浙江大學(xué)附屬中學(xué)(310021) 陳斌

云南省昆明市尋甸縣柯渡鎮(zhèn)柯渡中學(xué)(655212) 楊彩清

數(shù)列不等式放縮法
——由一個(gè)自招題談數(shù)列放縮的解題策略

浙江大學(xué)附屬中學(xué)(310021) 陳斌

云南省昆明市尋甸縣柯渡鎮(zhèn)柯渡中學(xué)(655212) 楊彩清

2017年是全國新高考改革的元年,而數(shù)列不等式放縮是今年浙江新高考的壓軸題和名校自招必考題,所以研究數(shù)列不等式放縮問題顯得很有必要.目前比較有效的數(shù)列不等式有很多,例如：分析通項(xiàng)法、裂項(xiàng)分析法、等比數(shù)列法、切線放縮法、二項(xiàng)式放縮法等.其中迭代函數(shù)不動點(diǎn)放縮是處理{an}與Sn范圍問題非常常用的方法.本文就以今年一道自主招生的數(shù)列不等式放縮為例,來詳細(xì)講解此方法的奧妙與技巧.

數(shù)列不等式放縮 不動點(diǎn)裂項(xiàng) 迭代函數(shù)

一、試題呈現(xiàn)

例 (2017年復(fù)旦大學(xué)自主招生望道計(jì)劃簡答題第2題)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足

(1)求證：當(dāng)n≥2時(shí),an≥1.

(2)求證：{an}收斂.

二、多維分析 直擊要害

思路1(1)一般處理{an}的范圍問題,往往最直接的處理方法是直接運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)閿?shù)學(xué)歸納法是一種處理與正整數(shù)有關(guān)的非常有效的一種數(shù)學(xué)解題方法,但是需要注意的是在使用這方法時(shí)必須用假設(shè)的條件證明出結(jié)論,否則證明是錯(cuò)誤的.(2)處理{an}收斂.往往只要證明單調(diào)有界即可.

解法1(1)由正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),ak≥1不等式成立.

當(dāng)n=k+1時(shí),下證：ak+1≥1.

由ak＞0,得,只要證

又由于ak≥1,得(ak-1)(kak-1)≥0不等式成立.

(2)要證明{an}收斂,只要證{an}單調(diào)有界即可.由(1),可知an≥1.故只要證明{an}單調(diào)遞減即可.而要證明{an}單調(diào)遞減,可以利用{an}作商,即只要證明即可.由于當(dāng)n≥2時(shí),

即an+1≤an.此時(shí)可知{an}為常數(shù)列或單調(diào)遞減.

①當(dāng){an}為常數(shù)列時(shí),an=c≥1,數(shù)列{an}是收斂的;

2②當(dāng){an}為單調(diào)遞減時(shí),且an≥1,此時(shí){an}是單調(diào)遞減且有界的,故數(shù)列{an}收斂.

思路2一般處理一階遞推數(shù)列{an}取值范圍問題,往往用迭代函數(shù)an+1=f(an).函數(shù)迭代法一般需要數(shù)學(xué)歸納法來解決,而利用數(shù)學(xué)歸納法就需要對求證的問題進(jìn)行命題的加強(qiáng),加強(qiáng)命題時(shí)的關(guān)鍵就是需要包含{an}的單調(diào)性,那么如何預(yù)先知道{an}的單調(diào)性就是問題的關(guān)鍵.要預(yù)先知道{an}的單調(diào)性就需要利用數(shù)列的遞推函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)(方程f(x)=x的實(shí)數(shù)根),求出不動點(diǎn),畫出迭代函數(shù)的圖像,再借助直線y=x將函數(shù)值(也就是a2)“反射”到x軸上,這樣就可以比較a1與a2的大小.依次類推就可以猜出數(shù)列的單調(diào)性與有界性了.

設(shè)an+1=f(an),得

令f(x)=x,得

解得x= 1.如圖1迭代函數(shù)y=f(x),B(1,1)此時(shí)由圖可猜測：若an≥1,則{an}是單調(diào)遞減,即an+1＜an.故要證明 當(dāng)n≥2時(shí),an≥1.可以對此不等式進(jìn)行命題加強(qiáng),只要證：當(dāng)n≥2時(shí),1≤an+1＜an.

圖1

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.令an+1=f(an),得且當(dāng)x＞1時(shí),

即f(x)＜x.當(dāng)n=2時(shí),

則1≤a3=f(a2)＜a2.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),1≤ak+1＜ak不等式成立.當(dāng)n=k+1時(shí),由an+1=f(an),得

在(1,+∞)上是遞增函數(shù).則f(1)≤f(ak+1)＜f(ak),化簡可得 1≤ak+2＜ak+1.綜上所得當(dāng)n≥2時(shí), 1≤an+1＜an,即an≥1.

(2)由(1)可得,{an}是單調(diào)遞減的,且an≥1,故可知{an}是收斂的.

思路3 處理{an}的范圍問題,我們經(jīng)常使用作商法,即前后兩項(xiàng)之比的比值與1作比較,但是如果直接使用作商法往往是求不出{an}的范圍問題的.一般我們需要先求出迭代函數(shù)an+1=f(an),f(x)的不動點(diǎn)x=x0,從而將迭代函數(shù)轉(zhuǎn)化為再利用g(an)求出{an}的范圍.而且這種方法是處理{an}前n項(xiàng)和{Sn}范圍問題的最常用的方法,本文由于篇幅有限,不再詳細(xì)敘述.

設(shè)an+1=f(an),得

令f(x)=x,得

解得x=1.此時(shí)

要證明an≥1,只要說明就可以得出an+1-1與an-1同號,故只要說明a2-1≥0即可.又由于

只要證明nan-1＞0即可.

下證：當(dāng)n≥2時(shí),當(dāng)n=2時(shí),

從而可知當(dāng)n≥2時(shí),此時(shí)可知即an+1-1與an-1同號.又由于

可知故當(dāng)n≥2時(shí),an＞1.

(2)由(1),可得

由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列,得an＞0,此時(shí)

又由于當(dāng)n≥2時(shí),an≥1.可得an+1-1＜an-1,即{an}是單調(diào)遞減的數(shù)列,此時(shí)1≤an+1＜an.綜上所述{an}是收斂的.

三、反思與拓展

上述解法一直接運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法,雖然解題思路非常簡單,對學(xué)生來說也容易想到,但是它的短板也非常明顯,就是對于大多數(shù)稍微難點(diǎn)的問題,直接運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法是做不出來的,所以一般在高考數(shù)列的壓軸題、自主招生考試與省競賽中都不采用這樣的方法,更多的時(shí)候我們運(yùn)用解法二,解法二是處理數(shù)列放縮的常用方法.

解法二利用迭代函數(shù)an+1=f(an),求出y=f(x)不動點(diǎn),從而根據(jù)迭代函數(shù)y=f(x)與y=x的圖像,對要求證的{an}的范圍進(jìn)行加強(qiáng)命題,加強(qiáng)命題時(shí)需要包含{an}的單調(diào)性,再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法求證出結(jié)論.但有些時(shí)候不一定能直接求出.比如此時(shí)可以將上式看成以an+1為自變量,求出

一般這兩個(gè)有一個(gè)是不滿足條件的.這時(shí)需要再結(jié)合題中所給條件,寫出適合此題的迭代函數(shù).倘若題中所給條件如果實(shí)在求不出迭代函數(shù)an+1=f(an),也可以運(yùn)用an=f(an+1),求證方法與上述類似.解法二這種方法不僅適合求的范圍,在處理{an}前n項(xiàng)和{Sn}的范圍、壓縮數(shù)列求和范圍、點(diǎn)列求和范圍、零點(diǎn)數(shù)列求和范圍等問題時(shí)也非常有效,也是最常用的方法.

這類方法分為五步,也稱“五步法”求解遞推型問題.

模型：已知數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=f(an),n∈N?一般解題步驟如下：

第一步：找出迭代函數(shù)：f(x);

第二步： 求出迭代函數(shù)的不動點(diǎn)：由f(x)=x,得x=x0;

第三步：“中心化”再作商得到“變比”g(an),研究數(shù)列在不動點(diǎn)附近的性質(zhì)：求出分析g(an).

第四步：計(jì)算“變比”在不動點(diǎn)處的函數(shù)值并判定類型：

①若|g(an)|=1,則數(shù)列為“裂項(xiàng)相消”型.

②若|g(an)|＞1(＜1),則數(shù)列為“等比”型,可放縮成等比數(shù)列;

第五步：若第四步判定的類型為“裂項(xiàng)相消型”,則對“中心化”式子取倒數(shù)、裂項(xiàng)、累加：

①“中心化”取倒數(shù),得到

②裂項(xiàng)成可累加相消結(jié)構(gòu)：

這里的{P(an)}為“伴隨”數(shù)列.

③累加：得到

從而求出an關(guān)于n的不等關(guān)系式.

④若結(jié)論要證明h(n)＜Sn＜t(n),只要證明

再結(jié)合③式就可以求出所要證明的結(jié)論.

若第四步判定的類型為“等比型”,則放縮成等比數(shù)列：

①分析“變比”

②根據(jù)an的范圍,確定變比g(an)的范圍,即等比數(shù)列的公比,再結(jié)合偽等比數(shù)列進(jìn)行放縮.

③利用Sn=a1+a2+···+an＜b1+b2+···+bn=(其中q＜1)進(jìn)行等比放縮.

④此時(shí)只要證明an＜bn即可,但是更多的時(shí)候需要將數(shù)列{an}前兩項(xiàng)不進(jìn)行放縮,從第三項(xiàng)開始偽等比放縮.此時(shí)需要根據(jù)當(dāng)n≥3時(shí)an的范圍,來對“變比”g(an)進(jìn)行重新放縮.

四．真金冶煉

例題 (2017年溫州高三數(shù)學(xué)第二次調(diào)研22題)設(shè)數(shù)列{an}滿足的前n項(xiàng)和,證明 對任意的n∈N+,

(1)當(dāng)0≤a1≤1時(shí),0≤an≤1;

(2)當(dāng)a1＞1時(shí),

解析 (1)直接用數(shù)學(xué)歸納法.

(2)迭代函數(shù)f(x)=x2-x+1,由f(x)=x,得不動點(diǎn)x=1.由不動點(diǎn)法可知,1＜an＜an+1.故

裂項(xiàng)相消即可.

五、回歸本質(zhì)

數(shù)列不等式放縮今年在各名校的自主招生中特別火,本質(zhì)在于級數(shù)不等式的處理是高等數(shù)學(xué)特別重要的一部分,它是初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)跨越的基礎(chǔ).數(shù)列不等式放縮的核心是數(shù)列的極限思想,而迭代函數(shù)與不動點(diǎn)裂項(xiàng)正好是處理數(shù)列極限(不動點(diǎn)就是數(shù)列的極限)的關(guān)鍵.再加上今年又是新高考改革的元年,命題人對于數(shù)列出題的方向已經(jīng)非常明確,需要我們學(xué)生和教師引起足夠的重視.