多項式方程的迭代方法

高 尚，王長寶

（江蘇科技大學(xué)計算機科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

多項式方程的迭代方法

高 尚，王長寶

（江蘇科技大學(xué)計算機科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

基于韋達(dá)定理，給出了求解高次代數(shù)方程迭代方法，可同時迭代出所有實解。對其收斂性作了初步討論。給出了實例以及MATLAB源程序.

多項式方程；韋達(dá)定理；迭代方法

0 引言

由于矩陣特征值、微分方程等許多實際問題的求解往往歸結(jié)為多項式的求根問題；許多實際工程問題，如信號處理中經(jīng)常遇到的濾波器和最小相位系統(tǒng)的設(shè)計、頻譜分析、語音信號處理、信道編碼與解碼等都轉(zhuǎn)化成多項式求根問題[1-4]。4次以下的一元多項式在17世紀(jì)之前已有了公式解,但是對于5次及以上代數(shù)方程已經(jīng)沒有求根公式，只能求其數(shù)值解[5-6]。盡管已經(jīng)出現(xiàn)了一些數(shù)值計算意義下的求近似解的方法，如二分法、弦截法、迭代法、牛頓法等，但是這些方法卻都有模糊的先決條件和其他一些局限性。因此多項式的求根問題一直受到科技界的廣泛研究，對其研究有深遠(yuǎn)地意義。一般地，我們把關(guān)于x的代數(shù)方程稱 為x的n次多項式方程一般式。多項式方程基本定理：關(guān)于x的復(fù)系數(shù)方程 a xn+ a xn-1+ … + ax +a =0nn-11 0有且只有n個根（重根按重數(shù)計算）。本文基于韋達(dá)定理，擬采用迭代方法來求解2次以上的多項式方程。并且對于迭代方法一般迭代出一個根[7-10]，而本文方法將同時迭代出所有根。

1 韋達(dá)定理

2 一元2次方程的迭代方法

3 一元n次方程的迭代方法

4 代數(shù)方程的迭代方法的收斂性

從線性方程組的雅可比迭代方法、高斯賽德爾迭代方法的收斂性可知，不是所有迭代公式收斂，須滿足一些收斂條件[1-2]。對于本文的迭代方法，很明顯迭代方程是非線性的，其收斂性情況更復(fù)雜。這里僅討論一元2次方程的迭代收斂性。

先討論改進方法的收斂性：

由公式（6）可知：

5 結(jié)束語

對于代數(shù)方程求根一般迭代方法，每次迭代只能求出一個根。而本文方法是n個根同時迭代，可得到n個根，而且方法簡單，便于編程。本文只對一元2次方程迭代方法的收斂性進行了討論，其他情況的收斂性比較復(fù)雜，還需進一步研究。

附注1 3次方程的源程序：

clear all

b=–2;

c=–1;

d=2;

e=0.00005;

x1(1)=–0.5;

x2(1)=3;

x3(1)=–d/(x1(1)*x2(1));

x1(2)=–b–x2(1)–x3(1);

x2(2)=(c–x1(1)*x3(1))/(x1(1)+x3(1));

x3(2)=–d/(x1(1)*x2(1));

i=2;

while abs(x1(i)–x1(i–1))>e || abs(x2(i)–x2(i–1))>e || abs(x3(i)–x3(i–1))>e

i=i+1;

x1(i)=–b–x2(i–1)–x3(i–1);

x2(i)=(c–x1(i–1)*x3(i–1))/(x1(i–1)+x3(i–1));

x3(i)=–d/(x1(i–1)*x2(i–1));

end

x1

x2

x3

[1] 張雅靜, 田玉, 尚隨明. 旋轉(zhuǎn)極小曲面中微分方程通解的解法[J]. 軟件, 2016, 37(02): 08-10.

[2] 劉成軍. 基于消息傳遞接口的線性方程組并行計算研究[J].軟件, 2013, 34(1): 119-120.

[3] 周振華, 賴生建. 靜場Poisson方程的CUDA并行計算[J].新型工業(yè)化, 2011, 1(5): 52-58.

[4] 曾維理, 路小波. 帶有非局部全變分正則項的魯棒偏微分方程超分辨率方法[J]. 新型工業(yè)化, 2011, 1(8): 64-69.

[5] 高尚, 別小川, 秦斌. 計算方法[M]. 西安電子科技大學(xué)出版社, 2009.

[6] R. L. Burden, J. D. Faires. Numerical Analysis[M]. Higher Education Press & Thomson Learning, Inc. , 2001.

[7] 朱梅階, 朱偉雄. 切比雪夫迭代用于多項求根及其收斂性[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版), 2001, 28(2): 119-124.

[8] 曹敦虔, 張明. 基于進化策略方法求多項式的根[J]. 廣西科學(xué), 2007, 14(2): 98-102.

[9] 鄭一. 一元n次多項式根的展開公式及其求根算法[J]. 計算機應(yīng)用與軟件, 2003, 20(10): 65-67.

[10] 周智恒, 洪毅, 廖芹. 一元實系數(shù)多項式方程實根的求解問題[J]. 華南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2002, 30(5):8-11.

Iterative Methods for Polynomial Equations

GAO Shang, WANG Chang-bao
(School of Computer Science and Engineering, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003, China)

Base Vieta theorem, iterative methods for polynomial equations are proposed and all roots of polynomial equation can be found simultaneously. The convergence of methods is preliminarily discussed. Examples and MATLAB source code are given.

Polynomial equations; Vieta theorem; Iteration method

TP301.6

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.11.016

本文著錄格式：高尚，王長寶. 多項式方程的迭代方法[J]. 軟件，2017，38（11）：82-84

高尚(1972-)，教授，研究方向：數(shù)值計算，人工智能等；王長寶(1963-)，實驗室，研究方向：智能信息處理，嵌入式系統(tǒng)等。