律分布現(xiàn)象，包括通信[1-3]、各種網(wǎng)上社交活動(dòng)[4-6]等等.針對(duì)這些非泊松分布的時(shí)間行為，有關(guān)學(xué)者提出了許多種人類行為模型以解釋這些非泊松過程的微觀機(jī)制，主要有優(yōu)先級(jí)排隊(duì)模型[1-7]、社會(huì)交往模型[8-9]以及個(gè)人興趣模型[10]等等.

隨著對(duì)人類行為時(shí)間特性的研究深入，研究者又將人類動(dòng)力學(xué)研究推向了另一個(gè)方面——人類行為的空間特性.Brockmann等人[11]通過對(duì)美國(guó)鈔票流通數(shù)據(jù)的研究間接地得出了人類的移動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)在1到4天時(shí)間間隔里人類移動(dòng)距離的概率服從冪律分布，他們認(rèn)為人類移動(dòng)軌跡類似于動(dòng)物移動(dòng)軌跡，可以用Lévy模型來描述人類的空間移動(dòng)，認(rèn)為人類運(yùn)動(dòng)軌跡非常符合連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型.隨后González等人[12]用100000名匿名用戶的手機(jī)統(tǒng)計(jì)了6個(gè)月的移動(dòng)數(shù)據(jù)得出個(gè)體運(yùn)動(dòng)位移的分布近似滿足一個(gè)截?cái)鄡缏煞植嫉慕Y(jié)論，他們的研究結(jié)果表明，人類軌跡相對(duì)于Lévy飛行模型暗示的隨機(jī)軌跡有高度的空間規(guī)律性，即每個(gè)個(gè)體都有與時(shí)間無關(guān)的移動(dòng)距離特征，并且返回幾個(gè)經(jīng)常光顧的地點(diǎn)的概率很高.隨后，Song等人[13]表示針對(duì)手機(jī)用戶得到的數(shù)據(jù)得出整個(gè)的手機(jī)用戶群體的空間運(yùn)動(dòng)模式有 93%的可預(yù)測(cè)性，且不同個(gè)體運(yùn)動(dòng)模式的可預(yù)測(cè)性基本沒有差別.之后，又建立了探索偏好返回機(jī)制來解釋人們?cè)诘竭_(dá)一個(gè)新的地點(diǎn)之后還會(huì)在未來某一時(shí)刻返回該地點(diǎn)的行為，即每個(gè)個(gè)體會(huì)產(chǎn)生一個(gè)周期性的和相對(duì)穩(wěn)定的流動(dòng)模式[14-16].此外，還有很多基于其它原因而建立的模型，例如社會(huì)交互模型[17]，交通網(wǎng)絡(luò)分布模型[18]等.然而，之后一項(xiàng)研究表明，當(dāng)集體位移分布符合截尾冪律分布時(shí)絕大多數(shù)的個(gè)體行為距離是偏離冪律分布的[19]，說明不能由群體運(yùn)動(dòng)模式直接推出個(gè)體的運(yùn)動(dòng)模式.也有研究者根據(jù)出租車的數(shù)據(jù)得出短途行駛距離（小于 30英里）遵循冪律分布，而長(zhǎng)途行程遵循指數(shù)衰減規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)個(gè)體出租車的行駛距離規(guī)律并不是之前研究得出的截尾冪律[20].隨后研究者們將對(duì)人類運(yùn)動(dòng)行為的空間特性的探究拓展到了實(shí)際生活中.Wang等人對(duì)城市人口的流動(dòng)方式及其空間分布對(duì)人口流動(dòng)的影響進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)在城市地區(qū)較大尺度空間中人類行程長(zhǎng)度遵循的并不是冪律分布而是指數(shù)分布，并發(fā)現(xiàn)規(guī)模較大的城市區(qū)域一般有較小的指數(shù)行程長(zhǎng)度分布，且行程長(zhǎng)度有較大的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，空間人口密度和行程長(zhǎng)度并沒有明顯的聯(lián)系[21].

在人類運(yùn)動(dòng)行為中，速度是一個(gè)不可忽略的重要特征，而在人類行為研究的多元化發(fā)展中，對(duì)于速度的研究卻寥寥無幾.有研究發(fā)現(xiàn)，在沒有駕駛員的起源地、目的地、駕駛習(xí)慣、導(dǎo)航策略和適應(yīng)性行為的先驗(yàn)知識(shí)情況下，只依賴于短期的歷史GPS車輛記錄，便可高度預(yù)測(cè)車在北京的三個(gè)主要環(huán)形公路的平均速度，從而可捕捉到城市道路上的交通模式[22].無論是采用混合還是單一的交通方式，速率隨著運(yùn)動(dòng)距離的增加都是呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，并遵循冪律分布[23].

馬拉松賽是一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性項(xiàng)目，在比賽中較量的就是參賽者的速率，而跑過或看過馬拉松賽的人都知道，在比賽中保持穩(wěn)定的配速是明智之舉.起跑過快的人通常對(duì)自己的體力有一個(gè)錯(cuò)誤的估計(jì)，認(rèn)為自己的起跑速度可以一直保持下去，但是隨著比賽的進(jìn)行速度往往會(huì)慢下來，甚至還會(huì)步行或麻木地拖著雙腿挪動(dòng)，導(dǎo)致最終取得一個(gè)很差的位次.因?yàn)樯砗托睦砩系牟町?，使得每個(gè)人的配速策略不同，這也是導(dǎo)致參賽者的位次發(fā)生改變的主要原因.本文將探究馬拉松賽中間計(jì)時(shí)賽段參賽者位次變化的分布規(guī)律，探究位次分布變化與競(jìng)爭(zhēng)激烈程度之間的關(guān)系，間接地研究城市馬拉松賽賽程中參賽者的群體行為特征，從而進(jìn)一步探究在群體層面上個(gè)體之間的相互作用的影響.

1 數(shù) 據(jù)

紐約城市馬拉松賽記錄數(shù)據(jù)中除了有各完成賽程者完成全程的時(shí)間之外，還記錄了參賽者到達(dá)賽程中間5km、10km、15km、20km、25km、30km、35km、40km處的時(shí)間，我們從紐約城市馬拉松賽記錄數(shù)據(jù)中收集了自2001年到2016年總計(jì)15年（2012年紐約馬拉松賽因?yàn)轱Z風(fēng)“桑迪”而取消）共計(jì)615990條的完成賽程者的比賽記錄（平均每年完成賽程的人數(shù)為41066）.波士頓馬拉松賽記錄數(shù)據(jù)中除了有所有完成賽程者完成全程的時(shí)間，僅記錄了男子組和女子組前1000名參賽者到達(dá)賽程中間5km、10km、15km、20km、25km、30km、35km、 40km處的時(shí)間，我們從波士頓馬拉松賽記錄數(shù)據(jù)中收集了自2013年到2016年共計(jì)4年8000條完成賽程者的比賽記錄.這些數(shù)據(jù)為我們研究參賽者在中間賽段內(nèi)的速度和位次變化的分布規(guī)律提供了依據(jù).考慮參賽者性別因素對(duì)速度和位次變化的影響，我們將全部完成賽程者分為男子組和女子組.根據(jù)紐約城市馬拉松賽和波士頓馬拉松賽中間計(jì)時(shí)位置，我們將馬拉松賽全程分成8個(gè)5km長(zhǎng)的賽段，這里用i=1, 2,…, 8表示0–5km、5–10km、10–15km、15–20km、20–25km、25–30km、30–35km、35–40km等賽段，通過實(shí)證統(tǒng)計(jì)分析，研究參賽者在各中間賽段的位次變化規(guī)律.

2 中間計(jì)時(shí)賽段參賽者位次變化分布

根據(jù)每位參賽者到達(dá)賽程中間計(jì)時(shí)點(diǎn)的時(shí)間，我們得到各參賽者在各賽段結(jié)束時(shí)的位次和在該賽段的位次變化，如根據(jù)第k位參賽者是該場(chǎng)城市馬拉松賽的總?cè)藬?shù))到達(dá)第i個(gè)計(jì)時(shí)點(diǎn)（即第i個(gè)賽段結(jié)束時(shí)）的時(shí)間tik，可得到該參賽者在第i賽段結(jié)束時(shí)的位次rik，以及在第i賽段中的位次變化由于第一賽段的起始點(diǎn)是整個(gè)賽程的起點(diǎn)，所有參賽者還沒有形成位次分布，故本文不分析參賽者在第一賽段的位次變化.

對(duì)每一賽段計(jì)算得到各參賽者的位次變化Δrik.考慮N位參賽者位次變化Δrik的數(shù)據(jù)波動(dòng)往往會(huì)很大，我們建立一系列長(zhǎng)度為10的區(qū)間，用n表示（n為整數(shù)），即第n區(qū)間的位次變化Δrik的范圍為由此來對(duì)參賽者位次變化Δrik進(jìn)行裝箱（Binning），由于波士頓馬拉松賽僅記錄了前1000名參賽者到達(dá)賽程中間時(shí)段處的時(shí)間，因此對(duì)于波士頓馬拉松賽的數(shù)據(jù)裝箱的區(qū)間長(zhǎng)度為5，即第n區(qū)間的位次變化Δrik的范圍為計(jì)算位次變化在第n區(qū)間內(nèi)的參賽者的人數(shù)及其位次變化Δrik的平均值由此得出位次變化Δrik的各區(qū)間內(nèi)的參賽者的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例與位次變化落在該區(qū)間內(nèi)的參賽者的位次變化的平均值的數(shù)據(jù)，進(jìn)一步畫出第i賽段參賽者人數(shù)比例隨參賽者位次變化的分布圖（如圖1）.2016年紐約馬拉松賽和波士頓馬拉松賽各中間計(jì)時(shí)賽段男子組和女子組的隨變化的情況見圖1.最后通過數(shù)據(jù)曲線擬合得出隨變化的分布函數(shù)，這里采用調(diào)整后值（Adjusted R-square）的大小來反映擬合的優(yōu)度，確定擬合的模型函數(shù).結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在紐約馬拉松賽和波士頓馬拉松賽中各中間計(jì)時(shí)賽段內(nèi)男子組和女子組的位次變化分布基本保持一致，均遵循洛倫茲分布：

洛倫茲分布又名柯西分布，擁有比高斯分布更寬的尾部，是一個(gè)穩(wěn)定的“胖尾”分布，具有無窮大的方差[24-26]，這種方差條件說明：非常高或者非常低的位次變化發(fā)生的頻率會(huì)比在正態(tài)分布中發(fā)生得更高，如在2016年紐約馬拉松賽中男子參賽者總?cè)藬?shù)為29549人，男子參賽者在5 –10km賽段中位次變化的絕對(duì)值大于2955（即在比賽中超過2955人或落后2955人）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的3%，而其它賽段的位次變化的絕對(duì)值大于2955的男子參賽者的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的1%，這部分參賽者的存在導(dǎo)致了位次變化分布的尾部比高斯分布的尾部寬.

洛倫茲分布，常出現(xiàn)在金融系統(tǒng)中，金融系統(tǒng)是一個(gè)人為作用非常大的復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)社會(huì)系統(tǒng)，43個(gè)國(guó)家57個(gè)行業(yè)中的13342家公司1999–2010年的利潤(rùn)率分布滿足柯西分布[24]，全世界167個(gè)國(guó)家1950–2011年的GDP增長(zhǎng)率也遵循柯西分布[25].在金融系統(tǒng)中，經(jīng)濟(jì)體的異質(zhì)性和彼此之間的學(xué)習(xí)、競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致了生產(chǎn)力和盈利能力的增長(zhǎng)率呈現(xiàn)“胖尾”分布的特性[27].與此類似，我們認(rèn)為城市馬拉松賽中參賽人數(shù)眾多，參賽者之間的巨大能力差異和賽跑過程中的強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)性是導(dǎo)致參賽者位次變化呈現(xiàn)“胖尾”分布的主要原因.

圖1 2016年紐約馬拉松賽和波士頓馬拉松賽男子組和女子組在7個(gè)中間計(jì)時(shí)賽段的位次變化分布Fig 1 Distributions of Ranking Changes of Male and Female Finishers in Seven Intermediate Time-trials in 2016 New York City Marathon and Boston Marathon

3 位次變化分布與競(jìng)爭(zhēng)激烈程度的關(guān)聯(lián)

從圖1所示的參賽者在中間計(jì)時(shí)賽段的位次變化分布可以看出，參賽者在各段中的位次變化趨勢(shì)基本保持一致，但還是能觀察到一些不同的地方，因此在本小節(jié)將考慮各計(jì)時(shí)賽段位次變化分布之間的差異與影響因素.從圖1中可以觀察到不同年份的紐約馬拉松賽和波士頓馬拉松賽中男子組和女子組的位次變化分布基本保持一致，本節(jié)選取 2016年紐約馬拉松賽男子組為例進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與分析.

如圖2所示，將2016年紐約馬拉松賽男子組在各計(jì)時(shí)賽段位次變化的分布兩兩分開放到圖中比較，以避免由于數(shù)據(jù)點(diǎn)的堆積導(dǎo)致分布之間的差異被掩蓋.

從圖2可以明顯看出，2016年紐約馬拉松賽男子組在各中間計(jì)時(shí)賽段的位次變化分布高度與寬度的不同，在波士頓馬拉松賽中前1000名男子參賽者和前1000名女子參賽者的中間計(jì)時(shí)賽段的位次變化有同樣的現(xiàn)象.對(duì)男子組在7個(gè)中間計(jì)時(shí)賽段的位次變化分布分別擬合的曲線進(jìn)行分析與研究，在男子組各計(jì)時(shí)賽段位次變化分布遵循的柯西分布擬合過程中，除了可以得到峰值位置x0和半峰半寬度ω外，還可以得到擬合分布的高度發(fā)現(xiàn)半峰半寬度ω值和高度 H值在不同計(jì)時(shí)賽段中的大小差異很大.我們?cè)O(shè)想在不同計(jì)時(shí)賽段的半峰半寬度ω值和高度 H值與該賽段內(nèi)參賽者競(jìng)爭(zhēng)的激烈程度有關(guān)，嘗試用各計(jì)時(shí)賽段內(nèi)全部參賽者的位次變化的方均根值（σ）描述該賽段內(nèi)參賽者的競(jìng)爭(zhēng)激烈程度：

其中N為參賽者總數(shù).

圖2 2016年紐約馬拉松賽男子組在7個(gè)中間計(jì)時(shí)賽段的位次變化分布Fig 2 Distributions of Ranking Changes of Seven Men’s Intermediate Time-trials in 2016 New York City Marathon

將2015年和2016年紐約馬拉松賽和波士頓馬拉松賽男子組和女子組在各計(jì)時(shí)賽段的位次變化的方均根值σ與位次變化分布的ω和H值列于表 1，不同計(jì)時(shí)賽段半峰半寬度ω值和分布高度H值隨位次變化方均根值σ的變化見圖3和圖4.

從圖3可以發(fā)現(xiàn)半峰半寬度ω值與位次變化方均根值σ成明顯的線性正相關(guān)，年和 2016年紐約馬拉松賽男子組的α值相差不大，α≈1；女子組的α值相差也不大，α≈0.89.2015年和2016年波士頓馬拉松賽男子組的α值相差不大，α≈0.9；女子組的α值相差較大，但還是成明顯的線性正相關(guān).

從圖4可以發(fā)現(xiàn)高度H值與位次變化方均根值σ成明顯的線性負(fù)相關(guān)，2015年和 2016年紐約馬拉松賽男子組的β相差不大，女子組的β相差也不大，

2015年和2016年波士頓馬拉松賽男子組和女子組的β略微不同，但可以觀察到明顯的線性負(fù)相關(guān).

由此，可以進(jìn)一步得出一個(gè)結(jié)論，即馬拉松比賽各中間計(jì)時(shí)賽段中參賽者的位次變化分布圖形的尖銳程度可以直觀地反映該賽段內(nèi)參賽者的競(jìng)爭(zhēng)激烈程度，某賽段內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)激烈程度越低，則該賽段內(nèi)參賽者的位次變化分布曲線越尖銳.

表1 2015年2016年紐約馬拉松賽和波士頓馬拉松賽中間計(jì)時(shí)賽段位次變化的方均根值（σ）和位次變化分布ω和H值Table 1 The Ranking Change Distribution of ω and H and Root-mean Square Value of Ranking Change in Intermediate Time-trial in 2015 and 2016 of New York City Marathons and Boston Marathons

圖3 紐約馬拉松賽和波士頓馬拉松賽中間計(jì)時(shí)賽段半峰半寬度ω值與位次變化方均根值σ的關(guān)聯(lián)情況Fig 3 The Correlation between the Value ω of FWHM and the Root Mean-square Value σ of Ranking Changes for the Intermediate Time-trial in New York City Marathons and Boston Marathons

4 結(jié)論和討論

本文統(tǒng)計(jì)了近十來年紐約馬拉松賽和近四年來波士頓馬拉松賽前1000名男子參賽者和前1000名女子參賽者的參賽數(shù)據(jù)，分析研究了城市馬拉松賽過程中的人類運(yùn)動(dòng)行為.根據(jù)不同的計(jì)時(shí)點(diǎn)將紐約馬拉松賽和波士頓馬拉松賽全程分為8個(gè)計(jì)時(shí)賽段，分別是0–5km、5–10km、10–15km、15–20km、20–25km、25–30km、30–35km、35–40km.主要研究分析了紐約馬拉松賽和波士頓馬拉松賽中間計(jì)時(shí)賽段內(nèi)參賽者位次變化的分布，由于第一賽段的起始點(diǎn)是整個(gè)賽程的起點(diǎn)，所有參賽者還沒有形成位次分布，故本文主要研究后面7個(gè)計(jì)時(shí)賽段內(nèi)參賽者的位次變化.結(jié)果發(fā)現(xiàn)參賽者在各中間計(jì)時(shí)賽段的位次變化分布均遵循洛倫茲分布（柯西分布），說明了在馬拉松賽中間計(jì)時(shí)賽段中總有一部分參賽者有強(qiáng)大的競(jìng)爭(zhēng)力會(huì)產(chǎn)生較大的位次變化，使位次變化分布呈現(xiàn)“胖尾”分布.對(duì)參賽者在中間計(jì)時(shí)賽段的位次變化分布進(jìn)一步研究分析發(fā)現(xiàn)，競(jìng)爭(zhēng)越激烈的賽段中，參賽者位次變化分布的半峰半寬度ω值越大，而高度H越小，即位次變化分布的圖形越平緩；而競(jìng)爭(zhēng)較小的賽段中，位次變化分布的半峰半寬度ω值較小，高度H較大，位次變化的圖形比較尖銳，這說明在馬拉松比賽中參賽者在各中間計(jì)時(shí)賽段的位次變化分布在一定程度上能直觀反應(yīng)競(jìng)爭(zhēng)的激烈程度.

圖4 紐約馬拉松賽和波士頓馬拉松賽中間計(jì)時(shí)賽段分布高度H值與位次變化方均根值σ的關(guān)聯(lián)情況Fig 4 The Correlation between Distribution Height of the H and the σ of Ranking Changes of Intermediate Time-trial in New York City Marathon and Boston Marathons

對(duì)近十幾年來的紐約馬拉松賽和近幾年的波士頓馬拉松賽的分析得出同樣的結(jié)果，說明了在馬拉松賽這種群體運(yùn)動(dòng)過程中有著基本相同的機(jī)制存在，也說明了在群體運(yùn)動(dòng)中個(gè)體之間的相互作用確實(shí)存在，這對(duì)人類群體運(yùn)動(dòng)行為的研究具有重要意義.

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(編輯：王一芳)

The Study on the Correlation between Participant Ranking Variation Distribution and the Level of Competition in City Marathons

MENG Fan
(College of Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University,Wenzhou, China 325035)

In recent 10 more years, the research of the time response and spatial characteristics in human dynamics area has been rapidly developed. The datasets from the records of the participants of top1000 male athletes and top 1000 female athletes in both New York City marathons for recent 10 years and Boston marathons for recent 4 years are counted in this paper. From the above datasets, the runners’ ranking changes in 7 different internal timing lengths are also analyzed and therefore the ranking changes are always abide by Lorentz Distribution (Cauchy Distribution) during their participation in the mediate time trials. The competition fierce degree is described through the introduction of root-mean-square value of ranking changes in all time trial stages. The fierce degree of distribution graph for ranking changes in mediate time trials is discovered via further research on the correlation between the competition fierce degree and the variation distribution parameters, which reflects intuitively the competition fierce degree in such a contest. In conclusion, the lower the participant has competition fierce degree, the sharper the ranking change distribution curve of the participant becomes in such a time trial length.

Human Dynamics; City Marathons; Intermediate Time Trial Lengths; Distributions of Ranking Changes

N94

A

1674-3563(2017)04-0036-10

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.04.006 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2017-04-06

國(guó)家自然科學(xué)基金(10875086)

孟帆(1993- )，女，江蘇鹽城人，碩士研究生，研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)與統(tǒng)計(jì)物理