高中數(shù)學中不等式證明的幾種常用方法

譚博文 湖南省長沙市雅禮中學

高中數(shù)學中不等式證明的幾種常用方法

譚博文 湖南省長沙市雅禮中學

不等式是高中數(shù)學的重要知識，考察我們學生對不等式理論熟練掌握的程度，是衡量我們學生數(shù)學知識水平的重要環(huán)節(jié)。高中數(shù)學中不等式證明的幾種常用方法包括：比較法、綜合法、分析法、換元法等。不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個高中數(shù)學教學之中?；诖?，文章對高中數(shù)學中不等式證明的幾種常用方法進行了探討。

高中數(shù)學 不等式證明 常用方法

1 什么是高中不等式的常用方法

不等式在高中數(shù)學中占有重要的一席之地，高中不等式的常用方法靈活多樣，具體包括比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、換元法、構造法、數(shù)學歸納法等。其中比較法、分析法、綜合法和換元法仍是證明不等式的最基本方法。不等式最基本方法要依據(jù)題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧與語言特點進行解題，最終歸結為不等式的求解或證明。不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫穿于整個高中的數(shù)學中。

2 高中數(shù)學中不等式證明教學的幾種常用方法

2.1 比較法

比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：做差（或作商）后，通過分解應因式、配方、通分等手段變形判斷符號的大小，然后做出結論。作差（或作商）、變形、判斷符號，如，依據(jù)做差比較法a＞b，a-b＞0（或a＜0），通過計算不等式兩邊的差，進行比較，得出所要證明的結論。已知：a、b、c為正數(shù)，求證：a3+b3+c3≥3abc證明：因為a3+b3+c3-3abc等于（a+b+c）（a2+b2+c2-abbc-ca）等于（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc。

2.2 分析法

從求證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題，轉化為證明這些條件，是否具備的問題。如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以判定所正的不等式成立，這種方法叫做分析大。如，設a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2，要證a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

2.3 綜合法

從已知或證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質及公理推導出欲證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。如，設a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2，而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。因為a≠b，所以a-b≠0，因為(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0，亦即a2-ab+b2＞ab，由題設條件知，a+b＞0，所以(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證。

2.4 換元法

換元法是高中數(shù)學中一種常見的數(shù)學解題方法，在數(shù)學解題過程中有很多比較復雜的或者存在兩個及兩個以上未知條件的數(shù)學題，解題時根據(jù)知識間的內在聯(lián)系，適時地轉化題目中的數(shù)量關系，通過各個變量間的條件轉換，把一種問題轉化為另一種問題，從而簡化整個解題過程。在數(shù)學解題時，如果能靈活運用換元法，不僅能有效鍛煉學生的思維敏捷性，而且能夠有效地提高學生的思維能力。

換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。如：當k＜1時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點，解析a=1，由a=1知f(x)=x3-3x2+x+2，設g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4，由題 設 知1-k＞0，g＇(x)=3x2-6x+1-k＞0，g(x)單調遞增，g（-1）=k-1＜0，g(0)=4，所以g(x)=0d[-∞，0]上有一實根，當x＞0時，令h(x)=x3-3x2+4，則g(x)=h(x)+(1-k)x＞h(x)，h＇(x)=3x2-6x=3x(x-2)，h(x)在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，所以g(x)＞h(x)≥(2)=0，所以g(x)=0在(0，+∞)上沒有實根。綜上g(x)=0在R上有唯一實根，即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點。

通過上文的分析可知，在高中數(shù)學的學習過程中，比較法、分析法、綜合法、換元法是幾種比較常用的解題方法。它不僅能簡化解題過程，而且能夠幫助學生分析解題思路。在課堂教學中，教師在教學目的和教學內容確定后，要指導我們學生對高中數(shù)學中不等式證明的幾種常用方法進行靈活運用，從中加強學生自身的邏輯思維與提高數(shù)學不等式知識的學習能力，并促進我們學生的智力發(fā)展，從而有效提高我們學生的學習能力。

[1]王庭元.例說不等式證明的幾種常用方法[J].高中數(shù)學教與學，2014,8:20-20

[2]貝雪芬.高中數(shù)學中不等式的證明方法淺析[J].高中數(shù)理化，2012,22:42-42