多目標(biāo)博弈弱Pareto-Nash平衡點集的穩(wěn)定性研究

李天成，宋奇慶

(桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西 桂林 541004)

多目標(biāo)博弈弱Pareto-Nash平衡點集的穩(wěn)定性研究

李天成，宋奇慶

(桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西 桂林 541004)

運用一致拓?fù)涞姆椒ㄑ芯苛酥Ц逗瘮?shù)和策略集雙重擾動下多目標(biāo)博弈弱Pareto-Nash平衡點的穩(wěn)定性，結(jié)果表明大多數(shù)多目標(biāo)博弈的弱Pareto-Nash平衡點能夠抵抗支付函數(shù)和策略集的雙重擾動；證明了一定條件下弱Pareto-Nash平衡點的本質(zhì)穩(wěn)定連通區(qū)的存在性，推導(dǎo)出多目標(biāo)優(yōu)化問題弱有效解的本質(zhì)連通區(qū)的存在性，推廣了相應(yīng)文獻(xiàn)的結(jié)果.

多目標(biāo)博弈；弱Pareto-Nash平衡點；本質(zhì)連通區(qū)；穩(wěn)定性

多目標(biāo)博弈解的穩(wěn)定性分析是一個重要的研究課題.1956年，Blackwell[1]提出了具有向量值支付函數(shù)的零和博弈，Shapley等[2]在1959年引入了多目標(biāo)博弈平衡點的概念.由于在實際決策中決策者所考慮的目標(biāo)往往不止一個，而是多個主要目標(biāo)的綜合，因此多目標(biāo)博弈更符合客觀實際，逐漸受到眾多學(xué)者的關(guān)注.

近年來，Yu等[3]在一致拓?fù)淇臻g上建立了支付函數(shù)擾動下廣義博弈解集的本質(zhì)連通區(qū)的存在性定理；Yang等[4]通過引入向量值Ky Fan點及其本質(zhì)連通區(qū)的概念，進(jìn)一步證明了每一個多目標(biāo)博弈的弱Pareto-Nash平衡點集中至少存在一個本質(zhì)連通區(qū)；Lin[5]討論了多目標(biāo)廣義博弈在兩種不同拓?fù)淇臻g的弱Pareto-Nash平衡點集的存在性和本質(zhì)連通區(qū)的存在性；余孝軍[6]通過定義多目標(biāo)博弈的加權(quán)Nash平衡點集，得出與它對應(yīng)博弈的弱Pareto-Nash平衡點之間的關(guān)系，證明了在一定條件下多目標(biāo)博弈的弱Pareto-Nash平衡點集的通有穩(wěn)定性；Song等[7]給出了多目標(biāo)廣義博弈解的通有穩(wěn)定性結(jié)果.

值得指出的是，以上博弈的本質(zhì)連通區(qū)的存在性都是基于支付函數(shù)擾動下得到的.2009年，Yang等[8]證明了支付函數(shù)和策略集同時擾動下非合作博弈Nash均衡的本質(zhì)連通區(qū)的存在性.這些文獻(xiàn)表明在支付函數(shù)擾動條件下解的穩(wěn)定性得到了廣泛的研究，而支付和策略集同時擾動下解的穩(wěn)定性研究還較缺乏.事實上,博弈中保證策略集擾動時解的穩(wěn)定具有重要意義.基于此,本文將致力于研究支付函數(shù)和策略集雙重擾動下多目標(biāo)博弈弱Pareto-Nash平衡點的穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識

引理1[4]設(shè)Γ=(Fi,Xi)i∈I為n人多目標(biāo)博弈.對?i∈I,Xi是歐幾里得空間Pi中的非空緊凸子集，F(xiàn)i=(fi1,…,fiki):X→Rki滿足

1) 對?i∈I,j=1,…,ki,fij在X上是連續(xù)的；

2) 對?x-i∈X-i，?j=1,…,ki,yi→fij(yi,x-i)是凹的，則多目標(biāo)博弈Γ存在弱Pareto-Nash平衡點.

令M={Γ=(Fi,Ai)i∈I}為多目標(biāo)博弈Γ的集合，滿足：

i)Ai是Xi中的非空緊凸子集；

ii) 對?i∈I，F(xiàn)i在X上連續(xù)；

iii) ?i∈I，?x-i∈X-i以及?j=1,…,ki，yi→fij(yi,x-i)是凹的.

其中h是Hausdorff距離.顯然，(M,ρ)是一個完備度量空間.

對?Γ=(Fi,Xi)i∈I∈M，為了研究支付函數(shù)和策略集雙重擾動條件下多目標(biāo)博弈弱Pareto-Nash平衡點集E(Γ)的穩(wěn)定性，限制策略集Ai的擾動在intXi中，其中intXi表示Xi的相對內(nèi)部.對于給定的一個博弈Γ，博弈Γ在限制擾動條件下構(gòu)成的集合為M′，其中

定義2設(shè)Γ=(Fi,Xi)i∈I∈M且e(Γ)是E(Γ)的一個閉子集，則稱集合e(Γ)為博弈Γ關(guān)于M(M′)的本質(zhì)弱Pareto-Nash平衡點集，如果對任意開集U?e(Γ)，存在δ>0，使?Γ′∈M(M′)，滿足ρ(Γ,?！?<δ，有E(?！?∩U≠?.稱關(guān)于M(M′)的本質(zhì)集m(Γ)為極小本質(zhì)集，如果m(Γ)為E(Γ)的所有本質(zhì)集中按包含關(guān)系為序的極小元.若本質(zhì)集e(Γ)是單點集{x0}，則稱x0為本質(zhì)點.

定義3設(shè)X和Y是兩個度量空間，S:Y→2X是一個集值映射，則有

1) 稱S在y∈Y處是上半連續(xù)的，如果對任意開集U，有U?S(y)，存在y的開鄰域O(y)，使對任意y′∈O(y)，都有U?S(y′)；如果S在Y上的每一點都是上半連續(xù)的，則稱S在Y上是上半連續(xù)的.

2) 稱S在y∈Y處是下半連續(xù)的，如果對任意開集U，有S(y)∩U≠?，存在y的開鄰域O(y)，使對任意y′∈O(y)，都有S(y′)∩U≠?.

3) 如果S在Y上是上半連續(xù)的并且對任意y∈Y，S(y)是緊的，則稱F是一個上半連續(xù)緊映射，記為usco映射.

引理2[9]設(shè)M，X是兩個Hausdorff拓?fù)淇臻g，而且X是緊空間.如果集值映射S:M→2X的圖Gr(S)是閉的，那么S在M是上半連續(xù)的.

引理3[10]設(shè)E是度量空間，Y是Baire空間，S:Y→2E是usco映射，則存在Y中的一個稠密剩余集Q，使?y∈Q，集值映射S在y是下半連續(xù)映射.

2 支付函數(shù)和策略集擾動下多目標(biāo)博弈弱Pareto-Nash平衡點的本質(zhì)連通區(qū)

定理1集值映射E:M→2X在M上是usco映射.

以下采用反證法.假設(shè)x?E(Γ)，則存在yi∈Ai，使

fij(xi,x-i)-fij(yi,x-i)<0,?j={1,…,ki}.

因fij在X上連續(xù)，并且xn→x，故存在正整數(shù)N0，使n>N0時有

因為X是緊集，并且fij在X上連續(xù)，故對?Γ∈M，E(Γ)都是緊集，所以E是usco映射.

推論1在Baire分類意義下，大部分多目標(biāo)博弈?！蔒的每一個弱Pareto-Nash平衡點都是本質(zhì)解，即存在M的一個稠密剩余集Q，使??！蔘，博弈Γ是本質(zhì)的.

證明根據(jù)引理3和定理1，存在M的一個稠密剩余集Q，使?Γ∈Q，集值映射E在Γ上是下半連續(xù)的. 對任一?！蔘，?x0∈E(Γ)，取x0的任意開鄰域U(x0)，顯然E(Γ)∩U(x0)≠φ.因為集值映射E在Γ上是下半連續(xù)的，故存在Γ的鄰域O(Γ)，使?Γ′∈O(Γ)，都有E(Γ′)∩U(x0)≠φ.因此，x0是本質(zhì)解，從而博弈Γ是本質(zhì)的.

定理2對??！蔒，E(Γ)本身是本質(zhì)穩(wěn)定的且至少存在一個極小本質(zhì)集.

證明i) 任取開集U使U?E(Γ).由定理1知集值映射E:M→2X是上半連續(xù)的，故Γ存在一個鄰域O(Γ)，使??！洹蔕(Γ)都有U?E(Γ′)，故E(Γ′)∩U≠?，因此E(Γ)是本質(zhì)穩(wěn)定的.

注1定理2表明弱Pareto-Nash平衡點集中存在可以抵抗支付函數(shù)擾動和策略集擾動的穩(wěn)定解集.當(dāng)局中人的目標(biāo)為單目標(biāo)時,多目標(biāo)博弈轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的一般的非合作博弈,策略集擾動下的穩(wěn)定性意味著每一個極小的本質(zhì)集是完美平衡點.

推論2對??！蔒，如果E(Γ)是單點集{x0}，則x0是本質(zhì)點，從而博弈Γ是本質(zhì)的.

證明顯然，多目標(biāo)博弈Γ的弱Pareto-Nash平衡點集等同于相應(yīng)多目標(biāo)優(yōu)化問題的弱有效解，而根據(jù)文獻(xiàn)[11]知多目標(biāo)優(yōu)化問題的弱有效解集是連通的且由定理2知其是本質(zhì)的.

定理3對??！蔒，E(Γ)至少存在一個關(guān)于M′的極小本質(zhì)集m(Γ)，并且當(dāng)每一個關(guān)于M′的極小本質(zhì)集m(Γ)滿足m(Γ)?intX時,m(Γ)是連通的.

證明i) 顯然M′?M，使用類似于定理1和定理2的證明方法可知，對??！蔒，E(Γ)至少存在一個關(guān)于M′的極小本質(zhì)集m(Γ).

對任意x∈X，有

因此，

從而，對?x∈X，有

所以，

故E(Γ5)∩(V1∪V2)≠?，即E(Γ5)∩V1≠?或者E(Γ5)∩V2≠?.

注2對??！蔒，任意極小本質(zhì)集m(Γ)都可以抵抗支付函數(shù)Fi的擾動以及策略集Ai在intXi上的擾動.定理3給出了m(Γ)連通的一個充分的條件m(Γ)∈intX.如果沒有限制Ai在intXi的擾動而擴大擾動范圍，相應(yīng)的情況還需進(jìn)一步的研究.

定理4對于一個博弈?！蔒，如果m(Γ)∈intX是一個極小本質(zhì)集，那么E(Γ)至少存在一個本質(zhì)連通區(qū).

證明根據(jù)定理2和定理3，E(Γ)至少存在一個極小本質(zhì)集m(Γ)且m(Γ)是連通的，故存在α∈Λ，使m(Γ)∈Cα(Γ).對X中的任意開集O，滿足O?Cα(Γ)，則O?m(Γ).因m(Γ)是本質(zhì)的，故存在δ>0，對?Γ′∈M，使ρ(Γ,Γ′)<δ，有E(?！?∩O≠?.因此，連通區(qū)Cα(Γ)是本質(zhì)的.

注3定理3和4證明了穩(wěn)定的平衡點集的連通性,事實上,基于公理化的研究,文[12]表明連通性是穩(wěn)定Nash平衡點集滿足公理的必要條件之一.對任意?！蔒，如果x0∈E(Γ)且{x0}?intX是關(guān)于M′的本質(zhì)連通區(qū)，則x0是關(guān)于M′的本質(zhì)弱Pareto-Nash平衡點.

注4當(dāng)ki=1，?i=1,2,…,n時，多目標(biāo)博弈等價于一般非合作博弈，多目標(biāo)博弈的弱Pareto-Nash均衡對應(yīng)于通常的非合作博弈的Nash均衡.因此，定理4推廣了文[8]中定理3.1相應(yīng)的結(jié)果.

[1] BLACKWELL D. An analog of the minimax theorem for vector payoffs[J]. Pacific Journal of Mathematics,1956,6(1):1-8.

[2] SHAPLEY L S, RIGBY F D. Equilibrium points in games with vector payoffs[J]. Naval Research Logistics，1959,6(1):57-61.

[3] YU J, LUO Q. On essential components of the solution set of generalized games[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,1999,230(2):303-310.

[4] YANG H, YU J. Essential components of the set of weakly Pareto-Nash equilibrium points[J]. Applied Mathematics Letters,2002,15(5):553-560.

[5] LIN Z. Essential components of the set of weakly Pareto-Nash equilibrium points for multiobjective generalized games in two different topological spaces[J]. Journal of Optimization Theory and Applications,2005,124(2):387-405.

[6] 余孝軍.多目標(biāo)對策的弱Pareto-Nash平衡點集的穩(wěn)定性研究[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2008,38(21):227-232.

[7] SONG Q Q, WANG L S. On the stability of the solution for multiobjective generalized games with the payoffs perturbed[J]. Nonlinear Analysis: Theory Methods & Applications,2010,73(8):2680-2685.

[8] YANG H, XIAO X C. Essential components of Nash equilibria for games parametrized by payoffs and strategies[J]. Nonlinear Analysis： Theory Methods & Applications,2009,71(12):e2322-e2326.

[9] KLEIN E, THOMPSON A C. Theory of correspondences[M]. New York: A Wiley-Interscience Publication,1984.

[10] FORT M K. Points of continuity of semi-continuous functions[J]. Publicationes Mathematicae,1951,2:100-102.

[11] WARBURTON A R. Quasiconcave vector maximization: connectedness of the sets of Pareto-optimal and weak Pareto-optimal alternatives[J]. Journal of Optimization Theory and Applications,1983,40(4):537-557.

[12] KOHLBERG E, MERTENS J F. On the strategic stability of equilibria[J]. Econometrica,1986,54(5):1003-1037.

TheStabilityoftheWeaklyPareto-NashEquilibriumPointsSetforMulti-objectiveGames

LI Tiancheng, SONG Qiqing

(College of Science, Guilin University of Technology, Guilin 541004, China)

This article studies the stability of the weakly Pareto-Nash equilibrium points set for multi-objective games under the dual perturbations of payoffs and strategies using uniform topology. The results show that the weakly Pareto-Nash equilibrium point for most multi-objective games has the ability to resist these dual perturbations from payoff functions and strategy sets. Furthermore, the existence of essential connected components of weakly Pareto-Nash equilibrium points is proved under some conditions. And the existence of essential connected components of weak efficient solutions of a multi-objective optimization problem is deduced. These generalize the corresponding results in relevant references.

multi-objective game; weakly Pareto-Nash equilibrium; essential component; stability

2017-02-23

國家自然科學(xué)基金項目(11661030)；廣西自然科學(xué)基金項目(2016GXNSFAA380059).

宋奇慶(1980-)，男，副教授，博士，主要從事博弈論與非線性分析的研究.E-mail:songqiqing@126.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.06.013

O177.91MSC201091A10；54C60

A

1674-232X(2017)06-0641-06