趙鳳鳴
(四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系,四川 遂寧 629000)
平面內(nèi)直線與二次曲線分有向線段所成的比
趙鳳鳴
(四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系,四川 遂寧 629000)
給出了平面內(nèi)直線與二次曲線分有向線段所成的比的公式,得到了平面內(nèi)梅涅勞斯定理的必要條件的兩個(gè)推廣.
直線;二次曲線;有向線段;梅涅勞斯定理
我們知道,在直角坐標(biāo)平面中求兩直線的交點(diǎn),通常是要解兩直線的方程構(gòu)成的方程組,但是,如果已知兩點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)及直線l的方程,要求l與直線P1P2交點(diǎn)P,則用如下定理1先求出點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比λ,再用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式通常要方便得多.
定義1設(shè)點(diǎn)P1,P2不在直線l上,l與直線P1P2交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比λ叫做直線l分有向線段P1P2所成的比.若λ>0,則稱l內(nèi)分有向線段P1P2,若λ<0,則稱l外分有向線段
P1P2.
按定義,直線l分有向線段P1P2所成的比λ=下面在直角坐標(biāo)平面內(nèi)研究直線分有向線段
所成的比.
定理1設(shè)直角坐標(biāo)平面xoy內(nèi)點(diǎn)P(1x1,y1),P2(x2,y2),直線 l:Ax+By+C=0 交直線 P1P2于點(diǎn) P(異于P2),l分有向線段 P1P2所成的比為 λ,則
例1求兩點(diǎn)P1(-5,2),P2(1,3)所在直線與直線17x+52y+7=0的交點(diǎn).
定義2設(shè)點(diǎn)P1,P2不在二次曲線l上,l與直線P1P2交于點(diǎn)Q1,Q2,則點(diǎn)Q1,Q2分有向線段P1P2所成的比λ1,λ2叫做直線l分有向線段P1P2所成的比.若 Q1,Q2重合,即 l與直線 P1P2相切,此時(shí) λ1=λ2.
定理2直角坐標(biāo)平面xoy內(nèi)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2) 不在二次曲線 l:f(x,y)=0 上,l分有向線段P1P2所成的比為 λ1,λ2,則
證明:設(shè)l:f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,l與直線P1P2交于點(diǎn)Q1,Q2,則點(diǎn)Q1,Q2分有向線段P1P2所成的比λ1,λ2,現(xiàn)以Q表l與直線P1P2的任意交點(diǎn),點(diǎn)Q分有向線段P1P2所成的比為λ,則QQ的坐標(biāo)代入f(x,y)=0并整理成關(guān)于λ的一元二次方程f(x2,y2)λ2+g(x1,y1,x2,y2)λ+f(x1,y1)=0,則λ1,λ2是此方程的兩根,故λ1λ2=
推論 直角坐標(biāo)平面 xoy內(nèi)兩點(diǎn) P1(x1,y1),P2(x2,y2)不在二次曲線l:f(x,y)=0上,l與直線P1P2交于點(diǎn)Q1,Q2,若f(x1,y2)=f(x2,y2),則P1Q1=Q2P2.
[1]葉立軍.初等數(shù)學(xué)研究[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2008:201.
O 182.1;O 123.1
A
1672-2094(2017)05-0167-02
2017-08-27
趙鳳鳴(1982-),女,四川閬中人,四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師,碩士。研究方向:近世代數(shù),初等數(shù)論.
張隆輝
四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2017年5期