運(yùn)用模態(tài)疊加法研究擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失

鐘庭生，李亞光，圣小珍，肖新標(biāo)，杜幾平，劉謀凱

（西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031）

運(yùn)用模態(tài)疊加法研究擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失

鐘庭生，李亞光，圣小珍，肖新標(biāo)，杜幾平，劉謀凱

（西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031）

采用聲學(xué)模態(tài)疊加法建立單腔擴(kuò)張式消聲器傳遞損失計(jì)算模型，然后通過(guò)Matlab編程實(shí)現(xiàn)單腔擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的數(shù)值計(jì)算。在此基礎(chǔ)上，比較聲學(xué)模態(tài)疊加法、有限元法和基于平面波假定的經(jīng)典公式法在計(jì)算單腔擴(kuò)張式消聲器傳遞損失上的差別，研究單腔擴(kuò)張式消聲器膨脹段尺寸對(duì)傳遞損失的影響。結(jié)果表明，對(duì)于平面入射波，聲學(xué)模態(tài)疊加法可用于單腔擴(kuò)張式消聲器各頻段傳遞損失的計(jì)算；增大膨脹段的半徑能有效提高低頻段的傳遞損失，但對(duì)高頻段的影響較?。浑S著膨脹段寬度的增大，傳遞損失的峰值向低頻移動(dòng)，傳遞損失最大的頻段向高頻移動(dòng)。

聲學(xué)；單腔擴(kuò)張式消聲器；聲學(xué)模態(tài)疊加法；傳遞損失；Matlab

飛機(jī)和汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的進(jìn)排氣系統(tǒng)、建筑物的通風(fēng)和空調(diào)系統(tǒng)由許多管路組成，管路在換氣、輸送冷熱氣體的時(shí)候，也會(huì)傳播噪聲。消聲器主要用于消除管道中的噪聲，一般可以分為抗性消聲器和阻性消聲器兩大類[1]?？剐韵暺髦饕月暱剐栽硎乖诠艿乐袀鞑サ脑肼曈龅郊友b的消聲器后，被反射回去，而不是將傳播中的噪聲能量消耗掉[1]。因?yàn)樗哂忻黠@的頻率選擇特性，所以特別適用于在管道噪聲的頻譜中具有明顯的峰值特征的情況，一般適用于低中頻段[1]。擴(kuò)張式消聲器是工程上常用的抗性消聲器，其原理是通過(guò)膨脹段來(lái)改變聲波傳播路徑上的阻抗，從而使入射波發(fā)生反射，反射得越多，則傳到下游段的透射波就越少，就越能達(dá)到降噪的目的。

消聲器的傳遞損失定義為消聲器出口無(wú)反射時(shí)，消聲器進(jìn)口處的入射聲功率級(jí)與出口處的透射聲功率級(jí)之差[2]。消聲器的傳遞損失反映了其本身的聲波傳遞特性，不受聲源、管道系統(tǒng)的影響。基于對(duì)入射波、反射波和透射波均作平面波假定的單腔擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失經(jīng)典公式為

式中R1為管道半徑，R2為膨脹段半徑，L為膨脹段的寬度，k=ω/c為聲波的波數(shù)，ω為聲波的圓頻率，c為聲速。但是，如果入射波不是平面波，且其頻率高于消聲器的截止頻率，則基于平面波假定的公式就不能用，這時(shí)需要用聲學(xué)模態(tài)疊加法、聲學(xué)有限元法、聲學(xué)邊界元法等方法來(lái)計(jì)算它的傳遞損失。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)消聲器的傳遞損失進(jìn)行了大量研究，Davis等將一維解析法引入到擴(kuò)張式消聲器的計(jì)算當(dāng)中，并且給出了消聲器傳遞損失的計(jì)算公式[3]。Munjal等利用傳遞矩陣法計(jì)算了消聲器的傳遞損失[4]。Miles采用多維解析法計(jì)算了消聲器的傳遞損失[5]。Ji等應(yīng)用邊界元方法計(jì)算了考慮運(yùn)流效應(yīng)的消聲器傳遞損失，對(duì)于尺寸較大的結(jié)構(gòu)，提出了基于阻抗矩陣的子結(jié)構(gòu)邊界元法[6]。Selamet等應(yīng)用模態(tài)匹配方法計(jì)算了擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失[7]。Wu等通過(guò)建立擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的理論模型，探討了不同進(jìn)口彎角對(duì)消聲器聲學(xué)性能的影響[8]。宮建國(guó)等利用聲傳遞矩陣法，計(jì)算了消聲器的傳遞損失，分析了汽車消聲器的聲學(xué)特性，討論了不同參數(shù)對(duì)消聲器聲學(xué)性能的影響[9]。王鍵等利用有限元法分析了擴(kuò)張比、內(nèi)插管長(zhǎng)度以及擴(kuò)張腔的個(gè)數(shù)等因素對(duì)抗性消聲器聲學(xué)性能的影響，表明改進(jìn)消聲器的結(jié)構(gòu)參數(shù)可以有效提高消聲器的傳遞損失[10]。

本文采用聲學(xué)模態(tài)疊加法建立單腔擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的計(jì)算模型，然后利用有限元法和基于平面波假定的經(jīng)典公式法來(lái)驗(yàn)證該模型，最后利用所建立的模型討論膨脹段的尺寸參數(shù)對(duì)消聲器傳遞損失的影響。

1 運(yùn)用聲學(xué)模態(tài)疊加法計(jì)算傳遞損失

1.1 基本假設(shè)[1]

為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，對(duì)媒質(zhì)和聲波過(guò)程作如下假設(shè)和簡(jiǎn)化：

（1）媒質(zhì)為理想流體；

（2）沒(méi)有聲擾動(dòng)時(shí)，媒質(zhì)在宏觀上是靜止的，同時(shí)媒質(zhì)是均勻的；

（3）聲傳播時(shí)，媒質(zhì)中的稠密和稀疏過(guò)程是絕熱的；

（4）媒質(zhì)中傳播的是小振幅聲波，各聲學(xué)量是一級(jí)微量。

1.2 基本參數(shù)

如圖1所示，假設(shè)圓形截面單腔擴(kuò)張式消聲器上游段和下游段的半徑為R1，膨脹段的半徑為R2，寬度為L(zhǎng)，各段的軸線共線且各段內(nèi)壁均為光滑剛性壁面。管內(nèi)聲場(chǎng)用柱坐標(biāo)(r,θ,z)來(lái)描述。

圖1 單腔擴(kuò)張式消聲器示意圖

對(duì)于管內(nèi)頻率為ω的簡(jiǎn)諧波，其聲壓和空氣質(zhì)點(diǎn)速度幅值均是θ的周期函數(shù)，周期是2π，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)分解為所有環(huán)向諧波分量的疊加，即

其中m是環(huán)向諧波指數(shù)。

所以本文只考慮入射波是環(huán)向諧波指數(shù)為m、徑向模態(tài)階次為s的模態(tài)聲波[1–2]。

式中κ1,s為上游段的第s(s=0,1,2,…,)階徑向波數(shù)，可通過(guò)式(4)求得，即κ1,s為式(4)中κ的第(s+1)個(gè)非負(fù)實(shí)根[1–2]，為上游段的第s階軸向波數(shù)為聲波的波數(shù)，vi1z為上游段入射波的軸向速度，Jm為m階柱貝塞爾函數(shù)。

1.3 傳遞損失計(jì)算

一般來(lái)說(shuō)，膨脹段對(duì)上游段是一個(gè)聲負(fù)載，下游段對(duì)膨脹段是一個(gè)聲負(fù)載，因而會(huì)引起部分聲波的反射和透射。設(shè)在上游段有一入射波pi1和一反射波pre1，膨脹段有一入射波pi2和一反射波pre2，而下游段無(wú)限延伸，僅有透射波pt3。入射波是環(huán)向諧波指數(shù)為m、徑向模態(tài)階次為s的模態(tài)聲波，所以反射到上游段、在膨脹段和下游段中的波關(guān)于環(huán)向角度θ的變化規(guī)律不變，但關(guān)于徑向r和軸向z的變化規(guī)律要改變，反射到上游段、在膨脹段和下游段中的波可以看成是相應(yīng)的聲學(xué)模態(tài)波的疊加。如圖1所示，假定坐標(biāo)原點(diǎn)取在上游段和下游段的接口處，可以寫(xiě)出以下五種波的聲壓和質(zhì)點(diǎn)速度表達(dá)式。

(1)上游段各處聲壓p1和質(zhì)點(diǎn)軸向速度v1z

式中N1為上游段反射波所取的模態(tài)波的階數(shù)，An為系數(shù)，κ1,n為上游段的第n階徑向波數(shù)，為上游段的第n階軸向波數(shù)，ρ0為空氣密度，其它同上。

(2)膨脹段各處聲壓p2和質(zhì)點(diǎn)軸向速度v2z

式中N2為膨脹段入射波和反射波所取的模態(tài)波的階數(shù)，Bn、Cn為系數(shù)，κ2,n為膨脹段的第n階徑向波數(shù)，可通過(guò)式(8)求得，即κ2,n為式(8)中κ的第(n+1)個(gè)非負(fù)實(shí)根，為膨脹段第n階軸向波數(shù)，其它同上。

(3)下游段各處聲壓p3和質(zhì)點(diǎn)軸向速度v3z

式中Dn為系數(shù)，其它同上。

(4)邊界條件

在上游段和膨脹段接口處(z=0)由聲壓連續(xù)條件得

將式(5)和式(7)代入式(12)得

由軸向質(zhì)點(diǎn)速度連續(xù)條件得

將式(6)和式(9)代入式(14)得

在膨脹段和下游段接口處(z=L)，由聲壓連續(xù)條件得

將式(7)和式(10)代入式(16)得

由軸向質(zhì)點(diǎn)速度連續(xù)條件得

將式(9)和式(11)代入式(18)得

根據(jù)上下游段半徑R1和需要計(jì)算的最大頻率fmax從r=0到r=R1沿徑向等間距（間距為dr）取N1個(gè)點(diǎn)，再?gòu)膔=R1+dr到r=R2以同樣的間距dr取(N2-N1)個(gè)點(diǎn)，再將這N2個(gè)點(diǎn)的徑向坐標(biāo)r(i)代入式(13)、式(15)、式(17)和式(19)得到 2(N1+N2)個(gè)含有2(N1+N2)個(gè)未知量的線性代數(shù)方程組，通過(guò)數(shù)值計(jì)算可求得這些未知量，再代入式(5)、式(6)、式(7)、式(9)、式(10)、式(11)即可得到不同位置的聲壓和質(zhì)點(diǎn)軸向速度。

(5)計(jì)算傳遞損失

入射波和透射波的平均聲功率分別為

單腔擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失為

將式(3)代入式(20)得入射波的平均聲功率，將式(10)、式(11)代入式(21)得透射波的平均聲功率，再代入式(22)得單腔擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失

2 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果討論

本文計(jì)算的單腔擴(kuò)張式消聲器各段內(nèi)壁均為光滑剛性壁面，上下游段半徑R1=0.05 m，空氣密度ρ0=1.21 kg/m3，聲速c=343 m/s，距離單腔擴(kuò)張式消聲器右端接口的距離Lz=0.01 m，只考慮入射波為平面波(m=0,s=0)的情況。

2.1 三種方法計(jì)算所得的單腔擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的比較

圖2給出了分別用聲學(xué)模態(tài)疊加法、有限元法（LMS Virtural.Lab仿真計(jì)算）和基于平面波假定的經(jīng)典公式法計(jì)算所得的單腔擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的對(duì)比情況。其中膨脹段的截止頻率上下游段的截止頻率4 184Hz，單腔擴(kuò)張式消聲器的截止頻率

圖2 三種方法計(jì)算所得的單腔擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的比較

由圖2可知，對(duì)于平面入射波：

（1）聲學(xué)模態(tài)疊加法與有限元方法計(jì)算所得的單腔擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失基本一致，所以聲學(xué)模態(tài)疊加法可用于計(jì)算單腔擴(kuò)張式消聲器在各頻段的傳遞損失；

（2）低于單腔擴(kuò)張式消聲器截止頻率時(shí)，起初聲學(xué)模態(tài)疊加法與基于平面波假定的經(jīng)典公式法計(jì)算所得的傳遞損失差別非常較小，隨著頻率接近fcut-off，差距增大；

（4）在頻率小于單腔擴(kuò)張式消聲器的截止頻率fcut-off之前，除了平面波外主要是非傳播的高次波在起作用，且隨著頻率接近fcut-off，峰值向右偏移量越大，峰值的高度也有所增加，在頻率大于fcut-off時(shí)，可傳播的行波模式的高次波開(kāi)始起作用，平面波下的傳遞損失的周期規(guī)律不復(fù)存在。

2.2 膨脹段半徑對(duì)傳遞損失的影響

圖3給出了膨脹段半徑R2對(duì)單腔擴(kuò)張式消聲器(L=0.3 m)傳遞損失的影響云圖。其中膨脹段截止頻率最小的單腔擴(kuò)張式消聲器(R2=0.2 m)的截止頻率fcut-off-R2=3.832c∕2 πR2=1 046Hz ，上下游段的截止頻率fcut-off-R1=3.832c∕2 πR1=1 046Hz ，截止頻率最小的單腔擴(kuò)張式消聲器的截止頻率fcut-off-R=min(fcut-off-R1,fcut-off-R2)=1 046Hz。

圖3 膨脹段半徑對(duì)單腔擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的影響

由圖3可知，單腔擴(kuò)張式消聲器的其他參數(shù)不變的情況下，對(duì)于平面入射波：

（1）低于截止頻率最小的單腔擴(kuò)張式消聲器的截止頻率前一個(gè)零點(diǎn)頻率可用([2Lfcut-off-R/c]c/2L)來(lái)估算時(shí)，消聲器的傳遞損失隨著膨脹段半徑的增大而增大；

（2）在消聲器上下游段截止頻率內(nèi)，膨脹段半徑對(duì)消聲器的傳遞損失的影響較大，但隨著頻率的增大膨脹段半徑對(duì)消聲器傳遞損失的影響越來(lái)越小，高出一定頻率后，膨脹段半徑對(duì)消聲器的傳遞損失基本沒(méi)影響；

（3）低于消聲器的截止頻率的峰值頻率不隨膨脹段半徑變化而變化。

2.3 膨脹段寬度對(duì)傳遞損失的影響

圖4給出了膨脹段寬度L對(duì)單腔擴(kuò)張式消聲器(R2=0.08 m )的傳遞損失的影響云圖。

圖4 膨脹段寬度對(duì)單腔擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的影響

由圖4可知，單腔擴(kuò)張式消聲器其他參數(shù)不變的情況下，對(duì)于平面入射波：

（1）隨著膨脹段寬度的增大，消聲器傳遞損失的峰值向低頻移動(dòng)；

（2）隨著膨脹段寬度的增大，消聲器傳遞損失最大的頻段向高頻移動(dòng)。

2.4 膨脹段寬度與膨脹段半徑的比值對(duì)傳遞損失的影響

圖5給出了膨脹段寬徑比L/R2對(duì)單腔擴(kuò)張式消聲器(R2=0.08 m，Lz=0.01 m )的傳遞損失的影響曲線。

圖5 膨脹段寬徑比對(duì)單腔擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的影響

由圖5可知，當(dāng)L/R2＜0.82時(shí)沒(méi)有完整的近似周期存在。根據(jù)基于平面波假定的經(jīng)典公式可知，出現(xiàn)峰值的頻率為

所以只有當(dāng)L∕R2＞0.82時(shí)才可能出現(xiàn)完整的周期，模態(tài)疊加法的結(jié)果與此吻合。

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用聲學(xué)模態(tài)疊加法計(jì)算了擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失，并與有限元法和基于平面波假定的經(jīng)典公式法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，研究了消聲器膨脹段的尺寸對(duì)其傳遞損失的影響。對(duì)于平面入射波，研究表明：

（1）基于平面波假定的經(jīng)典公式法只能用于計(jì)算單腔擴(kuò)張式消聲器低于其截止頻率時(shí)的傳遞損失，頻率低于時(shí)，不但能簡(jiǎn)化計(jì)算還能得到較好的結(jié)果，聲學(xué)模態(tài)疊加法（入射波可以是模態(tài)波）可用于計(jì)算單腔擴(kuò)張式消聲器各頻段的傳遞損失，且可通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)輔助單腔擴(kuò)張式消聲器降噪的設(shè)計(jì)；

（3）隨著單腔擴(kuò)張式消聲器膨脹段寬度的增大，消聲器傳遞損失峰值向低頻移動(dòng)，消聲器傳遞損失最大的頻段向高頻移動(dòng)，可以通過(guò)改變膨脹段寬度來(lái)使其傳遞損失較大的頻段包含噪聲源的主要頻段，從而達(dá)到降噪的目的。

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Study on the Transmission Loss of an Expansion Muffler Using Modal Superposition Method

ZHONG Ting-sheng,LI Ya-guang,SHENG Xiao-zhen,XIAO Xin-biao,DU Ji-ping,LIU Mou-kai
(State Key Laboratory of Traction Power,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China）

The acoustic modal superposition method is used to establish the trasmission loss calculation model for the single chamber expansion muffler.Its transmission loss is computed through Matlab programming.On this basis,the difference of the acoustic modal superposition method,the finite element method and the classical formula method in calculating the transmission loss of the single chamber expansion muffler is found.The influence of the size of the single chamber expansion muffler on the transmission loss is studied.The research indicates that,for the incident plane wave,the acoustic mode superposition method can be used to calculate the transmission loss of the single chamber expansion muffler in whole frequency range.Increasing the radius of the expanding section can effectively raise the transmission loss in low frequency range,but has small influence on the transmission loss in high frequency range.With increasing of the width of the expansion section,the peak values of the transmission loss shift to low frequency side and the frequency band of the maximum transmission loss moves to the high frequency side.

acoustics;single chamber expansion muffler;acoustic modal superposition;transmission loss;Matlab

TB535+.1

ADIO編碼10.3969/j.issn.1006-1355.2017.06.041

1006-1355(2017)06-0206-05+215

2017-07-01

鐘庭生(1990-)，男，江西省贛州市人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檐壍澜煌ㄕ駝?dòng)與噪聲。

圣小珍，男，博士生導(dǎo)師。E-mail:shengxiaozhen@hotmail.com