陳兆蕙,吳昌健,唐躍龍,張星紅

(1. 華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 珠江學(xué)院,廣東 廣州,510900;2. 湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系,湖南 永州,425199;3. 北京理工大學(xué) 自動化學(xué)院,北京,100081)

耦合復(fù)Ginzburg-Landau方程組的拉回吸引子

陳兆蕙1,吳昌健1,唐躍龍2,張星紅3

(1. 華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 珠江學(xué)院,廣東 廣州,510900;2. 湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系,湖南 永州,425199;3. 北京理工大學(xué) 自動化學(xué)院,北京,100081)

以耦合復(fù)金茲堡–朗道(Ginzburg-Landau)方程系統(tǒng)為模型,研究了在周期邊界條件下和初始條件下它的拉回吸引子的存在性。主要采用能量方程方法來進(jìn)行證明:首先證明在W中存在一個閉過程且有界,從而證明該閉過程存在一個拉回吸收集;其次,當(dāng)滿足初值有界條件時,證明該閉過程滿足拉回條件C,因此證實了該Ginzburg-Landau方程組存在拉回吸引子。

耦合Ginzburg-Landau方程組;拉回條件C;拉回吸引子

拉回吸引子概念最早由H. Crauel,F. Flandoli等[1–2]提出,近些年,陳兆蕙等[3]研究了耦合非線性Ginzburg-Landau方程組的整體吸引子;王蕊[4]研究了帶有可乘白噪音Ginzburg-Landau方程的隨機(jī)吸引子;而鮑杰等[5]證明了高階廣義2D Ginzburg-Landau 方程的隨機(jī)吸引子;張元元[6]求證出了一類帶Robin邊界條件的2維隨機(jī)Ginzburg-Landau方程吸引子的存在性;付曉玉[7]研究了Ginzburg-Landau方程的能控性;張鳳[8–9]證明了非線性Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子。他們大多都是對單個方程進(jìn)行研究并得出他們的吸引子,目前涉及一類耦合Ginzburg-Landau方程組的拉回吸引子的研究很少。

1 預(yù)備知識

本文將用到下列Banach空間記號。

本文還將用到下列定義1–定義4,詳見文獻(xiàn)[11–12]。

定義1 令X是Banach空間,距離d(?,?)=0,若一族定義于X上的雙參數(shù)映射U(t,τ):X→X,t≥τ,τ∈R,滿足:(1)U(t,τ)=U(t,r)U(r,τ),?τ≤r≤t;(2)U(τ,τ)=Id,τ∈R,則稱U(t,τ)是一個過程。

令P(X)表示X的所有非空子集族,且D表示X中所有非空帶參數(shù)的子集組成的集合。

2 主要結(jié)果

定理4 在定理3條件下,當(dāng)t充分大時,那么過程U在W中存在拉回吸引子。

證明由定理3可知,過程U在W中存在一個拉回D–吸收集,只需驗證滿足拉回條件C即可得出該過程U在W中存在拉回吸引子。

對方程組(1)的第一個方程兩邊用-uxx作內(nèi)積,并取實部整理得

綜上,由定理1,定理2和定理3以及定理4最終得出,方程組(1)存在拉回D–吸引子。

3 結(jié)論

本文借助能量方程方法,得到耦合復(fù)Ginzburg-Landau方程組在W中存在拉回吸收集,且滿足拉回條件C,從而得到方程組存在拉回D–吸引子。至于該拉回吸引子是否連續(xù)、方程組是否存在隨機(jī)吸引子、方程組帶有隨機(jī)項時是否具有隨機(jī)吸引子以及該吸引子是否連續(xù)等問題有待進(jìn)一步探討。

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[5] 鮑杰,舒級. 高階廣義2D Ginzburg-Landau 方程的隨機(jī)吸引子[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,37(5):298-306.

[6] 張元元,陳光淦. 帶Robin邊界條件的2維隨機(jī)Ginzburg-Landau方程的吸引子[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,38(1):20-26.

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[9] 張鳳,姜金平,王艷,等. 復(fù)系數(shù)Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子[J]. 云南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,37(1):32–36.

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[15] 程其襄,張奠宇,魏國強(qiáng),等. 實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M]. 北京:高等教育出版社,2007:170–288 .

Pullback attractor for coupled complex Ginzburg-Landau Equations

Chen Zhaohui1,Wu Changjian1,Tang Yuelong2,Zhang Xinghong3
(1. Zhujiang College,South China Agricultural University,Guangzhou 510900,China;2. Mathematics and Computing Sciences,Hunan University of Science And Engineering,Yongzhou 425199,China;3. School of Automation,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)

The coupled complex Ginzburg Landau equation system for model to study the existence of pullback attractor under periodic boundary conditions and initial conditions. The method of energy equations is mainly used in this paper. First,when the closed process exists inW,and the closed process is bounded,the existence of the pull-back absorbing set is obtained. Second,when the initial and boundary condition are satisfied,the pull-back conditionCis used to prove the existence of pullback attractor for the coupled Ginzburg-Landau equations.

Coupled Ginzburg-Landau Equations;pull back conditionC;pullback attractor

O 175.29

A

1672–6146(2017)04-0004-04

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.04.002

陳兆蕙,931832523@qq.com。

2017–09–10

廣東省普通高校青年創(chuàng)新人才項目(2016KQNCX229);廣東省“創(chuàng)新強(qiáng)項工程”專項建設(shè)項目;華農(nóng)珠江學(xué)院經(jīng)費資助。

(責(zé)任編校:張紅)