張九鑄

(金昌市金川總校龍門學(xué)校， 甘肅 金昌 737100)

淺論Kane難題

張九鑄

(金昌市金川總校龍門學(xué)校， 甘肅 金昌 737100)

文章研究了剛性球殼與固定的剛性水平面的碰撞，在動(dòng)能損失計(jì)算式中引入了碰撞點(diǎn)的切向末速度與切向初速度之比，根據(jù)能量守恒定律指出了合理的k值范圍，從而指出了Kane難題即碰撞過程中的動(dòng)能損失小于零的原因。

斜碰撞；動(dòng)能；Kane難題；庫(kù)侖摩擦定律

圖1 均質(zhì)剛性球殼

1 動(dòng)能損失的計(jì)算式

再設(shè)球殼在整個(gè)碰撞過程中受到的切向沖量為IF，由平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)方程有

(3)

(4)

球殼的動(dòng)能損失為

(7)

將式(4)、(5)、(6)代入式(7)，整理得到

(8)

以彈性碰撞為例：因?yàn)閑2=1，所以，為使ΔEk≥0，須有k2≤1，即

-1≤k≤1

(9)

k=1表示球殼不受切向力，以致碰撞點(diǎn)的切向初、末速度相等，這時(shí)ΔEk2=0。k=0表示碰撞點(diǎn)切向末速度為零，這時(shí)ΔEk2最大。k=-1表示碰撞點(diǎn)初、末切向速度等大、反向，ΔEk2=0；且在整個(gè)碰撞過程中碰撞點(diǎn)無相對(duì)滑動(dòng)，否則，因此產(chǎn)生的滑動(dòng)摩擦力將使ΔEk2≠0。總之，能量守恒定律給出了碰撞點(diǎn)的切向末、初速度之比k或碰撞過程性質(zhì)一個(gè)限制：由于動(dòng)能損失不能為負(fù)，故碰撞點(diǎn)的切向末速度絕對(duì)值不能大于切向初速度絕對(duì)值。

(12)

文獻(xiàn)[1]給出了一組數(shù)值：α=30°，e=0.7，μ=0.4，γ>0.20。由式(12)和這些數(shù)值可得出ΔEk/Ek0<0這一不符合能量守恒定律的結(jié)果?，F(xiàn)在進(jìn)一步取γ=0.3，代入式(10)、(11)得

而

可得

顯然不滿足式(9)，導(dǎo)致ΔEk/Ek0<0。

2 Kane難題產(chǎn)生的原因

文獻(xiàn)[1]給出的上述初始條件都是合理的，所用定理和公式(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、質(zhì)心系中的動(dòng)量矩定理及恢復(fù)系數(shù)的牛頓公式)也是合適的，這樣，就本問題來說Kane難題產(chǎn)生的原因只能是用庫(kù)侖摩擦定律IF=-μIN將法向沖量和動(dòng)摩擦力沖量聯(lián)系起來。由于我們無法確定球殼的全部受力或它們之間的關(guān)系，而用庫(kù)侖摩擦定律去聯(lián)系法向約束力和切向作用力在這里是錯(cuò)誤的。

(13)

和

(14)

純滾動(dòng)開始時(shí)有

vx1+ω1R=0

(15)

整個(gè)碰撞過程中，在豎直方向上，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

(16)

由式(13)、(14)、(15)，得到

以上兩式相除并且利用式(16)，得到

可見，因?yàn)槿狈τ?jì)算IN1、IF2、IN2的全部知識(shí)，所以不能最終算出k，也就不能算出ΔEk2。

[1] 劉延柱．關(guān)于摩擦碰撞的Kane難題[J]．力學(xué)與實(shí)踐，2012，34(1)：91-94．

Liu Yanzhu． Kane problem about friction collision[J]． Mechanics in Engineering， 2012， 34(1)： 91-94． ( in Chinese )

DISCUSSIONONKANEPROBLEM

ZHANGJiuzhu

(Longmen School of Jinchuan Group LTD, Jinchang Gansu 737100)

Studying the collision between rigid spherical shells and fixed rigid flat surface, the article educes the rational value range ofkaccording to the law of conservation of energy by adding the ratio of tangential final velocity and tangential muzzle velocity of the collision point in the equation of kinetic energy loss, thus points out the reason why the kinetic energy loss in a collision is less than zero(Kane problem).

oblique collision; kinetic energy; Kane problems; Coulomb’s law of friction

2015-03-18；

2015-07-31

張九鑄，男，中學(xué)高級(jí)教師，jcgszhjzh@sohu.com。

張九鑄. 淺論Kane難題[J]. 物理與工程，2017，27(6)：60-61.

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