張榮娣

[摘 要]

模型思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維及學(xué)習(xí)方式有著重大影響。數(shù)學(xué)教學(xué)從廣義上來(lái)講是數(shù)學(xué)模型的教學(xué)。培養(yǎng)學(xué)生建模能力，在有助于學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)模型，更好地理解數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效益。基于教學(xué)實(shí)踐，提出“聯(lián)系比較、實(shí)踐操作、觀察分析、類(lèi)比猜想”四種策略，能有效培養(yǎng)學(xué)生建模能力，從而促進(jìn)學(xué)生模型思想的形成與發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]

小學(xué)數(shù)學(xué)；建模能力；策略

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在課程內(nèi)容部分中，明確提出了“初步形成模型思想”并具體解釋為“模型思想的建立，不僅是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，也是建立和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)?！蹦Ｐ退枷胱鳛橐环N基本數(shù)學(xué)思想，表明它不僅僅是學(xué)生要掌握某個(gè)具體模型，而是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思維方式和學(xué)習(xí)方式。對(duì)于學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)與生活將起著方法論的意義。數(shù)學(xué)模型從廣義角度講，包括數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖形等?？梢?jiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)從某種意義上來(lái)說(shuō)，就是數(shù)學(xué)模型的教學(xué)。那如何落實(shí)模型思想，培養(yǎng)學(xué)生建模的能力呢？筆者在實(shí)踐中總結(jié)出以下四種策略，能有效培養(yǎng)學(xué)生建模能力。

一、在聯(lián)系比較中建模

數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著嚴(yán)密的邏輯聯(lián)系，舊知是新知的基礎(chǔ)，新知是舊知的延伸與發(fā)展。為此，新的數(shù)學(xué)模型總是建立在舊知識(shí)的模型基礎(chǔ)之上。所以在建立新的模型時(shí)，要從舊的知識(shí)模型入手，通過(guò)新舊知識(shí)的聯(lián)系對(duì)比，從而在舊模型中建立起新的模型。如與“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”的計(jì)算模型，最直接相關(guān)的就是“除數(shù)是一位數(shù)的除法”的計(jì)算模型，所以在教學(xué)時(shí)就可先復(fù)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)的除法：256÷5，在計(jì)算的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說(shuō)出除數(shù)是一位數(shù)的算法模型：從高位除起，先看前一位，如果前一位不夠除，就看前兩位；除到哪位商就寫(xiě)哪位上；余數(shù)要比除數(shù)小。然后再學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)的除法，在學(xué)生掌握除數(shù)是兩位數(shù)的除法的基礎(chǔ)上，老師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)除數(shù)是一位數(shù)的計(jì)算方法與除數(shù)是兩位數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比，這時(shí)學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，除數(shù)是兩位數(shù)的除法計(jì)算的模型與除數(shù)是一位數(shù)的計(jì)算模型基本上是相通的，區(qū)別在于：在除時(shí)是先看前一位數(shù)還是先看前兩位數(shù)。通過(guò)創(chuàng)設(shè)這樣有聯(lián)系對(duì)比的情境，學(xué)生不僅能很好地理解除數(shù)是兩位數(shù)的除法計(jì)算模型，而且從更高層面理解了整數(shù)除法計(jì)算的一般模型。有這樣的模型學(xué)生在面對(duì)除數(shù)是三位數(shù)的除法時(shí)，就生成出除數(shù)是三位數(shù)算法模型來(lái)，這樣的模型就有了生長(zhǎng)的力量。

在教學(xué)過(guò)程中，自覺(jué)尋找知識(shí)之間的聯(lián)系，在學(xué)生已有知識(shí)模型基礎(chǔ)之上進(jìn)行新知的教學(xué)，立足于舊知模型，抓住新舊知識(shí)的聯(lián)系，通過(guò)聯(lián)系溝通、對(duì)比深化，是幫助學(xué)生不斷建立模型的重要策略。

二、在實(shí)踐操作中建模

數(shù)學(xué)模型一個(gè)重要的特點(diǎn)就是抽象概括性，而小學(xué)生思維以具體直觀思維為主，這是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的一對(duì)主要矛盾。蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“在手和腦之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，這些聯(lián)系起著兩方面作用，手使腦得到發(fā)展，使它更加明智，腦使手得到發(fā)展，使它變成創(chuàng)造的、聰明的工具，變成思維的工具和鏡子?！笔峙c腦發(fā)展是相互促進(jìn)的。學(xué)生實(shí)踐操作是建立在一定思維指導(dǎo)的，是有思維的操作，同時(shí)實(shí)踐操作會(huì)引導(dǎo)思維更深入，可見(jiàn)實(shí)踐操作能有效解決這個(gè)矛盾。如在教學(xué)人教版三年級(jí)“周長(zhǎng)”時(shí)，通過(guò)具體實(shí)物樹(shù)葉，讓學(xué)生感知樹(shù)葉的邊沿是從哪兒開(kāi)始，又到哪兒結(jié)束的？讓學(xué)生理解、感知到這樣是一圈，然后讓學(xué)生在準(zhǔn)備的吹塑紙樹(shù)葉進(jìn)行比畫(huà)，初步建立一周的模型，適時(shí)提出除了樹(shù)葉的面有一周外，在我們身邊還有哪些物體的表面也有一周，然后呈現(xiàn)三角板、數(shù)學(xué)書(shū)、鐘面等讓學(xué)生找一找，指出它的一周，進(jìn)一步鞏固一周模型的理解。同時(shí)呈現(xiàn)大小不一的圖形，讓學(xué)生感知周長(zhǎng)有大小之分，引導(dǎo)學(xué)生明白物體一周的長(zhǎng)度就是這個(gè)物體的周長(zhǎng)，同時(shí)趁熱打鐵呈現(xiàn)一些平面圖形“▽、□”讓學(xué)生通過(guò)比畫(huà)，進(jìn)一步理解明白這些圖形的周長(zhǎng)：三角形的周長(zhǎng)就是圍繞三角形一周的長(zhǎng)度，即3條邊長(zhǎng)度的總和；四邊形的周長(zhǎng)圍繞四邊形一周的長(zhǎng)度，即4條邊長(zhǎng)度的總和。通過(guò)以上一系列的實(shí)踐操作活動(dòng)，學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)這個(gè)模型理解在不斷地深入，開(kāi)始是在實(shí)踐操作中感知一圈，一圈是學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，然后過(guò)渡到一周，有了充分的實(shí)踐操作經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，周長(zhǎng)模型的建立就水到渠成了。建模的過(guò)程是一種學(xué)習(xí)的再創(chuàng)造，實(shí)踐操作為學(xué)生這種再創(chuàng)造的建模提供了具體行為支撐，對(duì)模型的理解更為豐富，同時(shí)也為學(xué)生建模積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、在觀察分析中建模

數(shù)學(xué)模型是從多個(gè)具有共同事物的觀察分析中，抽象概括出共同的特征。為此，在教學(xué)過(guò)程中，要為學(xué)生建模提供足夠多的具體事例，讓學(xué)生多角度地充分觀察分析，這樣學(xué)生才能發(fā)現(xiàn)具體事例背后的共同特征，建立起數(shù)學(xué)模型。如在教學(xué)《減法性質(zhì)》一課時(shí)，我先讓學(xué)生觀察情境圖，得到如下信息：一本書(shū)234頁(yè)，昨天看了66頁(yè)，今天看了34頁(yè)，還剩下多少頁(yè)？學(xué)生獨(dú)立完成得出了三種不同的解法：①234-66-34=134；②234-（66+34）=134；③234-34-66=134。這三種解法當(dāng)中，①、③兩種解決的思路基本上一致的，而解法②與①、③是不一樣的，但結(jié)果是相等，即234-66-34=234-（66+34），然后我再讓學(xué)生計(jì)算：85-12-36和85-（12+36），120-45-55和120-（45+55），結(jié)果得出85-12-36=85-（12+36），120-45-55=120-（45+55），學(xué)生通過(guò)這3個(gè)式子觀察，就能感覺(jué)并分析到其中的規(guī)律，學(xué)生能語(yǔ)言表達(dá)出這3個(gè)式子共同的特征：一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)等于一個(gè)數(shù)減去這兩個(gè)數(shù)的和，這種表達(dá)已是對(duì)以上3種式子的抽象概括，已是一種模型了，在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生用字母表示出減法性質(zhì)的模型：a-b-c=a-（b+c）。這里建模的關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)3個(gè)式子進(jìn)行充分觀察與分析，才能發(fā)現(xiàn)共性，才能建構(gòu)起新的模型。endprint

小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多的模型都可以通過(guò)觀察分析的方法建構(gòu)起來(lái)，比如商的變化規(guī)律、積的變化規(guī)律、長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等，在教學(xué)中要提供3個(gè)及以上的具體事例，讓學(xué)生獨(dú)立觀察分析，為學(xué)生建模提供素材與平臺(tái)，這樣學(xué)生建模能力的培養(yǎng)才能落到實(shí)處。

四、在類(lèi)比猜想中建模

類(lèi)比推理是一種由特殊到特殊的推理方法。根據(jù)兩類(lèi)事物的相似性，用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物可能也具有該性質(zhì)。如根據(jù)整數(shù)的運(yùn)算定律類(lèi)推出小數(shù)運(yùn)算定律，由三角形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，類(lèi)推出梯形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)等?；趦深?lèi)事物的相似性，由一類(lèi)事物的模型類(lèi)比猜想出另一類(lèi)事物模型，這是培養(yǎng)學(xué)生建模的有效途徑。在教學(xué)《梯形面積計(jì)算》一課時(shí)，我先復(fù)習(xí)三角形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程：把兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，然后從中找出對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)出三角形面積計(jì)算公式模型：三角形面積=底×高÷2，用字母表示：S=a×h÷2。在此基礎(chǔ)上提出：三角形的面積計(jì)算公式是底×高÷2，那梯形的面積計(jì)算（下轉(zhuǎn)第52頁(yè)）（上接第43頁(yè)）公式可能是怎樣的？讓學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比猜想，因?yàn)橛辛饲懊嫒切蚊娣e推導(dǎo)回顧的基礎(chǔ)，且三角形與梯形具有相似性，學(xué)生不難類(lèi)推出梯形的面積計(jì)算公式的模型是：兩個(gè)完全一樣的梯形拼成的平行四邊形面積的一半。有了猜想的模型，學(xué)生就有了思考的方向，接下來(lái)就是對(duì)猜想的模型進(jìn)行推理、解釋和驗(yàn)證。所以類(lèi)比猜想能對(duì)學(xué)生建立新模型指明方向。

要讓學(xué)生能通過(guò)類(lèi)比猜想來(lái)建立建模，首先要求這兩個(gè)內(nèi)容要有相似性，這樣才能進(jìn)行類(lèi)比。另外，類(lèi)比是一種由特殊到特殊的思維，所以通過(guò)類(lèi)比建立起來(lái)的模型不一定都正確，比如在學(xué)習(xí)“因數(shù)與倍數(shù)”單元中“2的倍數(shù)”的特征模型是：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)。在學(xué)習(xí)《3的倍數(shù)》時(shí)，也可以引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比出“3的倍數(shù)”特征模型：個(gè)位上是0、3、6、9的數(shù)都是3的倍數(shù)，但通過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型錯(cuò)了，這時(shí)就要去建立新的模型。在這個(gè)過(guò)程中，雖然建立的模型錯(cuò)了，但學(xué)生卻經(jīng)歷了類(lèi)比來(lái)建立新模型的過(guò)程，同樣也很有意義。

學(xué)生建模能力的形成與發(fā)展需要一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，在教學(xué)過(guò)程中，教師要有培養(yǎng)學(xué)生建模能力的自覺(jué)，在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)條件，讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過(guò)程，并有意識(shí)地為學(xué)生建模能力的發(fā)展提供平臺(tái)，積極探索有效的培養(yǎng)學(xué)生建模能力的策略，這樣才能更好地促進(jìn)學(xué)生建模能力的發(fā)展。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.

[3]B.A.蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].北京：教育科學(xué)出版社，1984.

（責(zé)任編輯：李雪虹）endprint