福建省德化第一中學(xué)362500 吳志鵬

評析幾種方案生成的離心率問題*

福建省德化第一中學(xué)362500 吳志鵬

離心率是圓錐曲線的一個重要元素,它的變化直接導(dǎo)致曲線形狀甚至是類型的變化,求圓錐曲線的離心率或取值范圍是近年高考的熱點,這類問題所涉及的知識點較多、綜合性強,解法靈活,極富內(nèi)涵,這也是命題者親睞的原因所在.對于這類問題的求解,學(xué)生怎樣才能做到“以不變應(yīng)萬變”呢?本文從離心率問題的生成方法入手,幫助讀者分析研究,以便尋找有效的方案解決之.

一、“代數(shù)方案”生成的離心率問題

這類問題利用了橢圓、雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù),應(yīng)用代數(shù)方案計算出有關(guān)參數(shù)的值或范圍,進而獲得離心率的值或范圍.

例1(2008高考全國卷2理9)設(shè)a＞1,則雙曲線的離心率e的取值范圍是( )

圖1

(I)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示);

(II)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點,求橢圓離心率的取值范圍.

解 (I)設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為AP,由得故因此

(II)假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個,由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P,Q,滿足|AP|=|AQ|.記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k2＞0,k1/=k2.由(1)知：

由于k1,k2＞0,k1/=k2得

即轉(zhuǎn)化為關(guān)于k1,k2方程有解的充要條件：1+a2(a2-2)＞1又因為a＞1,所以因此若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點,由得離心率的取值范圍

解 I由C與l相交于兩個不同的點,故知方程組有兩個不同的實數(shù)解,消去y并整理得

評析 以上三個例題均是通過代數(shù)方案生成的離心率問題.例1是通過對e的代數(shù)公式進行研究;例2是轉(zhuǎn)化成方程有解求得離心率的范圍;例3則是轉(zhuǎn)化為判別式△＞0.

二、“幾何方案”生成的離心率問題

利用幾何性質(zhì)獲得e的值或范圍,根據(jù)其考查目標(biāo)的側(cè)重點可分為以下三類：

1.以定義為抓手,利用性質(zhì)建立的a,b,c齊次關(guān)系

圖2

解 作圖像如上圖所示,依題意,不妨設(shè)AB=6,AD= 4,則

例5(2014重慶理8)設(shè)F1,F2分別為雙曲線1(a＞0,b＞0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得則該雙曲線的離心率為( )

解 因為P是雙曲線上一點,所以||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,所以4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2,又因為所以有9ab=9b2-4a2,即解得故選B.

解 設(shè)左焦點為F1連接AF1,BF1,則四邊形BF1AF是平行四邊形,故|AF1|=|BF|,所以

所以a=2,設(shè)M(0,b),M到直線l的距離不小于得故b≥1,即a2-c2≥1,0＜c2≤3,所以選擇A.

評析 以上三道例題均構(gòu)造過焦點的三角形,只不過例4、例5的焦點三角形為顯性,而例6卻是隱性的,對于這種類型的問題則需先利用定義獲得與參數(shù)a相關(guān)的等量關(guān)系,再通過尋找圖形中的一些幾何關(guān)系或利用題目所給的條件獲得關(guān)于參數(shù)a,b,c的齊次關(guān)系,最后求得e的值或范圍.

2.以點的坐標(biāo)為抓手,利用性質(zhì)建立的a,b,c齊次關(guān)系

例7(2016新課標(biāo)III理11)設(shè)O為坐標(biāo)原點,F是橢圓的左焦點,A,B分別為橢圓C的左、右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E,若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( )

解 設(shè)E(0,m),則直線因為F是橢圓的左焦點,PF⊥x軸,過點A的直線l與線段PF交于點M,聯(lián)立兩直線方程得是OE中點即由B,N,M三點共線可得：得a=3c,即

例8(2016年江蘇理10)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,F是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90?,則該橢圓的離心率是____.

評析 本題只需聯(lián)立直線與橢圓的方程,求得點B,C的坐標(biāo),再利用BF⊥CF即即可求得a,c的齊次關(guān)系,答案為

例9(15年山東理科5)平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p＞0)交于點O,A,B,若△OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為___

又由于的C2:x2=2py(p＞0)焦點的垂心為C2的焦點,故有AF⊥OB,則即

例10(2014浙江理14)設(shè)直線x-3y+m=0(m/=0)與雙曲線兩條漸近線分別交于點A,B,若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是____.

評析 以上的四個例題均是以參數(shù)a,b,c相關(guān)點的坐標(biāo)為抓手生成的問題,此類問題的設(shè)計不再局限于是否出現(xiàn)焦點三角形,它可以與圓錐曲線的的頂點、焦點、雙曲線的漸近線、準(zhǔn)線等與參數(shù)相關(guān)的量相結(jié)合,考查圖像的幾何性質(zhì),內(nèi)容比較豐富.

3.利用特殊圖形的幾何性質(zhì),建立的a,b,c齊次關(guān)系

解 設(shè)M(c,0),N(0,b),在Rt△MON中,有

例 13(2012新課標(biāo)高考 4)設(shè)F1,F2是橢圓E:的左、右焦點,P為直線上一點,△F2PF1是底角為30?的等腰三角形,則E的離心率為( )

解 因為△F2PF1是底角為30?的等腰三角形,得：

評析 以上幾例均在圓錐曲線內(nèi)構(gòu)建直角三角形、等腰三角形、圓的切線、中位線等的特殊圖形,通過考查這些圖形的相關(guān)性質(zhì)獲得關(guān)于a,b,c的齊次關(guān)系,得橢圓E的離心率或范圍.這類問題大多側(cè)重于通過對圖形的幾何性質(zhì)進行分析獲得結(jié)論.

三、“三角方案”生成的離心率問題

在三角形內(nèi),以考查正弦定理、余弦定理為目標(biāo)的離心率構(gòu)造問題,此類問題經(jīng)常結(jié)合圓錐曲線的定義與解三角形進行考查.

例14(2008全國卷1理15)在△ABC中,AB=若以A,B為焦點的橢圓經(jīng)過點C,則橢圓的離心率e=___.

解 在△ABC中,可設(shè)AB=BC=t,利用余弦定理可知：AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB得為焦點的橢圓經(jīng)過點C,依定義得|CA|+|CB|=2a,所以

變式 (2014大綱理9改編)已知雙曲線C的焦點為F1,F2,點A在C上,若|F1A|=2|F2A|,且cos∠AF2F1=則雙曲線C的離心率為___.

答案：2.

解 在△PF1F2中,由正弦定理可得

即c2-2ac-a2＜0,得e2-2e-1＜0.所以

又e＞1,所以

評析 以上兩個例子及變式把圓錐曲線的離心率與解三角形完美的結(jié)合,通過正弦定理、余弦定理以及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì),尋找出與參數(shù)a,b,c相關(guān)的齊次關(guān)系,得離心率的值或范圍.

[1]杜紅全.求離心率取值范圍常用的方法與技巧[J].數(shù)學(xué)通訊(上半月),2015(5,6)

[2]武增明.探求圓錐曲線離心率的取值范圍的思維途徑[J].中國數(shù)學(xué)教育(高中版),2009(12)

[3]王勇.離心率—經(jīng)久不衰的高考熱點[J].數(shù)學(xué)通訊(上半月),2016(1, 2)

*本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度立項課題《高中數(shù)學(xué)生成性教學(xué)的理論認(rèn)識與實踐研究》成果.(立項批準(zhǔn)號：FJJKXB16-330)