楊 亮， 季振林

(哈爾濱工程大學(xué) 動力與能源工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

消聲器中高頻傳遞損失計算的有限元-模態(tài)匹配混合方法

楊 亮， 季振林

(哈爾濱工程大學(xué) 動力與能源工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

提出了有限元-模態(tài)匹配混合方法用于計算消聲器中高頻傳遞損失，將消聲器進出口面上的節(jié)點聲學(xué)量展開為模態(tài)疊加的形式并代入有限元方程，以本征函數(shù)為權(quán)系數(shù)對進出口面上的聲壓進行積分，從而建立起以內(nèi)部節(jié)點聲學(xué)量和進出口模態(tài)幅值系數(shù)為未知量的線性方程組。結(jié)合邊界條件計算得到消聲器進出口面上的各階模態(tài)幅值系數(shù)，進而得到進出口聲功率用于傳遞損失的計算。分別對抗性和阻性消聲器的傳遞損失進行了計算，驗證了有限元-模態(tài)匹配混合方法在全頻段范圍的有效性。

消聲器；傳遞損失；中高頻；有限元；模態(tài)匹配

傳遞損失是消聲器最主要的性能評價指之一，目前在大部分研究中，消聲器傳遞損失的計算都是基于進出口為平面波假設(shè)進行的[1-3]，但是對于空調(diào)暖通管道、電站消聲器以及大型船用消聲器等實際工程問題，由于消聲器進出口尺寸大或者目標(biāo)計算頻率高，通常在消聲器進出口管道中存在多個可傳播的高階模態(tài)，此時傳統(tǒng)的傳遞損失計算方法不再適用，因此，研究用于消聲器中高頻傳遞損失的計算方法具有重要的現(xiàn)實意義。

Zhou等[4]基于互易性原理和阻抗矩陣方法[5]，使用邊界元法計算消聲器平面波以上的傳遞損失，但由于邊界元方法自身的局限性，給方法的推廣應(yīng)用帶來了一定困難。Kirby等[6-7]使用配點法計算了空調(diào)暖通管道的聲學(xué)性能并通過與實驗值的比較驗證了方法的正確性，但是配點法對配點位置的選擇較為敏感，可能會導(dǎo)致收斂不穩(wěn)定等問題。在較新版本的商業(yè)軟件LMS Virtual. Lab中，包含有計算平面波截止頻率以上傳遞損失的計算模塊，但是目前該方法還只能用于進出口截面為圓形和方形的規(guī)則結(jié)構(gòu)。

考慮到有限元法對復(fù)雜結(jié)構(gòu)聲學(xué)計算的適應(yīng)性，以及模態(tài)匹配法可獲得等截面管道內(nèi)的聲模態(tài)幅值系數(shù)，本文試圖將二者結(jié)合形成一種新的混合方法用于計算消聲器寬頻范圍內(nèi)(進出口管道內(nèi)為平面波和非平面波)的傳遞損失，出發(fā)點是考慮得到消聲器進口入射波以及出口透射波的模態(tài)幅值系數(shù)，進而利用聲功率進行傳遞損失計算。該方法的基本思想是：將進出口的聲學(xué)量展開為模態(tài)疊加的形式并代入有限元方程中，在進出口面上利用本征函數(shù)的正交性，對聲壓展開式以本征函數(shù)為權(quán)系數(shù)在進出口面上積分，最后得到以結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點聲學(xué)量和模態(tài)幅值系數(shù)為未知量的線性方程。本文將對有限元-模態(tài)匹配混合方法的理論推導(dǎo)、平面波以上傳遞損失計算方法以及混合方法在抗性和阻性消聲器的應(yīng)用進行詳細的分析。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 抗性消聲器

抗性消聲器內(nèi)部聲場控制方程為Helmholtz方程，應(yīng)用伽遼金加權(quán)余量法，根據(jù)格林公式可以得到：

(1)

式中:p為節(jié)點聲壓向量;n為外表面的法線方向;N為形函數(shù);k為波數(shù)。外邊界Γ分為三個部分：入口面ΓA、出口面ΓB以及外部剛性壁ΓR，如圖1所示。由于剛性壁面質(zhì)點振速為0，因此式(1)右端項可以改寫為

(2)

圖1 消聲器模型Fig.1 Model of silencer

消聲器進口管內(nèi)的聲壓和質(zhì)點振速可以表示為模態(tài)的形式

(3)

v(x,y,0)=

(4)

式中:Φ為進口截面特征函數(shù)(或本征函數(shù));A和B分別為入射波和反射波的模態(tài)幅值系數(shù);kn,z為軸向波數(shù);Ni為進口聲波模態(tài)展開項的個數(shù);ρa為空氣密度;ω為角頻率。將出口設(shè)定定無反射邊界，即出口管內(nèi)只有透射波，因此出口的聲壓和質(zhì)點振速可表示為

(5)

(6)

式中:l為出口在z方向的坐標(biāo);Ψ為出口截面的特征函數(shù);C為透射波的模態(tài)幅值系數(shù);No為模態(tài)展開項的個數(shù)，則式(2)右端項可以改寫為

(7)

式中,j為虛數(shù)單位。引入模態(tài)匹配的概念，在進出口截面分別對聲壓的模態(tài)展開表達式取相應(yīng)截面的本征函數(shù)作為權(quán)系數(shù)并且在截面積上進行積分[8]，則對式(3)和(5)可以得到

(8)

(m=0,1,2,…,M)

(9)

在本文中，為了將計算擴展為任意截面進出口消聲器的傳遞損失計算，截面本征函數(shù)的求解使用的是二維有限元方法[9-10]，對于圓形以及矩形截面，本征函數(shù)存在解析表達式[11]。關(guān)于本征函數(shù)的計算方法本文不再贅述。

在消聲器傳遞損失的計算中，進口處的入射波通常給定為平面波，即：A0=1，An=0(n≠0)。將公式(1)以及式(8)、(9)整理為以進口反射波和出口透射波模態(tài)幅值系數(shù)以及消聲器內(nèi)部節(jié)點聲學(xué)量為未知量的方程：

[D]{p}+j[E]T{B}+j[E′]T{C}=j[G]T

(10)

-[F]{B}+[E]{p}=[H]

(11)

-[F′]{B}+[E′]{p}=[0]

(12)

其中：

將式(10)～(12)進一步整理為矩陣的形式，可以表示為

(13)

求解線性方程組(13)即可同時得到透射波的各階模態(tài)幅值系數(shù)以及消聲器內(nèi)部節(jié)點的聲壓值，之后即可利用進出口的聲功率計算消聲器的傳遞損失。

1.2 阻性消聲器

對于如圖2所示的阻性消聲器，兩個區(qū)域ΩA和ΩB的控制方程可以分別表示為

(14)

(15)

圖2 穿孔管阻性消聲器Fig.2 Perforated tube dissipative silencer

穿孔壁面Sp1和Sp2處的法向質(zhì)點振速un和壓力跳躍Δp可以通過穿孔的特性聲阻抗聯(lián)系，即

(16)

式中：ξp為穿孔特性聲阻抗;ca為聲速;pp1和pp2分別為穿孔壁面處空氣一側(cè)和吸聲材料一側(cè)的聲壓。

在區(qū)域Ωa內(nèi)，根據(jù)伽遼金加權(quán)余量法以及格林公式，并代入相應(yīng)邊界條件整理可得：

(17)

同理，對區(qū)域Ωb，由加權(quán)余量法以及格林公式，代入邊界條件整理可得：

(18)

根據(jù)進出口質(zhì)點振速的模態(tài)展開表達式(4)及(6)，式(17)中右端項可以表示為

(19)

進出口聲壓的模態(tài)展開形式與抗性消聲器相同。以本征函數(shù)為權(quán)系數(shù)分別在進出口面上積分得到與式(11)～式(12)相同的表達式，最后，整理式(11)～(12)及式(17)～(18)可以得到如下線性方程組

(20)

其中，

2 考慮高階模態(tài)傳播的傳遞損失計算

當(dāng)計算的頻率高于消聲器進出口管道的平面波截止頻率時，進出口管道內(nèi)的聲波將不再以平面波的形式傳播，若干個高階模態(tài)成為可傳播的模態(tài)，為此需考慮高階模態(tài)的影響。消聲器傳遞損失的計算公式為

TL=10lg10(WI/WO)

(21)

由于進口處為平面波激勵，則入射聲功率可以表示為

WI=0.5S1/ρaca

(22)

出口設(shè)置為無反射端，出口的透射聲功率為

(23)

式中，Re(·)表示對括號內(nèi)的數(shù)值取實部，Conj(·)為對括號內(nèi)的數(shù)值取共軛，n為出口截面的單元總數(shù)，S1和S2分別為進出口的面積。

3 算例驗證

本節(jié)通過三個消聲器算例驗證提出的混合方法的正確性。

對如圖1所示的簡單膨脹腔抗性消聲器，膨脹腔內(nèi)徑D=800 mm，膨脹腔長度l=400 mm，進出口管直徑d1=300 mm，d2=300 mm，聲速為c0=343 m/s，空氣密度為ρ0=1.2 kg/m3。對于此消聲器，進出口平面波的截止頻率約為1 395 Hz，圖4傳遞損失計算結(jié)果的比較?？梢钥闯觯捎诰紤]了高階模態(tài)的影響，本文提出的混合方法與Zhou等的邊界元方法吻合較好；而基于傳統(tǒng)進出口平面波假設(shè)的傳遞損失計算結(jié)果在平面波截止頻率以上出現(xiàn)了負值，這是不合理的，因此也說明了考慮可傳播的高階聲模態(tài)對消聲器傳遞損失計算結(jié)果的影響是十分必要的。

圖3 簡單膨脹腔消聲器Fig.3 A simple expansion chamber

圖4 簡單膨脹腔傳遞損失計算結(jié)果Fig.4 Transmission loss prediction of the simple expansion chamber

對于如圖5所示的穿孔管阻性消聲器，膨脹腔內(nèi)徑D=800 mm，膨脹腔長度l=400 mm，進出口管直徑d1=300 mm，d2=300 mm，穿孔管穿孔率φ=25%。吸聲材料采用長纖維玻璃絲棉，該吸聲材料的特性阻抗和波數(shù)的表達式分別為[12]

j0.085(ρaf/σ)-0.732

(24)

j0.189(ρaf/σ)-0.595

(25)

式中:σ為材料的流阻率;f為計算頻率;當(dāng)材料的填充密度為100 g/L時，此材料的流阻率為4 896 Rayls/m。該消聲器進出口的平面波截止頻率約為1 395 Hz。

圖5 直通穿孔管阻性消聲器Fig.5 Straight-through perforated tube dissipative silencer

圖6為消聲器傳遞損失計算結(jié)果比較?？梢钥闯?，本文混合方法計算結(jié)果與Virtual. Lab管道聲模態(tài)方法結(jié)果在整個頻率范圍內(nèi)吻合較好，與抗性消聲器類似，傳統(tǒng)基于進出口平面波傳播假設(shè)的方法在平面波截止頻率以上會出現(xiàn)不合理的負值，進一步說明了本文混合方法的合理性以及考慮可傳播高階聲模態(tài)對消聲器中高頻傳遞損失影響的重要性。

圖6 直通穿孔管阻性消聲器傳遞損失計算結(jié)果

Fig.6 Transmission loss of the straight-through perforated tube dissipative silencer

本文提出的混合方法理論上可以應(yīng)用于進出口為任意形式截面的傳遞損失計算中，下面通過一個進出口為橢圓形截面的阻性消聲器說明方法的可行性。消聲器結(jié)構(gòu)如圖7所示，結(jié)構(gòu)尺寸為：膨脹腔長度l=400 mm，膨脹腔直徑D=800 mm，進出口橢圓長軸長度d1=500 mm，短軸長度d2=300 mm,穿孔管穿孔率以及吸聲材料與上例相同。傳遞損失計算結(jié)果如圖8所示，對于本例，由于沒有可用的成熟商業(yè)軟件作為檢驗標(biāo)準(zhǔn)，本文使用進出口所有單元的聲壓平均值計算傳遞損失，在頻率較低范圍，混合方法與傳統(tǒng)方法計算結(jié)果吻合良好，在高頻范圍，傳統(tǒng)方法會出現(xiàn)不合理的數(shù)值突變，而混合方法傳遞損失曲線則較為光滑，說明了方法對任意形式截面管道的適用性；另一方面，也說明了使用聲壓平均值仍然無法考慮高階聲模態(tài)的影響，混合方法的應(yīng)用具有實際意義。

圖7 帶有橢圓進出口的直通穿孔管阻性消聲器

Fig.7 Straight-through perforated tube dissipative silencer with ellipse inlet/outlet

圖8 橢圓進出口直通穿孔管阻性消聲器計算結(jié)果

Fig.8 TL of Straight-through perforated tube dissipative silencer with ellipse inlet/outlet

4 結(jié) 論

鑒于有限元方法在消聲器聲學(xué)性能計算方面的通用性，本文提出了一種直接求解方法：有限元-模態(tài)匹配混合方法用于計算消聲器平面波以上的傳遞損失，在傳統(tǒng)有限元方法的基礎(chǔ)上，將消聲器進出口面上的質(zhì)點振速表示為模態(tài)展開的形式并代入有限元方程；對于聲壓的模態(tài)表達式以截面本征函數(shù)為權(quán)系數(shù)并且在進出口截面上積分，通過求解線性方程組得到透射聲波的各階模態(tài)幅值系數(shù)，進而利用進出口聲功率計算消聲器的傳遞損失。通過簡單膨脹腔抗性消聲器和穿孔管阻性消聲器兩個算例驗證了方法的正確性，最后，通過對一個進出口為橢圓形截面的消聲器傳遞損失的計算，說明了混合方法在實際問題中的普適性。

有限元-模態(tài)匹配方法理論上可以計算進出口截面為任意形狀消聲器寬頻范圍內(nèi)的傳遞損失，兼顧了有限元方法的計算通用性以及模態(tài)匹配方法直接計算模態(tài)幅值系數(shù)簡便性的優(yōu)勢，可用于計算任意頻率下消聲器的傳遞損失，突破了傳統(tǒng)方法只能計算進出口管道內(nèi)為平面波時消聲器傳遞損失的局限性。

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FE-modematchinghybridapproachfortransmissionlosspredictionofsilencersinmid-highfrequencyrange

YANG Liang, JI Zhenlin

(College of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

A FE-mode matching hybrid method was proposed to evaluate the transmission loss of silencers in mid-high frequency range. The acoustic variables at the inlet and outlet were expressed in terms of modal superposition form and then substituted into the FE equation of a silencer. The intrinsic functions were adopted as weight functions the sound pressures at the inlet and outlet area were integrated. Therefore, the linear equations with internal nodal acoustic variables and modal amplitude coefficients at the inlet and outlet as the unknown variables were established. The modal amplitude coefficients at the inlet and outlet were then obtained by solving the linear equations combining the corresponding boundary conditions. Furthermore, the sound powers at the inlet and outlet were gained to calculate the transmission loss of a silencer. The transmission losses of reactive and dissipative silencers were calculated respectively to verify the effectiveness of the proposed approach in the whole frequency domain.

silencer; transmission loss; mid-high frequency; finite element (FE); mode matching

國家自然科學(xué)基金(11174065)

2016-08-02 修改稿收到日期：2016-09-13

楊亮 男，博士生，1989年生

季振林 男，教授，博士生導(dǎo)師，1965年生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.035