文︳周田虎 黃元華

齒線有曲線方程嗎

文︳周田虎 黃元華

齒輪是日常生產(chǎn)生活中常見的傳動設(shè)施。本文中，我們稱類似齒輪輪廓線的曲線叫齒線。齒線可以有各種形狀，如機械手表的機芯為圓形齒線，木工用的鋸條為直線型齒線。當然也可以根據(jù)特殊需要設(shè)計其他形狀的齒線。我們感興趣的是各類齒線是否存在一種具有一定規(guī)律可循的曲線方程？帶著這個問題，筆者經(jīng)過初步探究，得到了一種簡單實用的構(gòu)造各種形狀齒線方程的方法。

一、課本原題的推廣

新課標高中數(shù)學教材必修4（北師大版）第一章三角函數(shù)中有一道習題：利用五點法或借助信息技術(shù)畫出函數(shù)y=sinx-|sinx|的圖像。

本題難度不大。筆者對本題展開了一般化研究，借助幾何畫板，畫出了更多的形如y=a+b（sinnx±|sinnx|）（a，b∈ ，b≠0，n∈ *，下同）的函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)它們均呈齒線形狀。圖1為函數(shù)y=2+0.2·（sin10x-|sin10x|）（x∈［-2π，2π］）的圖像。

圖1

通過進一步探究，我們發(fā)現(xiàn)方程y=a+b·（sinnx-|sinnx|）的曲線具有下列性質(zhì)：

（1）在［0，2π］上曲線的齒數(shù)為 n；

（2）齒長（齒尖到直線y=a的距離）為2|b|；（3）當b＞0時齒尖向下，當b＜0時齒尖向上。

二、齒化曲線的方程

我們嘗試把方程y=a+b·（sinnx-|sinnx|）中的a換為kx+m，即 得 方 程 y=kx+m+b（sinnx-|sinnx|）。例如，y=2x+1+0.2（sin10x-|sin10x|），借助幾何畫板，畫出其曲線，如圖2?？梢哉f，方程y=2x+1+0.2（sin10x-|sin10x|）把直線y=2x+1齒化了。

一般地，若曲線C：y=f（x），則曲線C′：y=f（x）+b（sinnx-|sinnx|）（b≠0）①為曲線 C 的一種齒化曲線，稱①為曲線C的齒化曲線方程。

圖3中從左至右依次為直線y=kx+m，拋物線y=x2，雙曲線 y，對數(shù)曲線y=lnx的一種齒化曲線。

圖2

圖3

類比可以得知：在極坐標系中，若曲線C：ρ=ρ（θ），則曲線 C′：ρ=ρ（θ）+b（sinnθ-|sinnθ|）（b≠0）②為曲線C的一種齒化曲線，稱②為曲線C的齒化曲線方程。

利用幾何畫板，可以畫出極坐標系中圓C：ρ=2 的一種齒化曲線 C′：ρ=2±0.2（sin20θ-|sin20θ|）。

圖4中左圖的方程為ρ=2+0.2·（sin20θ-|sin20θ|）， 右 圖 的 方 程 為 ρ=2-0.2·（sin20θ-|sin20θ|）。

圖4

這里，我們不僅得到了兩個非常漂亮的齒線，也得出了一種具有實用價值的設(shè)計圓形齒線的簡潔方法。依照這個方法我們就可以根據(jù)齒輪的多少、齒長的大小等要求設(shè)計齒輪。

圖5是極坐標系中的一些曲線的齒化曲線。

圖5

它們的方程從左到右依次為ρ=0.2θ+1-1.5·（sin60θ-|sin60θ|），θ∈［0，5π］，0.2（sin60θ-|sin60θ|），ρ=2 （1+cosθ）-0.2（sin60θ-|sin60θ|），ρ=3 （1+0.85cos2θ+sin24θ）+0.2 （sin60θ-|sin60θ|）。

容易知道，若把上面的（sinnx-|sinnx|）換成另外一些具有一定周期的齒形函數(shù)，將可得到很多千姿百態(tài)的齒線，有興趣的讀者不妨繼續(xù)探討。

廣東省深圳高級中學）