蔣金團(tuán)

(云南省保山市施甸縣第一完全中學(xué) 云南 保山 678200)

牛云景

(昆明市西山區(qū)第一中學(xué) 云南 昆明 650106)

一道高考?jí)狠S題提示信息的深度探秘

蔣金團(tuán)

(云南省保山市施甸縣第一完全中學(xué) 云南 保山 678200)

牛云景

(昆明市西山區(qū)第一中學(xué) 云南 昆明 650106)

先采用微分方程法對(duì)2013年高考福建壓軸題的提示信息進(jìn)行了深度探秘，再用配速法求出粒子的最大速度．

高考 復(fù)合場(chǎng) 微分方程 配速法

1 問題的提出

【題目】(2013年高考福建卷第22題)如圖1(a)所示，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．讓質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿加xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場(chǎng)中．不計(jì)重力和粒子間的影響．

圖1 題圖

(1)若粒子以初速度v1沿y軸正向入射，恰好能經(jīng)過x軸上的A(a，0)點(diǎn)，求v1的大??；

(2)已知一粒子的初速度大小為v(v>v1)．為使該粒子能經(jīng)過A(a，0)點(diǎn)，其入射角θ(粒子初速度與x軸正向的夾角)有幾個(gè)？并求出對(duì)應(yīng)的sinθ值;

(3)如圖1(b)所示，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿y軸正向發(fā)射．研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)，且在任一時(shí)刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標(biāo)成正比，比例系數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小E無關(guān)．求該粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度值vm．

【參考答案】

點(diǎn)評(píng)分析：這道題的難點(diǎn)是第(3)問，該問考查帶電離子在電磁疊加場(chǎng)中的擺線運(yùn)動(dòng)．很多學(xué)生處理曲線運(yùn)動(dòng)的第一直覺是正交分解，但擺線運(yùn)動(dòng)不像拋物運(yùn)動(dòng)那般簡(jiǎn)單，它的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)是變加速曲線運(yùn)動(dòng)，沒有現(xiàn)成的公式可用，為了避開這一難點(diǎn)，命題者給出了一個(gè)重要的提示信息：在任一時(shí)刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標(biāo)成正比，比例系數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小E無關(guān)．運(yùn)用該信息的難點(diǎn)是比例系數(shù)的求解，參考答案的做法是緊緊抓住比例系數(shù)與電場(chǎng)無關(guān)，令E=0，利用磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)求出比例系數(shù)再代回電磁疊加場(chǎng)中求最大速度．一些物理同行覺得這個(gè)提示匪夷所思，他們認(rèn)為有電場(chǎng)時(shí)和無電場(chǎng)時(shí)的比例系數(shù)相同難以接受，因此探討這個(gè)提示信息是很有必要的．

2 用微分方程法探究提示信息

粒子運(yùn)動(dòng)到P(x,y)點(diǎn)時(shí)，其受力情況如圖2所示，根據(jù)牛頓第二定律，在x軸方向上有

(1)

圖2 粒子運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)受力情況

在y方向上有

(2)

式(2)兩邊求導(dǎo)

(3)

聯(lián)立式(1)、(3)得

(4)

式(4)通解為

vy=C1eαtcosβt+C2eαtsinβt=

(5)

聯(lián)立式(2)、(5)得

(6)

將初始條件t=0,vx=0,vy=v0代入(5)、(6)兩式得

(7)

對(duì)式(5)積分得

(8)

聯(lián)立式(6)、(7)得

需要說明的是，上述推導(dǎo)過程用到了微分知識(shí)，大多數(shù)高中生很難接受，因此接下來采用另一種既避開微分方程也避開提示信息的方法求最大速度．

3 用配速法求速度最大值

帶電粒子在正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，若所受的電場(chǎng)力和洛倫茲力不平衡而做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，將粒子的初速度v0分解成v1和v2，令v1對(duì)應(yīng)的洛倫茲力qBv1抵消電場(chǎng)力，則復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng)等效成是速率為v1的勻速直線運(yùn)動(dòng)和速率為v2的圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．

如圖3所示，由約束關(guān)系得

qE=qv1B

圖3 幾個(gè)物理量的約束關(guān)系

即

由勾股定理得

當(dāng)圓周運(yùn)動(dòng)的速度和勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度同向時(shí)，粒子的速度最大

4 小結(jié)

由此題的解決可以得到一些啟示：教師在平常的教學(xué)中，不能僅停留在對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的灌輸，反反復(fù)復(fù)講解等車輪戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生對(duì)教學(xué)知識(shí)的掌握是教師教學(xué)的起點(diǎn)而非終點(diǎn)，熟練應(yīng)用教學(xué)中學(xué)到的方法解決實(shí)際問題才是最終的目的．所以教師要努力在教學(xué)中將思想、方法、知識(shí)和技能有機(jī)結(jié)合起來，積極實(shí)踐新課程精神，將核心素養(yǎng)落實(shí)到每一節(jié)課，學(xué)生的能力才能真正得以提高．

2017-06-08)