姚潔
勾股定理是人類歷史上光彩奪目的明珠,它是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個定理;它是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本、最原始的兩個對象——數(shù)與形的第一定理;它揭示了無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別,引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機;它開始把數(shù)學(xué)由計算與測量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎撟C與推理的科學(xué).滿足勾股定理方程a2+b2=c2的正整數(shù)組(a,b,c)就稱為勾股數(shù)組,簡稱勾股數(shù),也叫畢達哥拉斯數(shù).
勾股方程a2+b2=c2中含有3個未知數(shù),方程的解不唯一.根據(jù)勾股定理,只要是直角三角形,三邊長都是它的解.本文只討論它的正整數(shù)解的情況,即勾股數(shù),以下全文均設(shè)勾股數(shù)中第一個數(shù)為a,第二個數(shù)為b,第三個數(shù)為c,且a
一、勾股數(shù)有公式可以計算嗎?
1. a為奇數(shù).
觀察下列勾股數(shù):(1)3,4,5;(2)5,12,13;(3)7,24,25;(4)9,40,41……可以發(fā)現(xiàn)兩個特點:①a為奇數(shù),且從3開始無間斷,b、c是連續(xù)自然數(shù);② a2=b+c.以上兩個特點,為解決直角三角形的周長問題提供了方便.
問題1:直角三角形的兩條直角邊為正整數(shù),其中一條短直角邊的長為13,求這個三角形的周長.
很多同學(xué)看到只有一個條件,束手無策,其實,根據(jù)特點①,我們可以設(shè)出另一條直角邊和斜邊,利用勾股定理列出方程,進而求得周長.設(shè)另一條直角邊為x,則斜邊為x+1,列方程得132+x2=(x+1)2,解得x=84,則周長=182.或者根據(jù)特點②,我們可以先求出另一條直角邊與斜邊的和,進而求得周長.
在利用勾股定理解決直角三角形問題時,掌握勾股數(shù)之間的特征,往往能事半功倍.進一步研究3條邊的關(guān)系,我們可以發(fā)現(xiàn):
①[12](32-1)=4,[12](32+1)=5;
②[12](52-1)=12,[12](52+1)=13;
③[12](72-1)=24,[12](72+1)=25;
④[12](92-1)=40,[12](92+1)=41;
……
能不能用代數(shù)式表示這3條邊呢?因為a為奇數(shù),所以設(shè)a=2n+1(n>0),則b=[12][(2n+1) 2-1][=2n2+2n],c=[12][(2n+1) 2+1]=
[2n2+2n+1],且a2+b2=c2,至此,可以得出此類勾股數(shù)的公式:(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1).
2. a為偶數(shù).
觀察下列勾股數(shù):(1)6,8,10;(2)8,15,17;(3)10,24,26;(4)12,35,37……可發(fā)現(xiàn)兩個特點:①a為偶數(shù),且從6開始無間斷,b、c是連續(xù)奇數(shù)或連續(xù)偶數(shù);②a2=2(b+c).以上兩個特點,也為求直角三角形的周長提供了方便.
問題2:直角三角形的兩條直角邊為正整數(shù),其中一條短直角邊的長為16,求這個三角形的周長.
根據(jù)特點①,我們可以設(shè)出另一條直角邊和斜邊,利用勾股定理列出方程,進而求得周長.或者根據(jù)特點②,我們可以先求出另一條直角邊與斜邊的和,進而求得周長.
進一步研究3條邊的關(guān)系,我們可以發(fā)現(xiàn):
①[12×62-1=8],[12×62+1=10];
②[12×82-1=15],[12×82+1=17];
③[12×102-1=24],[12×102+1=26];
④[12×122-1=35],[12×122+1=37];
……
同樣,能否利用代數(shù)式表示這3條邊呢?因為a為偶數(shù),所以設(shè)a=2n(n>2),則b=[12×2n2-1=n2-1],c=[12×2n2+1=n2+1],且a2+b2=c2.至此,可以得出此類勾股數(shù)的公式(2n,[n2-1],[n2+1]).
3.勾股數(shù)的通式.
下面,我們來更為深入地研究一下勾股數(shù).
由勾股定理,一個數(shù)的平方等于另外兩個數(shù)的平方和,我們很自然地想到完全平方公式: (x+y)2=x2+y2+2xy①, (x-y)2=x2+y2-2xy②.但是勾股定理的左右兩邊一共只有三項,且都是平方項,而完全平方公式卻有四項,如何消去一項呢?若將①+②,可得(x+y)2+(x-y)2=2x2+2y2,仍有四項,不合適;若將①-②,可得(x+y)2-(x-y)2=4xy,即(x+y)2=(x-y)2+4xy,等式的左右兩邊成功變成了三項,但不能保證4xy一定是平方項.如何將4xy變成平方項?一個簡單而有效的方法就是令x=m2,y=n2,這樣,等式就變?yōu)椋╩2+n2)2=(m2-n2)2+(2mn)2,于是,一個滿足勾股定理的等式就產(chǎn)生了,勾股數(shù)可以用(m2-n2,2mn,m2+n2)表示,我們稱它為勾股數(shù)的通式,其中m、n為正整數(shù)且m>n.
這時,聰明的同學(xué)們就要問了,之前兩個公式是不是這個通式的特例呢?其實,只要仔細觀察一下,不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)通式中的[m=n+1]時,勾股數(shù)(m2-n2,2mn,m2+n2)=[(n+1)2-n2,]
[2nn+1,n+12+n2]=(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1),這就是第一個公式;當(dāng)通式中的[n=1]時,勾股數(shù)(m2-n2,2mn,m2+n2)=(m2-1,2m,m2+1),這就是第二個公式的變形.由特殊到一般,再由一般回歸特殊的研究策略,是同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中要重點培養(yǎng)的一種數(shù)學(xué)意識.
二、勾股數(shù)可以全是奇數(shù)嗎?
我們已經(jīng)初步認識了一些勾股數(shù),例如:(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17)、(9,40,41)、(10,24,26)、(15,20,25)……那么,一組勾股數(shù)中有幾個奇數(shù)?幾個偶數(shù)?
如果我們對通式繼續(xù)進行研究,就可以發(fā)現(xiàn)端倪.通式[m2-n2,2mn,m2+n2]中,[m2-n2]、[2mn]表示兩條直角邊,[m2+n2]表示斜邊.當(dāng)[m>n]時,無論m、n取何正整數(shù),[2mn]一定是偶數(shù),即兩條直角邊中至少有一條邊為偶數(shù),我們只需要對[m2-n2]、[m2+n2]的奇偶進行研究即可.
當(dāng)m、n均為奇數(shù)時,則[m2]、[n2]也為奇數(shù),進而[m2-n2]、[m2+n2]均為偶數(shù),此時三個勾股數(shù)均為偶數(shù);當(dāng)m、n均為偶數(shù)時,則m2、n2也為偶數(shù),進而[m2-n2]、[m2+n2]亦為偶數(shù),此時三個勾股數(shù)均為偶數(shù);當(dāng)m、n為一奇一偶時,則m2、n2也為一奇一偶,進而[m2-n2]、[m2+n2]均為奇數(shù),此時三個勾股數(shù)為一偶兩奇.可見,不可能出現(xiàn)三個勾股數(shù)均為奇數(shù)的情況.
三、勾股數(shù)的分類
我們發(fā)現(xiàn)有些勾股數(shù)的最大公約數(shù)為1,例如(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17),此類勾股數(shù)被稱為本原勾股數(shù).有些勾股數(shù)的最大公約數(shù)大于1,例如(6,8,10)、(10,24,26)、(15,20,25),此類勾股數(shù)被稱為派生勾股數(shù).派生勾股數(shù)是本原勾股數(shù)擴大若干倍得來的,即若(a,b,c)是勾股數(shù),則(ka,kb,kc)也是勾股數(shù),其中k為正整數(shù).利用公式[2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1]得到的勾股數(shù)是本原勾股數(shù),利用公式[2n,n2-1,n2+1]得到的勾股數(shù)既有本原勾股數(shù),也有派生勾股數(shù).
此時,我們再來回顧一下問題2.如果3條邊是本原勾股數(shù),則解法不變,周長為144;如果3條邊是派生勾股數(shù),可以先分解16,[16=2×8=4×4],其中,[a]不可以等于2或4,當(dāng)[a=8]時,本原勾股數(shù)為(8,15,17),則擴大2倍后的派生勾股數(shù)為(16,30,34),此時周長為80.
所以,在用勾股定理解決此類問題時,要從本原勾股數(shù)與派生勾股數(shù)兩個角度去考慮.
四、勾股數(shù)通式的局限性
目前,勾股數(shù)的通式還是有局限性的,它可以推導(dǎo)出所有的本原勾股數(shù),但是不能推導(dǎo)出所有的派生勾股數(shù),例如(9,12,15)、(15,36,39)……
同學(xué)們,加油吧,勾股數(shù)的奧秘正等待著你去發(fā)掘,神秘的數(shù)學(xué)世界正等待著你去征服!
(作者單位:江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué))endprint