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      高中數(shù)學中概率的基本性質(zhì)

      2017-12-29 01:17:09田?;?/span>湖南省長沙市第一中學
      數(shù)碼世界 2017年7期
      關(guān)鍵詞:記作點數(shù)頻數(shù)

      田?;?湖南省長沙市第一中學

      高中數(shù)學中概率的基本性質(zhì)

      田?;?湖南省長沙市第一中學

      日常生活中,經(jīng)常會遇到一些無法事先預料結(jié)果的事情,它們被稱為隨機事件。比如,拋擲一枚硬幣,它將正面朝上還是反面朝上、購買本期福利彩票是否能夠中獎等,這些事情的結(jié)果都有不確定性,是無法預知的,但當我們把隨機的事件都放在一起時,它們可能會表現(xiàn)出令人驚訝的規(guī)律性。為了研究這種隨機事件的規(guī)律性,高中數(shù)學中引進了概率,概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量,本人將探討概率的基本性質(zhì)。

      概率 不可能事件 隨機事件

      1 事件概念

      一般地,我們把在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的必然事件,簡稱必然事件。

      在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的不可能事件,簡稱不可能事件。

      必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件,簡稱確定事件。

      在條件S下肯定能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的隨機事件,簡稱隨機事件。

      2 概率的概念

      概率,又稱或然率、機會率、機率(幾率)或可能性,是概率論的基本概念。概率是對隨機事件發(fā)生的可能性的度量,一般以一個在0到1之間的實數(shù)表示一個事件發(fā)生的可能性大小。越接近1,該事件更可能發(fā)生;越接近0,則該事件更不可能發(fā)生。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試,某件事發(fā)生的可能性是多少,這都是概率的實例。

      3 事件的關(guān)系與運算

      思考:在擲骰子試驗中,我們用集合形式定義如下事件:

      C1={出現(xiàn)1點},C2={出現(xiàn)2點},C3={出現(xiàn)3點},C4={出現(xiàn)4點},C5={出現(xiàn)5點},C6={出現(xiàn)6點},D1={出現(xiàn)的點數(shù)不大于1},D2={出現(xiàn)的點數(shù)大于4},D3={出現(xiàn)的點數(shù)小于6},E={出現(xiàn)的點數(shù)小于7},F(xiàn)={出現(xiàn)的點數(shù)大于6},G={出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)},H={出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)},等等。你能寫出這個試驗中出現(xiàn)其它一些事件嗎?類比集合與集合的關(guān)系,運算,你能發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系和運算嗎?上述事件中哪些是必然事件?哪些是隨機事件?哪些是不可能事件?

      ①顯然,如果事件C1發(fā)生,則事件H一定發(fā)生,這時我們說事件H包含事件C1,記作

      一般地,對于事件A和B,如果事件A發(fā)生時,事件B一定發(fā)生,這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)記作B A(或

      ②如果C1發(fā)生,那么事件D1一定發(fā)生,反過來也對,這時我們說這兩個事件相等,記作C1=D1。一般地,若B?A,且A?B,則稱事件A與事件B相等,記作A=B。

      ③若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件),記作A∪B(或A+B)。

      例如,在擲骰子的試驗中,事件C1∪C5表示出現(xiàn)1點或5點這個事件,即C1∪C5={出現(xiàn)1點或5點}。

      ④若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件),記作A∩B(或AB)。

      例如,在擲骰子的試驗中D2∩D3=C4。

      ⑤若A∩B為不可能事件,即A∩B=φ,那么稱事件A與事件B互斥。其含義是:事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生。

      例如,上述試驗中的事件C1與事件C2互斥,事件G與事件H互斥。

      ⑥若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,則稱事件A與事件B互為對立事件,其含義是:事件A與事件B有且只有一個發(fā)生。在上述試驗中,G∩H為不可能事件,G∩H為必然事件,所以G與H互為對立事件。

      4 概率的幾個基本性質(zhì)

      ①由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗的次數(shù),所以頻率在0~1之間,從而任何事件的概率在0~1之間,即

      0≤P(A)≤1

      ②每次試驗中,必然事件一定發(fā)生,因此它的頻率為1,從而必然事件的概率為1,如,在擲骰子試驗中,由于出現(xiàn)的點數(shù)最大是6,因此P(E)=1。

      ③每次試驗中,不可能事件一定不出現(xiàn),因此他的頻率為0,從而不可能事件的概率為0。如,在擲骰子試驗中,P(F)=0。

      ④當事件A與B互斥時,A∪B發(fā)生的頻數(shù)等于A發(fā)生的頻數(shù)與B發(fā)生的頻數(shù)之和,從而A∪B的頻率Fn(A∪B)=Fn(A)+Fn(B)。

      由此得到概率的加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)。

      ⑤特別地,若事件A與B為對立事件,則A∪B為必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)。

      隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生是不確定的,但在大量重復試驗中,隨機事件的發(fā)生是有規(guī)律的,概率就是要尋找這種規(guī)律性。

      [1]龔先貴,高中數(shù)學概率教學研究經(jīng)營管理者.[J].湖南師范大學,2013(09)

      [2]司存瑞,利用概率性質(zhì)解數(shù)學分析問題.[J].陜西教育學院學報,1995(02)

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