李錫均，程敏熙

(華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006)

基于數(shù)碼設備測量轉動慣量

李錫均，程敏熙

(華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006)

介紹了Matthaios測量轉動慣量的方法，針對其實驗誤差來源進行了改進. 采用視頻分析技術，輔以手機傳感器測量了轉動慣量，測量過程簡便，誤差小于1%.

轉動慣量；Tracker；智能手機

對于物體轉動慣量的測量，國內高等院校開設的實驗項目主要采用的方法有三線擺法、落體法、扭擺法等，這些實驗項目在加深學生對剛體轉動規(guī)律的認識上起到了重要作用[1]. 然而，這些傳統(tǒng)測量方法的測量結果存在較大誤差，且也有著一定的局限性. 如三線擺法和復擺法難以對較大的物件進行準確測量[2]，扭擺法系統(tǒng)誤差較大[3]，落體法由于儀器構造關系測量結果還需要減去儀器轉軸和線輪的轉動慣量等[4]. 而且，這些傳統(tǒng)方法都需要相應的特定實驗儀器才能實施測量.

隨著社會科技的不斷發(fā)展，近年來越來越多的研究者在物理實驗中引進了現(xiàn)代設備，并取得了良好的實驗效果. 文獻[5]提出了僅用斜面和智能手機就能測出物體轉動慣量的簡單方法. 該方法簡便高效，大幅降低了實驗難度和設備要求，為轉動慣量的測量提供了全新的思路. 但該方法仍存在一定的局限性，而且測量誤差較大. 因此，本文擬對此方法進行改進，并采用更為精確的視頻分析測量手段，縮減實驗誤差.

1 Matthaios的方法介紹及評析

此方法將智能手機固定在質量為m、半徑為R的剛體上(如圖1所示)，并將該剛體放置在傾角為θ的斜面頂端自由釋放. 在斜面向下滾動的過程中，其受到重力、支持力及摩擦力，由于重力和支持力對剛體的力矩為0，剛體受到的合外力矩即為摩擦力的力矩：

L=fR=(mgsinθ-maC)R,

(1)

其中aC為剛體質心的加速度. 另一方面，綁定在剛體上的智能手機可通過內置的角速度傳感器記錄剛體角速度ω隨時間t的變化關系，從而得出剛體的角加速度ar. 由于

aC=Rar,

(2)

L=Iar,

(3)

聯(lián)立(1)～(3)式，可得到剛體轉動慣量的表達式

(4)

在已知R，m，g和θ的情況下，只要測出剛體在斜面上滾動的角加速度ar，便可求得其繞中心軸的轉動慣量.

圖1 Matthaios實驗方法示意圖

文獻[5]的方法優(yōu)點在于其使用的實驗裝置極其簡單,實驗操作簡便，而且采用智能手機進行實驗，在一定程度上也能激發(fā)學生的興趣. 然而，智能手機必須綁定在剛體上才能對角速度進行測量，而其自身的體積和質量將會對測量結果產生影響. 為了減小這種影響所帶來的誤差，文獻[5]中挑選了質量十分大的杠鈴作為待測剛體，減少手機對測量結果的影響. 但即便如此，Matthaios最后測得的數(shù)據和理論值相比，仍有8%的誤差. 因此這種方法不僅誤差較大，而且對待測物體也有所限制，對于一些質量和體積較小的物體，將會因手機不能綁定在其上而無法測量.

2 實驗方法的改進

由于綁定在剛體上的手機是實驗誤差的主要來源，若采用非接觸測量的視頻分析方法，將可以從根源上消除這一實驗誤差.

關于視頻分析的工具，當下較為流行的是一款名為Tracker的視頻軌跡分析軟件. 該軟件從2012年由丁曉彬和董晨鐘從國外引進國內后[6]，就得到了不少國內研究者的關注. Tracker通過追蹤視頻中物體的運動軌跡，可以簡便快捷地分析出物體的速度、加速度等運動信息，目前已被成功運用到拋體運動的研究[7]、液體黏度的測量[8]、彈簧振子的研究[9]及驗證動量守恒[10]等諸多實驗中.

本文在文獻[5]的實驗基礎上，改用視頻分析工具Tracker進行測量，具體操作如下：

1)以質量為m、半徑為R的木質圓柱為待測物體，在其上表面的圓心處畫1個黑點(方便后期軌跡追蹤)，并將其放置在斜面頂端自由滾下.

2)在斜面?zhèn)让娣胖?臺攝像機(如圖2所示)，記錄下物體的運動圖像.

圖2 利用視頻分析測量物體質心加速度

3)將圖像傳至電腦，利用Tracker追蹤物體質心的運動軌跡，通過圖像擬合分析，得到物體質心的加速度aC.

4)聯(lián)立(1)～(3)式，原方法中的轉動慣量表達式(4)則變?yōu)?/p>

(5)

在已知m，g，R，θ的情況下，便可得出物體的轉動慣量I.

3 實驗數(shù)據的測量、處理及分析

3.1 斜面傾角的確定

在文獻[5]中，斜面傾角θ是直接給出的，作者并沒有提及測定的方法. 傳統(tǒng)測量斜面傾斜角的工具為量角器，若放置斜面的桌面和地面并不平行，則量角器測得的角度不能嚴格等于θ值，從而產生測量誤差.

對此，本文利用了智能手機中“水平儀”的軟件，通過調用手機內部的重力感應器和陀螺儀(測量轉動角度的傳感器元件)，可以自動計算出手機所在平面與水平面的夾角. 因此只需將手機平行放置在斜面上，便可通過“水平儀”快速準確地得到斜面和水平面的夾角θ(如圖3所示).

圖3 水平儀自動測量傾角

3.2 剛體質心加速度的分析測量

在利用攝像機得到剛體的運動圖像后，將其導入到視頻分析軟件Tracker中. 首先以斜面的斜邊長度(0.58 m)對畫面內的長度進行定標，同時建立坐標軸，并使x軸與剛體質心的運動方向平行. 然后使用軟件的軌跡追蹤功能，每隔0.02 s記錄1次剛體質心在圖像中的位置，從而得到剛體的運動軌跡(如圖4所示).

在Tracker自帶的數(shù)據分析工具中，可導出剛體質心的位移x隨時間t的數(shù)據變化圖. 利用拋物線方程

x=At2+Bt+C

，

(6)

對數(shù)據點進行擬合，可得到擬合參量A，B，C(如圖5所示). 對比勻加速直線運動公式

(7)

可知，剛體的質心加速度

aC=2A.

(8)

圖4 利用Tracker進行軌跡追蹤

圖5 Tracker數(shù)據工具的擬合圖及擬合參量

3.3 轉動慣量的計算

通過調節(jié)斜面的傾斜角度，在相同的實驗條件下拍攝多段視頻，同時采用前文所述的方法進行數(shù)據處理，得到多組θ與aC的值，將其代入(5)式中，便可得到剛體的轉動慣量I，如表1所示(其中剛體半徑R為0.59 m，質量m通過電子秤測得為0.187 kg，廣州地區(qū)重力加速度g為9.788 m/s2,I的理論值為3.255×10-4kg·m2).

表1 剛體轉動慣量I的測量結果

從表1可看出，幾次測得的轉動慣量I值十分接近，且與理論值的相對偏差較小.

4 結束語

本文通過分析文獻[5]中測量轉動慣量實驗

的誤差來源，對其實驗方法進行了改進，采用視頻分析的非接觸測量方法，在保留了操作簡便性的同時(利用Excel軟件的自動計算功能，平均測定一次轉動慣量所需時間為3～4 min)，也大幅縮減了實驗誤差. 除了規(guī)則的圓柱體外，此方法理論上適用于一切可以自由滾動的物體(塑料水管、圓形水杯、汽車車輪等)的轉動慣量測量. 由于數(shù)碼設備已逐漸在學生中普及，故相比起傳統(tǒng)測量手段，此方法使得學生的實驗活動可以不被限制在實驗室內，即使在宿舍或者戶外有斜坡的地方也可進行實驗.

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Measuringrotaryinertiabydigitalinstrument

LI Xi-jun, CHENG Min-xi

(School of Physics and Telecommunication Engineering,South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

A convenient way to measure rotary inertia was introduced. By analyzing the error of the experiment, some improvements were made. The improved experiment adopted video-analysis technology and used smart phone sensor to measure the rotary inertia. The measuring process was convenient, and experiment error was less than 1%.

rotary inertia; Tracker; smart phone

2017-06-29

廣東省高等教育學會實驗室管理專業(yè)委員會2016年度研究基金項目(No.GDJ2016055)

李錫均(1994-)，男，廣東廣州人，華南師范大學物理與電信工程學院2016級研究生，研究方向為信息技術在物理教學中的應用.

程敏熙(1962-)，男，廣東四會人，華南師范大學物理與電信工程學院副教授，博士，研究方向為光電技術與系統(tǒng)、物理課程與教學論.

O313.3

A

1005-4642(2017)12-0017-04

尹冬梅]