基于LMI的倒立擺滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

任鵬飛，趙玉順，崔 勇，李雪健

(1.河南工程學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451191;2.河南順康機(jī)電設(shè)備有限公司,河南 鄭州 450007)

基于LMI的倒立擺滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

任鵬飛1，趙玉順2，崔 勇1，李雪健1

(1.河南工程學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451191;2.河南順康機(jī)電設(shè)備有限公司,河南 鄭州 450007)

倒立擺是典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，針對(duì)其復(fù)雜非線性和存在不確定干擾的問題，提出了滑?？刂破髟O(shè)計(jì)方案.以線性化模型為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)滑模切面，完成了對(duì)模型確定部分的控制設(shè)計(jì)，以及對(duì)不確定干擾的補(bǔ)償輸入.以線性矩陣不等式方法輔助完成滑模面和反饋增益的計(jì)算，避免了參數(shù)調(diào)試對(duì)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)的依賴.通過(guò)軟件仿真和固高倒立擺測(cè)試對(duì)所提的控制方案進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果表明控制器有效實(shí)現(xiàn)了倒立擺的穩(wěn)定控制.

滑模控制；欠驅(qū)動(dòng)；倒立擺；線性矩陣不等式

倒立擺是多變量、強(qiáng)耦合的不穩(wěn)定系統(tǒng)，被公認(rèn)為是控制領(lǐng)域中驗(yàn)證控制策略的首選試驗(yàn)平臺(tái)[1-3].該系統(tǒng)以唯一的拖動(dòng)輸入實(shí)現(xiàn)小車位置和擺桿角度的多變量控制，獨(dú)立控制變量個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)自由度個(gè)數(shù)，是典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在節(jié)約能量、降低造價(jià)、減輕質(zhì)量、增強(qiáng)系統(tǒng)靈活度等方面都比完全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)越.由于系統(tǒng)的高度非線性、參數(shù)攝動(dòng)、多目標(biāo)控制要求及控制量受限等原因，而且它又足夠復(fù)雜，所以欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)便于研究和驗(yàn)證各種算法的有效性[4].

由于倒立擺系統(tǒng)存在復(fù)雜非線性和不確定干擾，采用線性化的模型所設(shè)計(jì)的控制器通常無(wú)法獲得較好的控制效果.例如,經(jīng)典的PID需要在調(diào)試時(shí)反復(fù)試湊控制參數(shù)，而無(wú)法直接處理復(fù)雜系統(tǒng).線性二次優(yōu)化的LQR方法，其加權(quán)函數(shù)陣的選擇需要依賴經(jīng)驗(yàn)反復(fù)試湊，實(shí)時(shí)控制效果不理想.由于滑動(dòng)模態(tài)可以進(jìn)行設(shè)計(jì)且與對(duì)象參數(shù)及擾動(dòng)無(wú)關(guān)，這就使得變結(jié)構(gòu)滑?？刂凭哂锌焖夙憫?yīng)的特點(diǎn)，采用滑模控制方法可以有效地實(shí)現(xiàn)一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的魯棒控制[5-7].

為了優(yōu)化倒立擺穩(wěn)定控制效果，將滑?？刂品椒ㄓ糜诜答伩刂破髟O(shè)計(jì).利用滑?？刂茖?duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、不需要系統(tǒng)在線辨識(shí)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)倒立擺小車位置和擺桿角度的控制優(yōu)化.在滑模函數(shù)的設(shè)計(jì)中，需要考慮約束條件，在控制問題中轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式約束的最優(yōu)化問題.采用Matlab軟件中提供的LMI工具完成求解計(jì)算，以得到反饋控制增益和滑模面所需要的正定矩陣.

1 倒立擺系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)力學(xué)分析

圖1 倒立擺結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure diagram of inverted pendulum

小車倒立擺基本結(jié)構(gòu)如圖1所示.忽略空氣阻力的影響并將擺桿視為剛體，以簡(jiǎn)化系統(tǒng)建模分析.利用牛頓力學(xué)方法可分別對(duì)擺桿和滑動(dòng)小車進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，系統(tǒng)建模詳細(xì)步驟見文獻(xiàn)[2]，這里不再贅述.直接給出其動(dòng)力學(xué)模型：

(1)

(2)

(3)

通過(guò)設(shè)計(jì)拖動(dòng)力u的大小和方向，使小車移動(dòng)到目標(biāo)位置并保持?jǐn)[桿倒立不倒.不失一般性，系統(tǒng)控制目標(biāo)為x→O.

2 系統(tǒng)滑模控制器設(shè)計(jì)

基于式(3)的狀態(tài)空間方程進(jìn)行倒立擺系統(tǒng)的滑?？刂破髟O(shè)計(jì).考慮到不確定性和干擾f(x，t)，系統(tǒng)方程(3)可修正為

(4)

式中的干擾信號(hào)是有界的，記|f(x，t)|≤δf.

2.1 滑?？刂破?/h3>

定義滑模函數(shù)為s=BTPx.這里，P為4×4階正定矩陣，通過(guò)P的合理設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)s=0.這里先討論滑?？刂破鞯目尚行裕ň仃嘝的計(jì)算將在2.2給出.

考慮不確定干擾信號(hào)，系統(tǒng)的控制輸入包括兩個(gè)部分：滑模等效控制ueq，提供控制系統(tǒng)所需的確定控制量；擾動(dòng)補(bǔ)償控制un，用來(lái)修正不確定干擾因素的不利影響.因此，設(shè)計(jì)滑?？刂破鳛?/p>

u(t)=ueq+un，

(5)

式中的滑模等效控制和擾動(dòng)補(bǔ)償控制分別為

ueq=-(BTPB)-1BTPAx，

(6)

un=-(BTPB)-1[|BTPA|δt+ε0]sgn(s).

(7)

滑?？刂破饕詫?shí)現(xiàn)s=0為設(shè)計(jì)目標(biāo)，式(5)綜合控制器設(shè)計(jì)的合理性可以通過(guò)Lyapunov穩(wěn)定性理論加以說(shuō)明.

(8)

所以，

(9)

式(9)中Lyapunov函數(shù)的負(fù)定表明存在t≥t0，使得s=BTPx=0.

2.2 控制律的LMI輔助設(shè)計(jì)

采用LMI方法來(lái)設(shè)計(jì)滑模函數(shù)中的對(duì)稱正定矩陣P.將控制律(5)寫作

u(t)=-Kx+v(t)，

(10)

式中:v(t)=Kx+ueq+un.那么，系統(tǒng)方程(4)重新整理為

(11)

再取Lyapunov函數(shù)為V=xTPx，可得

(12)

由式(8)和式(9)分析可知，存在t≥t0，使得s=BTPx=0，即sT=xTPB=0成立，所以有

(13)

(14)

取L=KP-1，則

AX-BL+XAT-LTBT<0.

(15)

整理為線性矩陣不等式，有

AX+XAT

(16)

利用Matlab的LMI工具箱進(jìn)行輔助計(jì)算，可得到正定矩陣P和反饋控制增益矩陣K.設(shè)計(jì)過(guò)程中，為了保證P為對(duì)稱正定矩陣，需要滿足P=PT>0.

3 仿真及試驗(yàn)測(cè)試

采用滑模控制器，取δf=0.3，ε0=0.15.采用飽和函數(shù)代替切換函數(shù)，邊界層厚度取Δ=0.05.這里需要指出，邊界層厚度越小，控制效果越好，但同時(shí)又會(huì)使控制增益變大，抖陣增強(qiáng)；反之，邊界層厚度越大，抖陣越小，但又會(huì)使控制增益變小，控制效果差.邊界層的設(shè)置僅能保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂到以滑動(dòng)面為中心的邊界層內(nèi).可以通過(guò)較窄的邊界層來(lái)任意地接近滑模，但不能使?fàn)顟B(tài)收斂到滑模.

利用LMI解算工具箱對(duì)式(16)進(jìn)行計(jì)算，得到正定矩陣P和反饋矩陣K:

利用所得控制參數(shù)測(cè)算倒立擺小車的拖動(dòng)輸入，在Matlab/Simulink中進(jìn)行仿真，得到小車的運(yùn)動(dòng)位置和擺桿的角度變化，如圖2和圖3所示.從仿真結(jié)果可以看出,擺桿角度和小車位置3 s后即到達(dá)目標(biāo)位置并持續(xù)保持在目標(biāo)值,仿真輸出曲線存在小幅抖陣，波動(dòng)幅值與滑模面切換和不確定干擾項(xiàng)的存在有關(guān).

圖2 擺桿角度仿真結(jié)果Fig.2 Simulation result of pendulum angle

圖3 小車位置仿真結(jié)果Fig.3 Simulation result of pendulum position

圖4 固高倒立擺實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.4 Googol inverted pendulum

圖4為固高倒立擺試驗(yàn)平臺(tái)，由控制主機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制箱和倒立擺機(jī)械部分組成.在Matlab仿真分析基礎(chǔ)上，將所得控制輸出信號(hào)轉(zhuǎn)接固高倒立擺的運(yùn)動(dòng)控制板的通信端口，測(cè)試所設(shè)計(jì)滑?？刂破鞯膶?shí)時(shí)控制效果.啟動(dòng)程序時(shí)，先將擺桿扶到豎直向上位置附近，即給倒立擺一個(gè)接近平衡位置的初始值.數(shù)據(jù)輸出端采集擺桿角度變化和小車運(yùn)動(dòng)位置變化，如圖5和圖6所示.與仿真不同，要將豎直向上的目標(biāo)位置的擺角設(shè)為-3.14 rad.從圖5和圖6可以看出，小車在目標(biāo)位置小幅擺動(dòng)，擺動(dòng)幅度小于0.03 m，擺桿角度的擺動(dòng)幅度也小于0.03 rad.仿真數(shù)據(jù)和試驗(yàn)結(jié)果表明了所得控制器的有效性.

圖5 擺桿角度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Fig.5 Test result of pendulum angle

圖6 小車位置實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Fig.6 Test result of pendulum position

4 結(jié)語(yǔ)

本設(shè)計(jì)主要討論了滑模控制方法在倒立擺穩(wěn)定控制中的應(yīng)用.針對(duì)倒立擺建模過(guò)程中的復(fù)雜非線性和系統(tǒng)控制中的不確定干擾因素，提出了滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并且利用線性矩陣不等式輔助方法完成了反饋控制參數(shù)的計(jì)算和滑模面的確定.仿真結(jié)果和基于固高倒立擺的聯(lián)機(jī)測(cè)試結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制器能夠使倒立擺快速穩(wěn)定地到達(dá)目標(biāo)位置.

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[2] 王瑤為,邢科新,馬劍,等.直線一級(jí)倒立擺的自抗擾控制方法及實(shí)現(xiàn)[J].控制工程,2017,24(4):711-715.

[3] 王賢明,陳煒,趙新華.倒立擺系統(tǒng)起擺與穩(wěn)擺控制算法研究綜述[J].自動(dòng)化技術(shù)與應(yīng)用,2015,34(11):5-9.

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DesignofslidingmodecontrollerforinvertedpendulumviaLMI

RENPengfei1,ZAHOYushun2，CUIYong1,LIXuejian1

(1.CollegeofElectricalInformationEngineering,HenanUniversityofEngineering,Zhengzhou451191,China;2.HenanShunkangMachineryandElectricEquipmentco.,Ltd.,Zhengzhou450007,China)

Inverted pendulum is a typical under-actuated system. Aiming at the complex nonlinear system, a sliding mode control strategy was proposed with the uncertain disturbance inputs. Sliding mode section was discussed via an linear model. Control design for the certain parts of the system was completed, and the disturbance compensation was also included. To reduce the dependence of parameter debugging on design experience, linear matrix inequality was taken to calculate the feedback gain and slide section parameter. Software simulations and Googol inverted pendulum experiments verified the feasibility of the proposed strategy. The results show that the stability control of the inverted pendulum system can be achieved by using designed controller.

sliding mode control; single chip microcontroller; inverted pendulum; linear matrix inequality

TS111

A

1674-330X(2017)04-0062-04

2017-07-08

河南工程學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(201611517034)

任鵬飛(1982-)，男，河南鄭州人，講師，主要研究方向?yàn)殡姎夤こ?