1 引言

一般來(lái)說(shuō)抽樣誤差是指樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的絕對(duì)誤差。抽樣誤差是衡量抽樣檢查準(zhǔn)確程度的指標(biāo)，抽樣誤差越大，表明樣本對(duì)總體的代表性越小，抽樣調(diào)查的結(jié)果越不可靠；反之，抽樣誤差越小，說(shuō)明樣本對(duì)總體的代表性越大，抽樣調(diào)查的結(jié)果越準(zhǔn)確可靠。對(duì)抽樣誤差深入研究可以發(fā)現(xiàn)，抽樣誤差分為抽樣實(shí)際誤差和抽樣平均誤差。

抽樣實(shí)際誤差是指隨機(jī)抽取的某一樣本的樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)的差數(shù)。例如，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差 ，樣本成數(shù)與總體成數(shù)之差 。由于總體指標(biāo)的未知性，樣本指標(biāo)的隨機(jī)性（不唯一性），即按照隨機(jī)原則從同一總體中抽取樣本容量相同的樣本可以有多重不同的抽取方法，抽取樣本的隨機(jī)性，產(chǎn)生的樣本指標(biāo)也具有隨機(jī)性，抽樣實(shí)際誤差也是隨機(jī)的，是不可求的。

為了用樣本指標(biāo)去推算總體指標(biāo)，就需要計(jì)算這些抽樣實(shí)際誤差的平均數(shù)，即抽樣平均誤差。

2 概念提出

（一）抽樣平均誤差的概念

抽樣平均誤差是反映抽樣實(shí)際誤差一般水平的指標(biāo)，確切地說(shuō)抽樣平均誤差是指樣本平均數(shù)（或成數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)差，也可以理解為所有樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)的平均離差。抽樣平均誤差一般用希臘字母 表示，其中抽樣平均數(shù)的平均誤差用 表示，抽樣成數(shù)的平均誤差用 表示。

抽樣平均誤差的作用表現(xiàn)在它能夠說(shuō)明樣本指標(biāo)代表性的大小，抽樣平均誤差越大，說(shuō)明樣本指標(biāo)對(duì)總體指標(biāo)的代表性越低；抽樣平均誤差越小，說(shuō)明樣本指標(biāo)對(duì)總體指標(biāo)的代表性越高。

雖然某一次的抽樣實(shí)際誤差具有不確定性，但是抽樣實(shí)際誤差是客觀存在的，是可以計(jì)算的。

（二）抽樣平均誤差的計(jì)算

根據(jù)抽樣平均誤差的概念，抽樣平均誤差用公式可表示如下：

抽樣平均數(shù)的平均誤差：

抽樣成數(shù)的平均誤差： 是所有可能抽取的樣本個(gè)數(shù)。

在實(shí)際中，由于 、 是未知的，也不可能一一列舉出所有的樣本，計(jì)算出每個(gè)樣本的指標(biāo) 、 ，因此無(wú)法按以上定義公式來(lái)計(jì)算抽樣平均誤差。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)證明，抽樣平均誤差的計(jì)算公式如下。

1.抽樣平均數(shù)的平均誤差公式。

重復(fù)抽樣：

不重復(fù)抽樣： （ ）其中， 稱為修正系數(shù)。通常情況下，當(dāng) 很大時(shí)， 幾乎等于 ， 可以用 代替。不重復(fù)抽樣下抽樣平均數(shù)的平均誤差可簡(jiǎn)化為： （ ） 在公式中， 是總體標(biāo)準(zhǔn)差，但在實(shí)際計(jì)算時(shí)，總體標(biāo)準(zhǔn)差通常是未知的，在大樣本的情況下，通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替。

2.抽樣成數(shù)的平均誤差。

重復(fù)抽樣：

不重復(fù)抽樣： （ ）

通常情況下，當(dāng) 很大時(shí)， 幾乎等于 ，不重復(fù)抽樣下的抽樣成數(shù)的平均誤差計(jì)算公式可簡(jiǎn)化為： （ ）， 上式中 應(yīng)為總體成數(shù)，實(shí)際計(jì)算時(shí)通常用樣本成數(shù) 代替。

由于 ，在同樣條件下不重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差總小于重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差。將上述抽樣平均誤差計(jì)算公式歸納成表4-1。

表4-1 抽樣平均誤差計(jì)算公式

項(xiàng)目重置抽樣不重置抽樣

抽樣平均數(shù)

平均誤差

抽樣成數(shù)

平均誤差

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差或方差未知時(shí)，可以用以下方法解決：

第一， 用樣本方差來(lái)代替總體方差，即用 代替 ，用樣本成數(shù) 代替總體成數(shù) 。 第二， 可用過(guò)去全面調(diào)查的資料，也可以用過(guò)去抽樣調(diào)查的資料代替。如果有多個(gè)不同的材料，應(yīng)應(yīng)選擇方差數(shù)值較大的。可見(jiàn)，在相同條件下，不重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差總小于重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差。

3 影響抽樣平均誤差的因素

從上述計(jì)算抽樣平均誤差的公式中可以看出，影響抽樣平均誤差大小的因素主要有：

1.總體各單位標(biāo)志值的差異程度

在其他條件不變的情況下，總體標(biāo)志的變異程度越小，抽樣誤差越小；總體標(biāo)志的變異程度越大，抽樣誤差越大。抽樣誤差和總體標(biāo)志的變異程度成正比變化，這是因?yàn)榭傮w標(biāo)志的變異程度越小，表示總體各單位標(biāo)志值之間的差異越小，則樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的差異也就會(huì)越小。如果總體各單位標(biāo)志值相等，即總體標(biāo)志的變異程度為零，則 或 均為零，樣本指標(biāo)等于總體指標(biāo)，此時(shí)就不存在抽樣誤差。

2.樣本單位數(shù)

在其他條件不變的情況下，樣本單位數(shù)越多，抽樣誤差越小；樣本單位數(shù)越少，抽樣誤差越大。這是因?yàn)殡S著樣本單位數(shù)的增多，樣本結(jié)構(gòu)越接近總體，抽樣調(diào)查也就越接近全面調(diào)查，當(dāng)樣本單位數(shù)擴(kuò)大到總體單位數(shù)時(shí)，則抽樣調(diào)查變?yōu)槿嬲{(diào)查，也就不存在抽樣誤差了。

3.抽樣方法

抽樣方法不同，抽樣誤差也不同，在其他條件不變的情況下，不重置抽樣的抽樣平均誤差總小于重置抽樣的抽樣平均誤差，當(dāng) 相當(dāng)大或者 相對(duì)于 很小時(shí)，兩者的抽樣平均誤差相近。

（作者單位：無(wú)錫城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院）