太原市第三實驗中學(xué),山西太原030031 董立偉

對一個不等式的推廣及加強

太原市第三實驗中學(xué),山西太原030031 董立偉

文[1]刊登了2175號問題的解答.原題如下：

設(shè)x,y,z＞0,求證：

該不等式不等號左右兩側(cè)相對應(yīng)的各項均互為倒數(shù),使得式子的形式整齊優(yōu)美.原解答采用了初等的作差法,解答對求和順序作了精心的調(diào)整,簡潔巧妙.但是,配湊平方對變量的個數(shù)及指數(shù)有較強的的依賴性,這使得對問題的深入研究變得困難.本文給出了該問題的一個另證,并從證明出發(fā),對問題作了推廣與加強.

一、問題的另證

證明 由基本不等式,可得

問題得證.

由Cauchy不等式,

問題得證.

證明中我們驚喜地得到了一個加強的結(jié)果：

上述證明方法還可用來巧證問題1772.[2]原問題如下：

已知x,y,z∈R+,證明：

證明 觀察左右兩側(cè),由對稱性,只需證明

二、問題的推廣

羅增儒教授認(rèn)為,一題多解的一大教學(xué)功能是,從多角度審視問題,有助于接近問題的深層結(jié)構(gòu).[3]

上述證明過程所用到的只有兩個最基本的不等式—均值不等式和Cauchy不等式.相比于原解答,基本不等式與Cauchy不等式的成立不依賴于變量的個數(shù).當(dāng)變量個數(shù)增多時,無非是多并列幾項.這使得對原不等式的推廣成為可能．

推廣1個數(shù)推廣

對xi＞0,i=1,2,...,n,求證：

證明 先對不等式左邊的各項進行變形.第一項變形如

下：

同理可得其余n-1個式子,

將上述n個式子相加可得

由上式的對稱性,要證明原不等式,只需再證明

即可.即證

由Cauchy不等式,

可以看到,上述證明中均值不等式及Cauchy不等式對指數(shù)與系數(shù)的依賴也是非本質(zhì)的.因此,還可以推廣如下.

推廣2指數(shù)推廣

對xi＞0,i=1,2,...,n,m≥2,m∈N+,求證：

證明 對不等式左邊第一項變形,得

同理可得其余n-1個式子.由對稱性,要證明原不等式,只需再證明

推廣3系數(shù)推廣

同理可得其余n-1個式子.

由對稱性,只需再證明

不等式成立.

由于可以令上述不等式中xi=asi(其中i= 1,2,...,n,s為任意實數(shù)),所以,當(dāng)取變量個數(shù)n和次數(shù)s為特定值時,可以得到一些推論．

推論 對a＞0,b＞0,c＞0,m∈N+,k1＞0,k2＞0,k1+k2=1,則

三、問題的加強

在“問題的另證”一節(jié),我們意外得到了一個加強命題.在“問題的推廣”的證明過程中發(fā)現(xiàn),這一加強命題不依賴于變量個數(shù)、指數(shù)和系數(shù),因此在三個推廣命題中依舊成立(本節(jié)不再贅述).這啟發(fā)筆者繼續(xù)去尋求不等式的上界和下界.遺憾的是這一問題不存在上界.

下面給出推廣2中命題的一個下界,其他可類似得到.

命題 對xi＞0,i=1,2,...,n,m≥2,m∈N+,

證明 對不等式中間式子的第一項變形,得

命題得證.

當(dāng)命題中的m分別取2和3并約去n-1,即分別變?yōu)椤稊?shù)學(xué)通報》問題1403和問題1510.

四、問題的反思

研究數(shù)學(xué)問題不能僅僅把得到解答作為目的.數(shù)學(xué)問題中所蘊含的各種思想方法及解決問題的過程中所折射出的更普遍的結(jié)論會散發(fā)出更耀眼的光芒.

某一問題的解法通常不唯一.從不同的角度思考問題,通常會得到不同的解法.有些方法對各條件的依賴較強,有些則較弱.對條件依賴較弱的解法通常能更容易地觸碰到問題的深層結(jié)構(gòu),從而有助于將問題加以延伸,幫助我們得到更為普遍的結(jié)論.

[1]安振平.數(shù)學(xué)問題2175解答[J].數(shù)學(xué)通報,2014,53(4)：65

[2]孫志坤.數(shù)學(xué)問題1772解答[J].數(shù)學(xué)通報,2009,48(2)：64

[3]羅增儒.高考復(fù)習(xí)要抓準(zhǔn)方向(續(xù))[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬), 2016(11),2-5